✨Định lý về hạng

liên_kết=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Rank-nullity.svg|nhỏ|263x263px|Mô tả liên hệ giữa hạng và số chiều của hạt nhân Định lý về hạng (còn gọi là định lý về hạng và số vô hiệu, định lý về số chiều) là một trong những định lý cơ bản của đại số tuyến tính. Định lý phát biểu rằng, đối với một ánh xạ tuyến tính thì tổng của hạng (số chiều của ảnh) và số vô hiệu (số chiều của hạt nhân) bằng số chiều của miền xác định của nó.

Phát biểu định lý

Cho $V$, $W$ là các không gian vectơ, trong đó $V$ hữu hạn chiều. Cho $T\; \backslash colon\; V\; \backslash to\; W$ là một biến đổi tuyến tính. Ta có

: $\backslash operatorname\{Rank\}(T)\; +\; \backslash operatorname\{Nullity\}(T)\; =\; \backslash dim\; V$,

trong đó Rank là hạng của phép biến đổi, còn Nullity là số vô hiệu tức là số chiều của hạt nhân của phép biến đổi.

: $\backslash operatorname\{Rank\}(T)\; :=\; \backslash dim(\backslash operatorname\{Im\}(T))$ và $\backslash operatorname\{Nullity\}(T)\; :=\; \backslash dim(\backslash operatorname\{Ker\}\; (T)).$

Dựa vào bổ đề tách, ta có thể phát biểu định lý này dưới dạng một mệnh đề về sự đẳng cấu giữa các không gian, chứ không chỉ riêng về số chiều của chúng. Một cách rõ ràng, vì ánh xạ tạo ra một đẳng cấu từ không gian thương $V/\backslash operatorname\{Ker\}\; (T)$ vào không gian $\backslash operatorname\{Im\}\; (T)$ nên từ sự tồn tại một cơ sở của có thể suy ra từ bổ đề tách rằng $\backslash operatorname\{Image\}(T)\; \backslash oplus\; \backslash operatorname\{Ker\}(T)\; \backslash cong\; V$. Chuyển sang số chiều, ta có định lý về hạng.

Ma trận

Vì $\backslash operatorname\{Mat\}${m \times n}(\mathbb{F}) \cong \operatorname{Hom}(\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m) nên ta nghĩ ngay đến ma trận khi nói về ánh xạ tuyến tính. Với trường hợp một ma trận $m\backslash times\; n$, số chiều của miền xác định là $n$, cũng là số cột của ma trận. Vì thế đẳng thức của định lý về hạng đối với một ma trận $M\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Mat\}${m \times n}(\mathbb{F}) cho trước trở thành

: $\backslash operatorname\{Rank\}(M)\; +\; \backslash operatorname\{Nullity\}(M)\; =\; n$.

Chứng minh

Ở đây trình bày hai chứng minh. Chứng minh đầu tiên xét hệ tuyến tính đồng nhất $\backslash mathbf\{Ax\}\; =\; \backslash mathbf\{0\}$ trong đó ma trận $\backslash mathbf\{A\}\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Mat\}\_\{m\; \backslash times\; n\}(\backslash mathbb\{F\})$ có hạng $r$ và chứng tỏ tồn tại một tập hợp gồm đúng $n-r$ các nghiệm độc lập tuyến tính và span hạt nhân của $\backslash mathbf\{A\}$.

Trong khi định lý yêu cầu miền xác định của ánh xạ tuyến tính phải là hữu hạn chiều, đối với miền giá trị lại không có yêu cầu như vậy. Điều này có nghĩa là có những ánh xạ tuyến tính thỏa mãn định lý nhưng không được cho bởi các ma trận. Tuy nhiên, chứng minh thứ nhất thực ra không tổng quát hơn chứng minh thứ hai: bởi vì ảnh của ánh xạ tuyến tính là hữu hạn chiều, chúng ta có thể biểu diễn được ánh xạ đó từ miền xác định vào ảnh bằng một ma trận, sau đó chứng minh định lý đối với ma trận đó, cuối cùng đưa ảnh vào tập đích đầy đủ.

Chứng minh thứ nhất

Cho $V,\; W$ là các không gian vectơ trên một trường $\backslash mathbb\{F\}$ và biến đổi $T$ được định nghĩa như phát biểu của định lý với $\backslash dim\; V\; =\; n$.

Vì $\backslash operatorname\{Ker\}T\; \backslash subset\; V$ là một không gian con của $V$ nên tồn tại một cơ sở. Giả sử $\backslash dim\backslash operatorname\{Ker\}T\; =\; k$ và gọi

: $\backslash mathcal\{K\}\; :=\; \{v\_1,\; \backslash ldots,\; v\_k\}\; \backslash subset\; \backslash operatorname\{Ker\}(T)$

là cơ sở của nó. Bây giờ theo bổ đề trao đổi Steinitz ta có thể mở rộng cơ sở $\backslash mathcal\{K\}$ bằng cách bổ sung thêm vào $n-k$ vectơ độc lập tuyến tính $w$1, \ldots, w{n-k} để có một cơ sở đầy đủ của $V$. Đặt

: $\backslash mathcal\{S\}\; :=\; \{w$1, \ldots, w{n-k}} \subset V \setminus \operatorname{Ker}(T)

sao cho

: $\backslash mathcal\{B\}\; :=\; \backslash mathcal\{K\}\; \backslash cup\; \backslash mathcal\{S\}\; =\; \{v\_1,\; \backslash ldots,\; v\_k,\; w$1, \ldots, w{n-k}} \subset V

là một cơ sở của $V$. Từ đây, ta có

: $\backslash operatorname\{Im\}\; T\; =\; \backslash operatorname\{Span\}T(\backslash mathcal\{B\})\; =\; \backslash operatorname\{Span\}\{T(v\_1),\; \backslash ldots,\; T(v\_k),\; T(w$1), \ldots, T(w{n-k})} = \operatorname{Span}{T(w1), \ldots, T(w{n-k})} = \operatorname{Span}T(\mathcal{S}) .

Ta chứng minh rằng hệ $T(\backslash mathcal\{S\})$ là một cơ sở của $\backslash operatorname\{Im\}\; T$. Từ đẳng thức trên ta có $T(\backslash mathcal\{S\})$ là hệ sinh của $\backslash operatorname\{Im\}\; T$; việc còn lại là chứng tỏ hệ vectơ trên là độc lập tuyến tính để kết luận rằng nó là cơ sở.

Giả sử hệ $T(\backslash mathcal\{S\})$ không độc lập tuyến tính, và cho rằng

: $\backslash sum\_\{j=1\}^\{n-k\}\; \backslash alpha\; \_j\; T(w\_j)\; =\; 0\_W$ : với các $\backslash alpha\; \_j\; \backslash in\; \backslash mathbb\{F\}$ nào đó.

Do đó, nhờ tính tuyến tính của $T$, từ đây suy ra rằng

: $T\; \backslash left(\backslash sum\_\{j=1\}^\{n-k\}\; \backslash alpha\; \_j\; w\_j\; \backslash right)\; =\; 0$W \implies \left(\sum{j=1}^{n-k} \alpha _j w_j \right) \in \operatorname{Ker} T = \operatorname{Span} \mathcal{K} \subset V.

Điều này mâu thuẫn với $\backslash mathcal\{B\}$ là một cơ sở, trừ khi tất cả các hệ số $\backslash alpha\; \_j$ đều bằng 0. Ta suy ra hệ $T(\backslash mathcal\{S\})$ phải là độc lập tuyến tính, và hơn nữa hệ này là cơ sở của $\backslash operatorname\{Im\}T$.

Nói tóm lại, ta có hệ $\backslash mathcal\{K\}$ là cơ sở của $\backslash operatorname\{Ker\}T$, và hệ $T(\backslash mathcal\{S\})$ là cơ sở của $\backslash operatorname\{Im\}T$.

Cuối cùng ta có thể khẳng định rằng

: $\backslash operatorname\{Rank\}(T)\; +\; \backslash operatorname\{Nullity\}(T)\; =\; \backslash dim\; \backslash operatorname\{Im\}\; T\; +\; \backslash dim\; \backslash operatorname\{Ker\}T\; =\; |T(\backslash mathcal\{S\})|\; +\; |\backslash mathcal\{K\}|\; =\; (n-k)\; +\; k\; =\; n\; =\; \backslash dim\; V$.

Ta có điều phải chứng minh.

Chứng minh thứ hai

Cho ma trận $\backslash mathbf\{A\}\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Mat\}${m \times n}(\mathbb{F}) với $r$ cột độc lập tuyến tính (nói cách khác $\backslash operatorname\{Rank\}(\backslash mathbf\{A\})\; =\; r$). Để có định lý ta sẽ chứng tỏ rằng:Để bắt đầu ta sẽ xây dựng một ma trận $\backslash mathbf\{X\}\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Mat\}${n \times (n-r)}(\mathbb{F}) với các cột tạo thành một cơ sở cho không gian hạt nhân của $\backslash mathbf\{A\}$.

Không mất tính tổng quát, giả thiết rằng $r$ cột đầu tiên của $\backslash mathbf\{A\}$ là độc lập tuyến tính. Vì vậy ta có thể biểu diễn

: ,

trong đó

: $\backslash mathbf\{A\}$1 \in \operatorname{Mat}{m \times r}(\mathbb{F}) gồm $r$ vectơ độc lập tuyến tính, và : $\backslash mathbf\{A\}$2 \in \operatorname{Mat}{m \times (n-r)}(\mathbb{F}) mỗi cột trong số $n-r$ cột của nó là tổ hợp tuyến tính của các cột trong $\backslash mathbf\{A\}\_1$.

Điều này có nghĩa là $\backslash mathbf\{A\}\_2\; =\; \backslash mathbf\{A\}$1\mathbf{B} với một ma trận $\backslash mathbf\{B\}\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Mat\}${r \times (n-r)} (xem bài phân tích hạng) và vì thế,

: .

Đặt

: $\backslash mathbf\{X\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; -\backslash mathbf\{B\}\; \backslash \; \backslash mathbf\{I\}\_\{n-r\}\; \backslash end\{pmatrix\}$,

trong đó $\backslash mathbf\{I\}${n-r} là ma trận đơn vị $(n-r)\backslash times\; (n-r)$. Lưu ý rằng $\backslash mathbf\{X\}\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Mat\}${n \times (n-r)}(\mathbb{F}) thỏa mãn

: 1\mathbf{B} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\mathbf{B} \ \mathbf{I}{n-r} \end{pmatrix} = -\mathbf{A}_1\mathbf{B} + \mathbf{A}1\mathbf{B} = \mathbf{0}{m \times (n-r)}.

Vì vậy, mỗi cột trong số $n-r$ cột của $\backslash mathbf\{X\}$ là các nghiệm của hệ $\backslash mathbf\{Ax\}\; =\; \backslash mathbf\{0\}\_\{\backslash mathbb\{F\}^\{m$.

Hơn nữa, $n-r$ cột của $\backslash mathbf\{X\}$ là độc lập tuyến tính bởi vì $\backslash mathbf\{Xu\}\; =\; \backslash mathbf\{0\}${\mathbb{F}^{n suy ra $\backslash mathbf\{u\}\; =\; \backslash mathbf\{0\}${\mathbb{F}^{n-r với vectơ $\backslash mathbf\{u\}\; \backslash in\; \backslash mathbb\{F\}^\{n-r\}$ gồm các hệ số:

: $\backslash mathbf\{X\}\backslash mathbf\{u\}\; =\; \backslash mathbf\{0\}${\mathbb{F}^{n \implies \begin{pmatrix} -\mathbf{B} \ \mathbf{I}{n-r} \end{pmatrix}\mathbf{u} = \mathbf{0}{\mathbb{F}^{n \implies \begin{pmatrix} -\mathbf{B}\mathbf{u} \ \mathbf{u} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{0}{\mathbb{F}^{r \ \mathbf{0}{\mathbb{F}^{n-r \end{pmatrix} \implies \mathbf{u} = \mathbf{0}{\mathbb{F}^{n-r.

Vì vậy, các vectơ cột của $\backslash mathbf\{X\}$ tạo thành một tập hợp gồm $n-r$ nghiệm độc lập tuyến tính của hệ $\backslash mathbf\{Ax\}\; =\; \backslash mathbf\{0\}\_\{\backslash mathbb\{F\}^\{m$.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh một nghiệm bất kỳ của hệ $\backslash mathbf\{Ax\}\; =\; \backslash mathbf\{0\}\_\{\backslash mathbb\{F\}^\{m$ phải là một tổ hợp tuyến tính của các cột trong $\backslash mathbf\{X\}$.

Để có điều này, cho

: $\backslash mathbf\{u\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; \backslash mathbf\{u\}\_1\; \backslash \; \backslash mathbf\{u\}\_2\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash in\; \backslash mathbb\{F\}^\{n\}$

là một vectơ bất kỳ sao cho $\backslash mathbf\{Au\}\; =\; \backslash mathbf\{0\}\_\{\backslash mathbb\{F\}^\{m$. Lưu ý rằng bởi vì các cột của $\backslash mathbf\{A\}\_1$ là độc lập tuyến tính nên $\backslash mathbf\{A\}$1\mathbf{x} = \mathbf{0}{\mathbb{F}^{m dẫn đến $\backslash mathbf\{x\}\; =\; \backslash mathbf\{0\}\_\{\backslash mathbb\{F\}^\{r$.

Vì vậy,

: 2) & = & \mathbf{0}{\mathbb{F}^{m \ \implies \mathbf{u}_1 + \mathbf{B}\mathbf{u}2 & = & \mathbf{0}{\mathbb{F}^{r \ \implies \mathbf{u}_1 & = & -\mathbf{B}\mathbf{u}_2 \end{array}

: $\backslash implies\; \backslash mathbf\{u\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; \backslash mathbf\{u\}\_1\; \backslash \; \backslash mathbf\{u\}$2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\mathbf{B} \ \mathbf{I}{n-r} \end{pmatrix}\mathbf{u}_2 = \mathbf{X}\mathbf{u}_2.

Điều này cho thấy một vectơ $\backslash mathbf\{u\}$ là nghiệm của $\backslash mathbf\{Ax\}\; =\; \backslash mathbf\{0\}$ cũng phải là một tổ hợp tuyến tính của $n-r$ các nghiệm đặc biệt cho bởi các cột của $\backslash mathbf\{X\}$. Mà ta đã chứng minh rằng các cột của $\backslash mathbf\{X\}$ là độc lập tuyến tính. Vì thế các cột của $\backslash mathbf\{X\}$ tạo ra một cơ sở cho không gian hạt nhân của ma trận $\backslash mathbf\{A\}$. Vậy số chiều hạt nhân, hay số vô hiệu của $\backslash mathbf\{A\}$ là $n-r$. Vì $r$ bằng hạng của $\backslash mathbf\{A\}$, ta suy ra $\backslash operatorname\{Rank\}(\backslash mathbf\{A\})\; +\; \backslash operatorname\{Nullity\}(\backslash mathbf\{A\})\; =\; n$. Đến đây ta kết thúc chứng minh.

Trích dẫn

Tham khảo sách

• .

Thể loại:Đại số tuyến tính Thể loại:Đại số