✨Chiều (không gian vectơ)

Chiều (không gian vectơ)

Trong toán học, số chiều của một không gian vectơ V là số lượng (tức là số vectơ) trong một hệ cơ sở của V trên trường cơ sở của nó. Nó đôi khi cũng được gọi là số chiều Hamel (theo tên nhà toán học Georg Hamel) hay số chiều đại số để phân biệt nó với các khái niệm chiều khác.

Đối với mọi không gian vectơ đều tồn tại một cơ sở, và mọi cơ sở của một không gian vectơ đều có lực lượng bằng nhau; vì vậy số chiều của một không gian vectơ được xác định duy nhất. Ta nói V là hữu hạn chiều nếu số chiều của V là hữu hạn, và vô hạn chiều nếu số chiều của nó là vô hạn.

Số chiều của một không gian vectơ V trên một trường F có thể được viết dưới dạng dim_F(V) hay [V: F], và đọc là "số chiều của V trên trường F". Khi F có thể suy được từ ngữ cảnh, ta thường viết ngắn gọn là dim(V).

Ví dụ

Không gian vectơ R³ có

: $\left { \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} \right }$

là một cơ sở chính tắc, vì thế ta có dim_R(R³) = 3. Một cách tổng quát hơn, dim_R(Rⁿ) = n, và tổng quát hơn nữa, dim_F(Fⁿ) = n đối với trường bất kỳ F.

Tập số phức C có thể là một không gian vectơ thực hay phức, vì thế ta có dim_R(C) = 2 và dim_C(C) = 1. Vì vậy số chiều phụ thuộc vào trường cơ sở.

Không gian vectơ duy nhất có số chiều 0 là {0}, tức là không gian vectơ chỉ gồm phần tử không của nó.

Tính chất

Nếu W là một không gian con của V thì dim(W) ≤ dim(V).

Để chứng tỏ hai không gian vectơ hữu hạn chiều là bằng nhau, ta thường sử dụng tiêu chí sau đây: nếu V là một không gian vectơ hữu hạn chiều và W là một không gian con của V với dim(W) = dim(V), thì W = V.

Rⁿ có cơ sở chính tắc {e₁,..., e_n}, trong đó e_i là cột thứ i của ma trận đơn vị cỡ n. Vì thế _Rⁿ_ có số chiều n.

Hai không gian vectơ bất kỳ trên trường F có số chiều bằng nhau thì đẳng cấu. Mọi song ánh giữa các cơ sở của chúng có thể được mở rộng thành một song ánh tuyến tính giữa hai không gian vectơ.

Một kết quả quan trọng về số chiều được cho bởi định lý về hạng và số vô hiệu cho các ánh xạ tuyến tính.

Tổng quát hóa

👁️ 0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Chiều (không gian vectơ)

Trong toán học, **số chiều** của một không gian vectơ _V_ là số lượng (tức là số vectơ) trong một hệ cơ sở của _V_ trên trường cơ sở của nó. Nó đôi khi cũng

💫 Mô hình không gian véctơ

**Mô hình không gian véctơ** hay **mô hình thuật ngữ véctơ** (tiếng Anh: **vector space model**) là một mô hình đại số dùng để thể hiện các tài liệu văn bản (và bất cứ đối

💫 Không gian Euclid

Mọi điểm trong không gian Euclid ba chiều biểu hiện trong hệ quy chiếu [[Hệ tọa độ Descartes|Descartes]] Khoảng 300 năm TCN, nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid đã tiến hành nghiên cứu

💫 Không gian vectơ

phải|nhỏ|Không gian vectơ là một tập các đối tượng có định hướng (được gọi là các vectơ) có thể co giãn và cộng. Trong toán học, **không gian vectơ** (hay còn gọi là không gian

💫 Không gian Hilbert

Trong toán học, **không gian Hilbert** (Hilbert Space) là một dạng tổng quát hóa của không gian Euclid mà không bị giới hạn về vấn đề hữu hạn chiều. Đó là một không gian có

💫 Không gian tích trong

nhỏ|300x300px|Biểu diễn hình học của góc giữa hai vectơ, được định nghĩa bởi tích trong. thế=Scalar product spaces, inner product spaces, Hermitian product spaces.|nhỏ|300x300px|Các không gian tích vô hướng trên một trường bất kỳ có

💫 Không gian Sobolev

Trong toán học, **không gian Sobolev** là một không gian vectơ của các hàm số trang bị với một chuẩn là tổng của chuẩn _L^p_ của hàm số đó cùng với các đạo hàm cho

💫 Hình học không gian

nhỏ|Hình [[tứ diện, một đối tượng thường gặp trong các bài toán hình học không gian.]] Trong toán học và hình học, **hình học không gian** là một nhánh của hình học nghiên cứu các

💫 Không gian hàng và cột

💫 Không–thời gian

Trong vật lý, **không–thời gian** là một mô hình toán học kết hợp không gian ba chiều và 1 chiều thời gian để trở thành một không gian bốn chiều. Sơ đồ không–thời gian có

💫 Không gian afin

nhỏ|phải|Các đoạn thẳng trong không gian afin 2 chiều. Trong toán học, **không gian afin** (hoặc **không gian aphin**) là một cấu trúc hình học tổng quát tính chất của các đường thẳng song song

💫 Không gian thương (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tính, **thương** của một không gian vectơ _V_ với một không gian vectơ con _N_ là một không gian vectơ thu được khi "thu gọn" _N_ về không. Không gian thu

💫 Không gian Banach

Trong toán học, **không gian Banach**, đặt theo tên Stefan Banach người nghiên cứu các không gian đó, là một trong những đối tượng trung tâm của nghiên cứu về giải tích hàm. Nhiều không

💫 Không gian định chuẩn

Cùng với khái niệm không gian mêtric, **không gian định chuẩn** cũng đóng vai trò rất quan trọng trong giải tích nói chung và topo nói riêng. ## Sơ lược về không gian định chuẩn

💫 Không gian xạ ảnh

Trong tô pô, một **không gian xạ ảnh** là một cấu trúc cơ bản cho phép thuần nhất hóa một không gian vectơ, nói cách khác là quên đi các tỷ lệ để chỉ xem

💫 Không gian moduli

Trong toán học, đặc biệt là hình học đại số, một **không gian mo-đu-li** (hay không gian **moduli**) là một **không gian** **hình học** (thường là một lược đồ hoặc một chùm đại số) có

💫 Vectơ

Trong Toán học, Vật lí và kĩ thuật, **vectơ** hay **hướng lượng** (theo phiên âm Hán Việt) (tiếng Anh: _vector_) là một đoạn thẳng có hướng. Đoạn thẳng này biểu thị phương, chiều và độ

💫 Chiếu vectơ

nhỏ|200x200px|Hình chiếu của **a** lên **b** (**a**₁), và hình phản chiếu (**a**₂). nhỏ|248x248px|Khi 90° < _θ_ ≤ 180°, **a**₁ có chiều ngược lại so với **b**. **Hình chiếu vectơ** của một vectơ **a** lên một

💫 Vectơ-4

**Vectơ-4** là một véctơ trên một không gian 4 chiều thực đặc biệt, gọi là không gian Minkowski. Chúng xuất hiện lần đầu trong lý thuyết tương đối hẹp, như là sự mở rộng của

💫 Tích vectơ

nhỏ|Minh họa kết quả phép nhân vectơ trong [[hệ tọa độ bên phải]] Trong toán học, phép **tích vectơ** hay **nhân vectơ** hay **tích có hướng** là một phép toán nhị nguyên trên các vectơ

💫 Mặt phẳng (toán học)

thumb|Hai mặt phẳng giao nhau trong không gian ba chiều Trong toán học, _mặt phẳng_ là một mặt hai chiều phẳng kéo dài vô hạn. Một **mặt phẳng** là mô hình hai chiều tương tự

💫 Vectơ hàng và cột

Trong đại số tuyến tính, một **vectơ cột** hay **ma trận cột** là một ma trận cỡ _m_ × 1, tức là ma trận chỉ gồm một cột đơn gồm _m_ phần tử, :

\boldsymbol{x}

💫 Không gian tiếp tuyến

Trong toán học, **không gian tiếp tuyến** của một đa tạp tạo điều kiện cho việc khái quát các vectơ từ không gian affine sang đa tạp, vì đối với đa tạp, người ta không

💫 Nhát cắt (không gian phân thớ)

phải|nhỏ| Một nhát cắt

s

của một phân thớ

p\colon E\to B

. Một nhát cắt

s

cho phép không gian cơ sở

B

được đồng nhất với một không gian con

s(B)

của

E

. phải|nhỏ|

💫 Giá trị riêng và vectơ riêng

phải|nhỏ|250x250px|Ma trận biến đổi _A_ tác động bằng việc kéo dài vectơ _x_ mà không làm đổi phương của nó, vì thế _x_ là một vectơ riêng của _A_. Trong đại số tuyến tính, một

💫 Vectơ từ

Trong xử lý ngôn ngữ tự nhiên (NLP), **vectơ từ** (còn được gọi là **biểu diễn từ**, **nhúng từ**, hay **word embedding**) là một cách biểu diễn từ ngữ. Vectơ từ được sử dụng trong

💫 Hàm vectơ

Một hàm được định giá trị vectơ, cũng được gọi là **hàm vectơ**, là một hàm toán học của một hoặc nhiều biến với miền giá trị của nó là một bộ của những vectơ

💫 Phân thớ véctơ

phải|nhỏ|250x250px| [[Mặt Mobius|Dải Mobius (mở rộng vô hạn) là một phân thớ đường trên đường tròn **S**¹. Trong một lân cận địa phương tại mọi điểm của **S**¹, nó đồng phôi với _U_×**R** (trong đó

💫 Hệ tọa độ Descartes

Một **Hệ tọa độ Descartes** (tiếng Anh: **Cartesian coordinate system**) xác định vị trí của một điểm (_point_) trên một mặt phẳng (_plane_) cho trước bằng một cặp số tọa độ (_x_, _y_). Trong đó,

💫 Hệ quy chiếu quay

**Hệ quy chiếu quay** là một hệ quy chiếu phi quán tính quay so với một hệ quy chiếu quán tính. Ví dụ về hệ quy chiếu quay có thể thấy được hằng ngày là

💫 Phép chiếu (đại số tuyến tính)

phải|khung|Phép biến đổi _P_ là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng _m_. Trong đại số tuyến tính và giải tích hàm, **phép chiếu** là một biến đổi tuyến tính

P

từ một không gian

💫 Vectơ Poynting

phải|nhỏ|[[Bức xạ điện từ|Sóng điện từ truyền đi trong không gian]] **Vectơ Poynting** là tích vectơ giữa cường độ điện trường và cường độ từ trường, được đặt tên theo người phát hiện John Henry

💫 Tích phân vectơ

**Giải tích vectơ**, hay **tích phân vectơ**, liên quan đến vi phân và tích phân các trường vectơ, chủ yếu trong không gian Euclide 3 chiều

\mathbb{R}^3.

Thuật ngữ "tích phân véctơ" đôi khi được

💫 Số chiều Hausdorff

thumb|Ước lượng Số chiều Hausdorff của bờ biển nước Anh Trong toán học, **Số chiều Hausdorff** (còn được biết đến như là **Số chiều Hausdorff - Besicovitch**) là một số thực không âm mở rộng

💫 Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian

**Lý thuyết bất biến theo thời gian tuyến tính**, thường được gọi là **lý thuyết hệ thống LTI**, xuất phát từ toán ứng dụng và có các ứng dụng trực tiếp trong quang phổ học

💫 Máy vectơ hỗ trợ

**Máy vectơ hỗ trợ** (**SVM** - viết tắt tên tiếng Anh **support vector machine**) là một khái niệm trong thống kê và khoa học máy tính cho một tập hợp các phương pháp học có

💫 Khoảng cách Euclid

nhỏ|upright=1.35|Áp dụng định lý Pythagoras để tính khoảng cách Euclid trong mặt phẳng Trong toán học, **khoảng cách Euclid** () giữa hai điểm trong không gian Euclid là độ dài của đoạn thẳng nối hai

💫 Vectơ Laplace-Runge-Lenz

Trong cơ học cổ điển, ** Laplace–Runge–Lenz** (hay còn được gọi là **vectơ LRL**, **vectơ Runge-Lenz** hay **bất biến Runge-Lenz**) là vectơ thường được dùng để miêu tả hình dạng và định hướng của quỹ

💫 Hình Học Vi Phân

Giáo trình Hình học vi phần này là một giáo trình về hình học vi phân cổ điển lí thuyết về đường và mặt trong không gian Euclid hai, ba chiều, đồng thời là một

💫 Công suất điện xoay chiều

**Công suất điện xoay chiều** là phần năng lượng được chuyển qua mạch điện xoay chiều trong một đơn vị thời gian. ## Giới thiệu Công suất được định nghĩa như là phần năng lượng

💫 Hàm lượng giác

[[Đồ thị hàm sin]] [[Đồ thị hàm cos]] [[Đồ thị hàm tan]] [[Đồ thị hàm cot]] [[Đồ thị hàm sec]] [[Đồ thị hàm csc]] Trong toán học nói chung và lượng giác học nói riêng,

💫 Toán học của thuyết tương đối rộng

**Toán học của thuyết tương đối rộng** là mô hình chứa đựng cấu trúc và kỹ thuật toán học được sử dụng để nghiên cứu và thiết lập lên thuyết tương đối rộng của Einstein.

💫 Quaternion

thumb|[[đồ thị Cayley|Đồ thị Cayley Q8 cho thấy sáu chu trình nhân bởi , và . (Nếu ảnh được mở trong Wikimedia Commons bằng cách nhấn đúp vào nó thì các chu trình có thể

💫 Ma trận (toán học)

phải|Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký hiệu bằng một biến với hai chỉ số ở dưới. Ví dụ, a_2,1 biểu diễn phần tử ở hàng thứ hai và cột thứ nhất

💫 Biến đổi tuyến tính

Trong toán học, một phép **biến đổi tuyến tính** (còn được gọi là **toán tử tuyến tính** hoặc là **ánh xạ tuyến tính**) là một ánh xạ

V \rightarrow W

giữa hai mô đun (cụ

💫 Hạng (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tính, **hạng** (rank) của một ma trận là số chiều của không gian vectơ được sinh (span) bởi các vectơ cột của nó. Điều này tương đương với số cột độc

💫 Vị trí (vector)

Trong hình học, một **vị trí** hoặc **vector vị trí**, còn được gọi là **tọa độ** **vector** hoặc **bán kính** **vector,** là một vectơ đại diện cho vị trí của một điểm _P_ trong không

💫 Ma trận chéo hóa được

Trong đại số tuyến tính, một ma trận vuông

A

được gọi là **chéo hóa được** hay **không khiếm khuyết** nếu nó đồng dạng với một ma trận đường chéo, tức là tồn tại một

💫 Tích vô hướng

nhỏ|Tích vô hướng hình học, định nghĩa bởi góc. **Tích vô hướng** (tên tiếng Anh: **dot product** hoặc **scalar product**) là một phép toán đại số lấy hai chuỗi số có độ dài bằng nhau

💫 Phép chuyển cơ sở

Trong toán học, một cơ sở có thứ tự của một không gian vectơ hữu hạn chiều cho phép biểu diễn duy nhất một phần tử bất kỳ trong không gian vectơ bởi một vectơ