✨Hạng (đại số tuyến tính)

Hạng (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tính, hạng (rank) của một ma trận là số chiều của không gian vectơ được sinh (span) bởi các vectơ cột của nó. Điều này tương đương với số cột độc lập tuyến tính tối đa của , và như vậy, cũng chính là số chiều của không gian vectơ sinh bởi các hàng của ma trận trên. Vì vậy hạng là một con số chỉ sự "không suy biến" của hệ phương trình tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính được biểu diễn bởi . Còn có nhiều định nghĩa tương đương khác của khái niệm hạng. Hạng của một ma trận là một trong những thuộc tính cơ bản nhất của nó.

Hạng của thường được ký hiệu là hay , ; hoặc đôi khi cũng có thể viết không có dấu ngoặc như sau, .

Định nghĩa

Trong mục này, chúng ta đưa ra một số định nghĩa về hạng của một ma trận.

Hạng cột (column rank) của là số chiều của không gian cột của , trong khi đó hạng hàng (row rank) của là số chiều của không gian hàng của (hoặc, đó là số hàng không phải là hàng zero của ma trận bậc thang rút gọn A_r).

Một kết quả quan trọng trong đại số tuyến tính đó là, hạng cột và hạng hàng luôn luôn bằng nhau. Giá trị các hạng này đơn giản được đồng nhất gọi là hạng của .

Một ma trận được gọi là có hạng đầy đủ nếu hạng của nó bằng số hạng lớn nhất có thể của một ma trận có cùng kích thước, và đó là cái nhỏ hơn trong hai giá trị số hàng và số cột của . Ngược lại, một ma trận được gọi là thiếu hạng nếu nó không có hạng đầy đủ.

Hạng cũng là số chiều của không gian ảnh của biến đổi tuyến tính được cho bởi phép nhân với ma trận .

Tổng quát hơn, nếu một toán tử tuyến tính $\Phi$ trên một không gian vectơ (có thể vô hạn chiều) có ảnh có số chiều hữu hạn (ví dụ một toán tử hữu hạn hạng), thì hạng của toán tử được định nghĩa là số chiều của ảnh:

: $\operatorname{rank} (\Phi) := \dim (\operatorname{img} (\Phi))$

trong đó $\dim$ là số chiều của không gian vectơ, còn $\operatorname{img}$ là ảnh của ánh xạ (toán tử).

Ví dụ

Ma trận sau đây

: $\begin{bmatrix}1&0&1\-2&-3&1\3&3&0\end{bmatrix}$

có hạng bằng 2: bởi vì hai cột đầu tiên của nó là độc lập tuyến tính, vì thế hạng ít nhất là 2, nhưng vì cột thứ ba là một tổ hợp tuyến tính của hai cột đầu (nó là cột thứ nhất trừ đi cột thứ hai), ba cột này là phụ thuộc tuyến tính, vì thế hạng phải nhỏ hơn 3.

Ma trận

: $A=\begin{bmatrix}1&1&0&2\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}$

có hạng bằng 1: có các cột khác không, vì vậy hạng là một số dương, nhưng bất kỳ cặp cột nào cũng phụ thuộc tuyến tính. Tương tự, chuyển vị của nó

: $A^{\mathrm T} = \begin{bmatrix}1&-1\1&-1\0&0\2&-2\end{bmatrix}$

cũng có rank bằng 1.

Thật vậy, vì các vectơ cột của là các vectơ hàng của chuyển vị của , từ mệnh đề rằng hạng cột của một ma trận bằng hạng hàng ta có mệnh đề tương đương rằng hạng của một ma trận bằng hạng của chuyển vị của nó, .

Một số ví dụ khác

$A=\left[ \begin{matrix}
2 & 3 & 1 & 8 \\
0 & 3 & 0 & 2 \\
0 & 0 & -1 & 9 \\
\end{matrix} \right]\Rightarrow r(A)=3$
$B=\left[ \begin{matrix}
1 & 3 & 3 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{matrix} \right]\Rightarrow r(B)=2$

Tính toán hạng của ma trận

Đưa về dạng hàng bậc thang

Một cách tiếp cận thông dụng để tìm hạng của một ma trận là đưa nó về một dạng đơn giản hơn, thường là dạng hàng bậc thang rút gọn, bằng các phép biến đổi hàng sơ cấp. Các phép biến đổi hàng không làm thay đổi không gian hàng (vì thế không làm thay đổi hạng hàng), và bởi tính khả nghịch, chúng ánh xạ không gian cột tới một không gian đẳng cấu (vì thế cũng không làm thay đổi hạng cột). Một khi đã đưa về dạng bậc thang rút gọn, hạng của cột và hàng rõ ràng là như nhau, và bằng số phần tử chính (pivot) hay số cột chính, cũng là số hàng khác zero.

Ví dụ, ma trận được cho bởi : $A=\begin{bmatrix}1&2&1\-2&-3&1\3&5&0\end{bmatrix}$ có thể được đưa về dạng hàng bậc thang rút gọn bằng dãy các phép biến đổi sơ cấp trên hàng sau: : $\begin{bmatrix}1&2&1\-2&-3&1\3&5&0\end{bmatrix}
\xrightarrow{2h_1 + h_2\rightarrow h_2}
\begin{bmatrix}1&2&1\0&1&3\3&5&0\end{bmatrix}
\xrightarrow{-3h_1 + h_3 \rightarrow h_3}
\begin{bmatrix}1&2&1\0&1&3\0&-1&-3\end{bmatrix}
\xrightarrow{h_2 + h_3 \rightarrow h_3}
\begin{bmatrix}1&2&1\0&1&3\0&0&0\end{bmatrix}
\xrightarrow{-2h_2 + h_1 \rightarrow h_1}
\begin{bmatrix}1&0&-5\0&1&3\0&0&0\end{bmatrix}$ . Ma trận cuối cùng đã được đưa về dạng hàng bậc thang rút gọn có hai hàng khác zero và vì vậy rank của ma trận là 2.

Tính toán

Khi áp dụng cho các tính toán với dấu phẩy động trên máy tính trong thời gian thực, sử dụng phương pháp khử Gauss (phân tích LU) có thể không hiệu quả, và thay vào đó nên sử dụng một thuật toán phân tích tìm hạng. Một phương pháp thay thế hiệu quả là phép phân tích giá trị suy biến (Singular value decomposition hay SVD), nhưng cũng có các cách ít tốn kém hơn, như phân tích QR có chọn phần tử chính (vì thế được gọi là phân tích tìm hạng QR), vẫn mạnh hơn về mặt tính toán số học so với phép khử Gauss. Việc xác định hạng bằng số yêu cầu một tiêu chí để quyết định khi nào một giá trị (chẳng hạn như một giá trị suy biến từ SVD) thì nên được coi là bằng 0, một lựa chọn thực tế phụ thuộc vào cả ma trận và mục đích ứng dụng.

Chứng minh hạng hàng bằng hạng cột

Một kết quả cơ bản trong đại số tuyến tính đó là hạng hàng và hạng cột của một ma trận là đồng nhất với nhau. Có nhiều chứng minh đã được đưa ra. Một trong những chứng minh đơn giản nhất đã được phác trong mục trên. Sau đây là một biến thể của cách chứng minh này:

Dễ chỉ ra rằng thực hiện các phép biến đổi hàng sơ cấp không làm thay đổi cả hạng hàng và hạng cột. Bởi vì phép khử Gauss chính là thực hiện các phép biến đổi hàng sơ cấp, dạng hàng bậc thang rút gọn của ma trận có cùng hạng hàng và hạng cột với ma trận ban đầu. Tiếp tục thực hiện các biến đổi sơ cấp trên cột để đưa ma trận về dạng một ma trận đơn vị có thể với các hàng và cột toàn số 0 ở xung quanh. Một lần nữa, thao tác này không làm thay đổi hạng hàng hay hạng cột. Ta thấy ngay hạng hàng và hạng cột của ma trận kết quả này đều bằng nhau và bằng số phần tử khác 0 trong nó.

Sau đây trình bày hai chứng minh khác của kết quả này. Chứng minh thứ nhất sử dụng các tính chất cơ bản của tổ hợp tuyến tính của các vectơ, và vẫn đúng với trường bất kỳ. Chứng minh này dựa trên Wardlaw (2005). Chứng minh thứ hai sử dụng tính trực giao và vẫn đúng với ma trận trên trường số thực; dựa trên Mackiw (1995).

Chứng minh sử dụng tổ hợp tuyến tính

Cho là một ma trận . Ký hiệu hạng cột của là , và là một cơ sở bất kỳ của của không gian cột của , đặt vào các cột của một ma trận có kích thước . Mỗi cột của có thể được biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính của cột trong . Điều này có nghĩa là tồn tại một ma trận cỡ sao cho . là ma trận mà cột thứ của nó gồm các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của vectơ cột của để tạo ra cột thứ của . Nói cách khác, là ma trận chứa các bội của các vectơ cơ sở của không gian cột của , còn là ma trận gồm các vectơ cơ sở đó, hai ma trận này kết hợp để tạo ra . Bây giờ, ta có mỗi hàng của được cho bởi một tổ hợp tuyến tính của hàng trong . Vì vậy các hàng của lập thành một hệ sinh của không gian hàng của , và theo bổ đề trao đổi Steinitz, hạng hàng của không thể vượt quá . Điều này chứng tỏ rằng hạng hàng của chỉ có thể là nhỏ hơn hoặc bằng hạng cột của . Kết quả này có thể được áp dụng đối với ma trận bất kỳ, vì thế có thể áp dụng với chuyển vị của . Vì hạng hàng của chuyển vị của là hạng cột của và hạng cột của chuyển vị của là hạng hàng của , chúng ta cũng có bất đẳng thức với chiều ngược lại, suy ra hạng hàng và hạng cột của phải bằng nhau. (Xem thêm Phân tích hạng.)

Chứng minh sử dụng tính trực giao

Cho là một ma trận với các phần tử là số thực với hạng hàng là . Do đó, số chiều của không gian hàng của là . Gọi là một cơ sở của không gian hàng của . Ta khẳng định rằng các vectơ là độc lập tuyến tính. Để chứng tỏ, xét một liên hệ đồng nhất tuyến tính với các vectơ trên với các hệ số vô hướng :

: $0 = c_1 A\mathbf{x}_1 + c_2 A\mathbf{x}_2 + \cdots + c_r A\mathbf{x}_r = A \left (c_1\mathbf{x}_1 + c_2\mathbf{x}_2 + \cdots + c_r\mathbf{x}_r \right ) = A\mathbf{v},$

trong đó . Ta quan sát rằng: (a) là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong không gian hàng của , suy ra thuộc không gian hàng của , và (b) vì , vectơ trực giao với mọi vectơ hàng của và, vì vậy, cũng trực giao với toàn bộ các vectơ trong không gian hàng của . Từ (a) và (b) ta suy ra trực giao với chính nó, điều này dẫn đến hay là, theo định nghĩa của ,

: $c_1\mathbf{x}_1 + c_2\mathbf{x}_2 + \cdots + c_r \mathbf{x}_r = 0.$

Nhưng nhớ rằng được chọn là các vectơ cơ sở của không gian hàng của và vì vậy độc lập tuyến tính. Suy ra . Vậy cũng độc lập tuyến tính.

Đến đây, ta thấy mỗi vectơ hiển nhiên là thuộc không gian cột của . Vì thế, là một tập hợp vectơ độc lập tuyến tính trong không gian cột của , suy ra số chiều của không gian cột của (hay hạng cột của ) phải ít nhất bằng . Điều này cho thấy hạng hàng của không lớn hơn hạng cột của . Bây giờ áp dụng kết quả này với chuyển vị của để được bất đẳng thức chiều ngược lại và kết thúc như chứng minh trước.

Các định nghĩa khác

Trong tất cả các định nghĩa dưới đây, ma trận được coi là có kích thước trên một trường bất kỳ .

Số chiều của ảnh

Cho ma trận , nó là biểu diễn của một ánh xạ tuyến tính

: $f : F^n \to F^m$

được định nghĩa bởi

: $f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ .

Hạng của được định nghĩa là số chiều của ảnh của . Định nghĩa này có một ưu điểm là nó có thể áp dụng cho bất kỳ một ánh xạ tuyến tính nào mà không cần có ma trận biến đổi cụ thể.

Hạng và số chiều của hạt nhân

Cho biến đổi tuyến tính như trên, hạng là trừ đi số chiều của hạt nhân của (số vô hiệu). Từ định lý về hạng và số vô hiệu ta suy ra định nghĩa này là tương đương với định nghĩa trên.

Hạng cột – số chiều của không gian cột

Hạng của ma trận là số các cột độc lập tuyến tính tối đa của ; đây chính là số chiều của không gian cột của (không gian cột là một không gian con của được sinh bởi các vectơ cột của , mà đây cũng chính là ảnh của ánh xạ tuyến tính liên hệ với ).

Hạng hàng – số chiều của không gian hàng

Hạng của ma trận là số các hàng độc lập tuyến tính tối đa của ; đây là số chiều của không gian hàng của .

Phân tích hạng

Hạng của là số nguyên nhỏ nhất sao cho có thể được phân tích dưới dạng $A=CR$ , trong đó là một ma trận và là ma trận . Thật vậy, với mọi số nguyên , những điều sau đây là tương đương: $(1)\Leftrightarrow(2)\Leftrightarrow(3)\Leftrightarrow(4)\Leftrightarrow(5)$ (xem phần trên)

hạng cột của nhỏ hơn hoặc bằng ,

Tồn tại cột cỡ sao cho mỗi cột của là một tổ hợp tuyến tính của ,

tồn tại một ma trận cỡ và một ma trận cỡ sao cho (nếu là hạng, tích này gọi là phân tích hạng của ),

tồn tại hàng cỡ sao cho mỗi hàng của là một tổ hợp tuyến tính của ,

hạng hàng của nhỏ hơn hoặc bằng .

Để chứng minh mệnh đề (3) từ mệnh đề (2), chọn là ma trận có các cột là từ (2). Để chứng minh (2) từ (3), chọn là các cột của .

Từ sự tương đương $(1)\Leftrightarrow(5)$ suy ra hạng hàng bằng hạng cột.

Tương tự trường hợp định nghĩa "số chiều của ảnh", có thể mở rộng khái niệm hạng cho một biến đổi tuyến tính bất kỳ: hạng của một biến đổi tuyến tính là số chiều tối thiểu của một không gian trung gian sao cho có thể được biểu diễn dưới dạng ánh xạ hợp của hai ánh xạ và . Tuy nhiên, định nghĩa này không cho một cách hiệu quả để tính toán hạng (nên sẽ tốt hơn nếu dùng các định nghĩa thay thế). Xem thêm chi tiết tại phân tích hạng.

Hạng theo giá trị suy biến

Hạng của bằng số giá trị suy biến khác 0, cũng là số phần tử khác 0 trên đường chéo của trong phép phân tích giá trị riêng

Hạng theo định thức – kích thước của định thức con khác 0 lớn nhất

Hạng của là bậc lớn nhất trong bất kỳ các định thức con trong . (Bậc của một định thức con là cỡ của ma trận vuông con mà nó là định thức.) Giống như cách định nghĩa theo phân tích hạng, định nghĩa này không cho một cách hiệu quả để thực hiện tính hạng của ma trận, nhưng lại hữu ích về mặt lý thuyết: bậc của một định thức con đơn có cận dưới chính là hạng của ma trận, điều này có thể hữu ích, ví dụ trong việc chứng minh rằng một số phép toán không làm hạng của ma trận giảm đi.

Ma trận chứa một định thức con bậc khác 0 (của ma trận con cỡ với định thức khác 0) cho thấy các hàng và cột của ma trận con đó là độc lập tuyến tính, và do đó các hàng và cột đó của ma trận đầy đủ là độc lập tuyến tính, vì vậy hạng cột và hạng hàng ít nhất là bằng hạng theo định thức. Tuy nhiên, điều ngược lại không dễ chứng tỏ. Để làm rõ sự tương đương giữa hạng theo định thức và hạng cột ta cần làm mạnh hơn mệnh đề rằng nếu span của vectơ có số chiều , thì chỉ cần trong số các vectơ ấy để sinh không gian đó (một cách tương đương, ta khẳng định rằng ta có thể chọn một hệ sinh là một tập hợp con của các vectơ): từ điều này suy ra rằng một tập hợp con của các hàng và một tập hợp con của các cột đồng thời xác định một ma trận con khả nghịch (hay có thể nói, nếu span của n vectơ có số chiều , thì vectơ trong số các vectơ ấy cũng có thể sinh ra không gian đó và tồn tại một tập hợp gồm tọa độ mà chúng độc lập tuyến tính).

Hạng tenxơ

Tính chất

Giả thiết rằng A là một ma trận , và ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính f liên hệ với nó bởi như trên.

Hạng của một ma trận là một số nguyên không âm và không thể lớn hơn m hay n. Tức là, :: $\operatorname{rank}(A) \le \min(m, n).$ : Một ma trận có rank bằng được gọi là có hạng đầy đủ; nếu không thì gọi là thiếu hạng. Chỉ có ma trận không là có hạng bằng 0. $r(A)=r()$ , trong đó A là ma trận thực.
Nếu hai ma trận A và B là tương đương thì $r(A)=r(B)$ .
f là đơn ánh (hay "một-tới-một") khi và chỉ khi ma trận A có hạng bằng n (trong trường hợp này ta nói A có hạng cột đầy đủ).
f là toàn ánh khi và chỉ khi A có hạng bằng m (trong trường hợp này ta nói A có hạng hàng đầy đủ).
Nếu A là một ma trận vuông (tức là ), thì A khả nghịch khi và chỉ khi A có hạng bằng n (tức là A có hạng đầy đủ).
Nếu B là một ma trận cỡ bất kỳ thì ta có bất đẳng thức :: $\operatorname{rank}(AB) \leq \min(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)).$
Cho B là một ma trận có hạng bằng n, ta có :: $\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(A).$
Cho C là một ma trận có hạng bằng m :: $\operatorname{rank}(CA) = \operatorname{rank}(A).$
Hạng của A bằng r khi và chỉ khi tồn tại một ma trận khả đảo X cỡ và một ma trận khả đảo Y cỡ sao cho :: $XAY =
\begin{bmatrix}
I_r & 0 \
0 & 0 \
\end{bmatrix},$ : trong đó _I_r_ là ma trận đơn vị .
Bất đẳng thức hạng Sylvester: nếu A là một ma trận và B là ma trận , ta có :: $\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n \leq \operatorname{rank}(A B).$ : Đây là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức tiếp theo.
Bất đẳng thức của Frobenius: nếu các tích AB, ABC và BC được xác định thì ta có :: $\operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) \le \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(ABC).$
Tính cộng dưới: :: $\operatorname{rank}(A+ B) \le \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)$ : trong đó A và B có cùng kích thước. Ta có hệ quả rằng một ma trận có hạng bằng k có thể được viết dưới dạng tổng của nhiều nhất k ma trận có hạng bằng 1.
Hạng cộng với số chiều của hạt nhân của một ma trận bằng số cột của ma trận đó. (Đây là định lý về hạng và số vô hiệu.)
Nếu A là một ma trận trên trường số thực thì rank của A và rank của ma trận Gram tương ứng là bằng nhau. Do đó, đối với ma trận thực :: $\operatorname{rank}(A^\mathrm{T} A) = \operatorname{rank}(A A^\mathrm{T}) = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^\mathrm{T}).$ : Có thể thấy điều này bằng cách chứng minh rằng các không gian hạt nhân của chúng là như nhau, dẫn đến số chiều như nhau. Hạt nhân của ma trận Gram được cho bởi các vectơ x sao cho $A^\mathrm{T} A x = 0.$ Nếu điều kiện này được thỏa mãn, chúng ta cũng sẽ có $0 = x^\mathrm{T} A^\mathrm{T} A x = \left| A x \right| ^2.$
Nếu A là một ma trận trên trường số phức và $\overline{A}$ ký hiệu cho ma trận liên hợp phức của A và A^∗ là chuyển vị liên hợp của A (tức là liên hợp Hermite của A), thì :: $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(\overline{A}) = \operatorname{rank}(A^\mathrm{T}) = \operatorname{rank}(A^$ ) = \operatorname{rank}(A^A) = \operatorname{rank}(AA^*).

Ứng dụng

Một ứng dụng hữu ích, điển hình của việc tính hạng của ma trận là xét số nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính. Theo định lý Rouché–Capelli, hệ phương trình không nhất quán nếu hạng của ma trận bổ sung lớn hơn hạng của ma trận hệ số. Ngược lại, nếu hạng của hai ma trận này bằng nhau thì hệ phải có ít nhất một nghiệm. Nghiệm là duy nhất khi và chỉ khi hạng này bằng số biến. Nếu không, nghiệm tổng quát có k tham số (biến) tự do trong đó k là hiệu giữa số biến và hạng. Trong trường hợp này (và giả sử hệ phương trình số thực hoặc phức) thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

Trong lý thuyết điều khiển, hạng của ma trận có thể được sử dụng để xác định xem một hệ thống tuyến tính là có thể điều khiển được hay có thể quan sát được.

Trong lĩnh vực về độ phức tạp truyền thông, hạng của ma trận truyền thông của một chức năng đưa ra giới hạn về lượng truyền thông cần thiết để hai bên tính toán chức năng.

Tổng quát hóa

Có những cách khái quát khác nhau về khái niệm hạng cho ma trận trên các vành tùy ý, trong đó các khái niệm hạng cột, hạng hàng, số chiều của không gian cột và số chiều của không gian hàng của ma trận có thể không tương đồng với nhau hoặc có thể không tồn tại.

Coi ma trận là tenxơ, hạng tenxơ là khái niệm tổng quát cho các tenxơ tùy ý; đối với tenxơ với bậc lớn hơn 2 (ma trận là tenxơ bậc 2), hạng rất khó tính toán, không giống như đối với ma trận.

Có khái niệm về hạng cho các ánh xạ trơn giữa các đa tạp trơn. Nó bằng với hạng tuyến tính của đạo hàm.

👁️ 2 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Hạng (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tính, **hạng** (rank) của một ma trận là số chiều của không gian vectơ được sinh (span) bởi các vectơ cột của nó. Điều này tương đương với số cột độc

💫 Không gian thương (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tính, **thương** của một không gian vectơ _V_ với một không gian vectơ con _N_ là một không gian vectơ thu được khi "thu gọn" _N_ về không. Không gian thu

💫 Vết (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tính, **vết** (tiếng Anh: _trace_) của một ma trận vuông A bậc _n_x_n_ được xác định bằng tổng các phần tử trên đường chéo chính (đường nối từ góc trên bên

💫 Hạt nhân (đại số tuyến tính)

nhỏ|346x346px| Hạt nhân và ảnh của ánh xạ Trong toán học, **hạt nhân** (_kernel_) của một ánh xạ tuyến tính, còn gọi là **hạch** hay **không gian vô hiệu** (_null space_), là không gian vectơ

💫 Hệ phương trình tuyến tính

thumb|phải|Một hệ phương trình tuyến tính ba ẩn có thể được xem là tập hợp các mặt phẳng giao nhau. Giao điểm là nghiệm của hệ. Trong toán học (cụ thể là trong đại số

💫 Đại số

**Đại số** là một nhánh của toán học nghiên cứu những hệ thống trừu tượng nhất định gọi là cấu trúc đại số và sự biến đổi biểu thức trong các hệ thống này. Đây

💫 Định lý về hạng

liên_kết=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Rank-nullity.svg|nhỏ|263x263px|Mô tả liên hệ giữa hạng và số chiều của hạt nhân **Định lý về hạng** (còn gọi là **định lý về hạng và số vô hiệu**, **định lý về số chiều**) là một trong

💫 Biến đổi tuyến tính

Trong toán học, một phép **biến đổi tuyến tính** (còn được gọi là **toán tử tuyến tính** hoặc là **ánh xạ tuyến tính**) là một ánh xạ

V \rightarrow W

giữa hai mô đun (cụ

💫 Trường (đại số)

thumb|[[Hình thất giác đều không thể dựng được thước kẻ và compa; Điều này có thể chứng minh sử dụng trường của số dựng được.]] Trong toán học, một **trường** là một tập hợp mà

💫 Span tuyến tính

Trong toán học, **span tuyến tính** (hay **bao tuyến tính** hay gọi tắt là **span**) của một tập hợp vectơ (từ một không gian vectơ), ký hiệu , là không gian con tuyến tính nhỏ

💫 Bình phương tối thiểu tuyến tính

**Bình phương tối thiểu tuyến tính** là một kỹ thuật trong ngành tối ưu toán học để tìm một nghiệm gần đúng cho một hệ phương trình tuyến tính không có nghiệm chính xác. Điều

💫 Đại số sơ cấp

thumb|[[Phương trình bậc hai|Công thức giải phương trình bậc 2 thể hiện các nghiệm của phương trình bậc hai

ax^2 + bx +c=0

theo các hệ số của nó

a, b, c

, trong đó

a

💫 Ma trận (toán học)

phải|Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký hiệu bằng một biến với hai chỉ số ở dưới. Ví dụ, a_2,1 biểu diễn phần tử ở hàng thứ hai và cột thứ nhất

💫 Không gian hàng và cột

💫 Giá trị riêng và vectơ riêng

phải|nhỏ|250x250px|Ma trận biến đổi _A_ tác động bằng việc kéo dài vectơ _x_ mà không làm đổi phương của nó, vì thế _x_ là một vectơ riêng của _A_. Trong đại số tuyến tính, một

💫 Tính giao hoán

Trong toán học, một phép toán hai ngôi có tính **giao hoán** khi thay đổi thứ tự của hai toán hạng không làm thay đổi giá trị kết quả. Nó là tính chất cơ bản

💫 Xếp hạng đại học tại Hoa Kỳ

**Các bảng xếp hạng đại học tại Hoa Kỳ** đánh giá các trường đại học và viện đại học tốt nhất tại nước này dựa trên các yếu tố khác nhau. Việc xếp hạng thường

💫 Định thức

**Định thức**, trong đại số tuyến tính, là một hàm cho mỗi ma trận vuông _A_, tương ứng với số vô hướng, ký hiệu là **det**(_A_). Ý nghĩa hình học của định thức là tỷ

💫 Không gian Hilbert

Trong toán học, **không gian Hilbert** (Hilbert Space) là một dạng tổng quát hóa của không gian Euclid mà không bị giới hạn về vấn đề hữu hạn chiều. Đó là một không gian có

💫 Định lý Rouché–Capelli

**Định lý Rouché–Capelli** là một định lý trong đại số tuyến tính xác định số nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính, khi cho biết hạng của ma trận mở rộng và ma trận

💫 Hệ số

Trong toán học, **hệ số** là một nhân tử (số nhân) trong một vài số hạng của một biểu thức. Nó thường là một số, nhưng không phải là biến số. Ví dụ, trong biểu

💫 Tương đương hàng

Trong đại số tuyến tính, hai ma trận được gọi là **tương đương hàng** nếu ta có thể chuyển đổi qua lại giữa chúng bởi một dãy hữu hạn các phép biến đổi hàng sơ

💫 Ma trận lũy đẳng

Trong đại số tuyến tính, **ma trận lũy đẳng** là ma trận mà khi nhân với chính nó, sẽ cho ra chính nó. Có nghĩa là, ma trận

A

là lũy đẳng khi và chỉ

💫 Phân tích LU

Trong đại số tuyến tính, **phân tích LU** (LU decomposition, LU factorization) là phương pháp phân tích ma trận thành tích của một ma trận tam giác dưới và một ma trận tam giác trên.

💫 Phương trình đại số

Một **phương trình đại số** với _n_ biến số là một phương trình có dạng: :_f_(_x_₁, _x_₂,..., _x__n) = 0 trong đó _f_(_x_₁,_x_₂,...,_x__n) là một đa thức của _n_ ẩn _x_₁, _x_₂,..., _x__{_n_}. :

f=\sum_{}^{} c_{e_1,e_2,...,e_n}x_1^{e_1}x_2^{e_2}

💫 Chuyển vị liên hợp

Trong toán học, **chuyển vị liên hợp** (_conjugate transpose_) của một ma trận phức

\boldsymbol{A}

cỡ

m \times n

là một ma trận thu được bằng cách chuyển vị

\boldsymbol{A}

và lấy liên hợp phức

💫 Dạng hàng bậc thang

Trong đại số tuyến tính, dạng **bậc thang** của một ma trận là hình dạng thu được của nó sau khi thực hiện phép khử Gauss. Một ma trận ở dạng **hàng bậc thang** có

💫 Quá trình Gram–Schmidt

phải|khung|Hai bước đầu tiên của quá trình Gram–Schmidt Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực đại số tuyến tính và giải tích số, **quá trình Gram–Schmidt** là một phương pháp trực chuẩn hóa

💫 Mã tuyến tính

Trong lý thuyết mã hóa, **mã tuyến tính** là mã sửa lỗi trong đó mọi tổ hợp tuyến tính của các mã tự cũng là một mã tự. Mã tuyến tính thường được phân loại

💫 Phép khử Gauss

Trong đại số tuyến tính, **phép khử Gauss** là một thuật toán có thể được sử dụng để tìm nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính, tìm hạng (hay rank) của một ma trận,

💫 Dạng toàn phương

Trong toán học, một **dạng toàn phương** là một đa thức với các số hạng có bình phương. Ví dụ : là một dạng toàn phương với các biến _x_ và _y_. Các hệ số

💫 Ma trận Vandermonde

Trong đại số tuyến tính, một **ma trận Vandermonde**, đặt tên theo Alexandre-Théophile Vandermonde, là một ma trận với các phần tử tạo thành một cấp số nhân trên mỗi hàng, nghĩa là, một ma

💫 Tính toán song song

[[Siêu máy tính song song hàng loạt Blue Gene/P của IBM]] **Tính toán song song** (tiếng Anh: _Parallel computing_), là một hình thức tính toán trong đó nhiều phép tính và tiến trình được thực

💫 Số tuyến đường

**Số**, **ký hiệu** hoặc **chữ viết tắt của tuyến đường** là ký hiệu nhận dạng bằng số (hoặc chữ và số) được cơ quan quản lý đường cao tốc gán cho một đoạn đường cụ

💫 Trường Đại học Trà Vinh

**Trường Đại học Trà Vinh** (tiếng Anh: _Tra Vinh University - TVU_) là một trường đại học đa ngành tại tỉnh Trà Vinh thuộc nhóm trường có tốc độ phát triển bền vững nhanh nhất

💫 Phương trình

**Phương trình** là một biểu thức toán học có chứa các biến số và các phép toán, trong đó các giá trị của các biến được tìm kiếm để làm cho cả biểu thức trở

💫 Phương trình Diophantos

thumb|Việc tìm tất cả các [[bộ ba số Pythagoras|tam giác vuông có cạnh nguyên tương đương với việc giải phương trình Diophantos .]] Trong toán học, **phương trình Diophantos** là phương trình đa thức, thường

💫 Điều khiển Gauss tuyến tính-bậc hai

Trong lý thuyết điều khiển tự động, bài toán điều khiển Gauss tuyến tính-bậc hai (LQG) là một trong những bài toán điều khiển tối ưu cơ bản nhất. Nó liên quan đến các hệ

💫 Số thực

right|thumb|Kí hiệu tập hợp **số thực** (ℝ) Trong toán học, một **số thực** là một giá trị của một đại lượng liên tục có thể biểu thị một khoảng cách dọc theo một đường thẳng

💫 Toán tử

Trong toán học, một **toán tử** (tiếng Anh _operator_, phân biệt với _operation_ - phép toán) là một hàm, thông thường có một vai trò quan trọng trong một lĩnh vực nào đấy. Chẳng hạn

💫 Hoàng kim thời đại

**Hoàng kim thời đại** (, ) là một phim truyện ký do Hứa An Hoa đạo diễn, xuất phẩm ngày 01 tháng 10 năm 2014 tại Hoa lục và 13 tháng 02 năm 2015 tại

💫 Số nguyên

Trong toán học, **số nguyên** được định nghĩa một cách thông dụng là một số có thể được viết mà không có thành phần phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là các

💫 Chiều (không gian vectơ)

Trong toán học, **số chiều** của một không gian vectơ _V_ là số lượng (tức là số vectơ) trong một hệ cơ sở của _V_ trên trường cơ sở của nó. Nó đôi khi cũng

💫 Trường Đại học Sài Gòn

**Trường Đại học Sài Gòn** là một cơ sở giáo dục đại học đa ngành trực thuộc Ủy ban nhân dân Thành phố Hồ Chí Minh, được thành lập theo Quyết định số 478/QĐ-TTg ngày

💫 Đại học Manchester

**Đại học Manchester** là một trường đại học nghiên cứu công lập tại Manchester, Anh. Cơ sở chính nằm ở phía nam Trung tâm Thành phố Manchester trên Đường Oxford. Trường đại học sở hữu

💫 Đại học Cambridge

nhỏ|[[Peterhouse , trường cao đẳng đầu tiên của Cambridge, được thành lập vào năm 1284]] **Viện Đại học Cambridge** (tiếng Anh: _University of Cambridge_), còn gọi là **Đại học Cambridge**, là một viện đại học

💫 Đại học George Mason

**Đại học George Mason** (tiếng Anh: _George Mason University_; gọi tắt: _Mason_ hoặc _GMU_) là một trường đại học nghiên cứu công lập nằm tại quận Fairfax, bang Virginia, Hoa Kỳ. Trường nằm ở phía

💫 Đại học Georgia

**Đại học Georgia** (, viết tắt là **UGA** hoặc **Georgia**) là một đại học nghiên cứu công lập được cấp đất tại Hoa Kỳ, được thành lập từ năm 1785, có khuôn viên chính ở

💫 Đại học Oxford

nhỏ|Năm 1605, Oxford vẫn là một thành phố có tường bao quanh, nhưng một số trường cao đẳng đã được xây dựng bên ngoài tường thành (phía bắc nằm ở cuối bản đồ này). **Viện

💫 Đại học Quốc tế Florida

**Đại học Quốc tế Florida** là một trường đại học nghiên cứu công lập với khuôn viên chính tại University Park, Florida, Hoa Kỳ. Được thành lập vào năm 1965 bởi Quốc hội Florida, trường