✨Chuyển vị liên hợp

Trong toán học, chuyển vị liên hợp (conjugate transpose) của một ma trận phức $\backslash boldsymbol\{A\}$ cỡ $m\; \backslash times\; n$ là một ma trận thu được bằng cách chuyển vị $\backslash boldsymbol\{A\}$ và lấy liên hợp phức của từng hệ số trong ma trận $\backslash boldsymbol\{A\}$ (liên hợp phức của số phức $a+ib$ là $a-ib$, với hai số thực $a$ và $b$). Chuyển vị liên hợp có kích cỡ $n\; \backslash times\; m$ và thường được ký hiệu là $\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}$ hay $\backslash boldsymbol\{A\}^*$ hay $\backslash boldsymbol\{A\}\text{'}$, hoặc một ký hiệu rất thường gặp trong vật lý là $\backslash boldsymbol\{A\}^\{\backslash dagger\}$. Nó còn được gọi là chuyển vị Hermite, theo tên của nhà toán học Pháp Charles Hermite, hoặc chỉ đơn giản là liên hợp (adjoint).

Đối với các ma trận thực, chuyển vị liên hợp chỉ đơn giản là chuyển vị, $\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}\; =\; \backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathsf\{T\}$.

Định nghĩa

Chuyển vị liên hợp của một ma trận $\backslash boldsymbol\{A\}$ cỡ $m\; \backslash times\; n$ được định nghĩa chính tắc là:|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFAtrong đó chỉ số $ij$ ký hiệu cho hệ số thứ $(i,j)$ trong ma trận, với $1\; \backslash le\; i\; \backslash le\; n$ và $1\; \backslash le\; j\; \backslash le\; m$, và gạch ngang trên ký hiệu liên hợp phức vô hướng.

Định nghĩa trên còn có thể được viết dưới dạng

: $\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}\; =\; \backslash left(\backslash overline\{\backslash boldsymbol\{A\backslash right)^\backslash mathsf\{T\}\; =\; \backslash overline\{\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathsf\{T$

trong đó $\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathsf\{T\}$ ký hiệu cho chuyển vị và $\backslash overline\{\backslash boldsymbol\{A$ ký hiệu cho ma trận với các số hạng được lấy liên hợp phức.

Một số tên gọi khác cho chuyển vị liên hợp của một ma trận bao gồm chuyển vị Hermite, ma trận liên hợp hay chuyển hợp. Chuyển vị liên hợp của ma trận $\backslash boldsymbol\{A\}$ có thể được ký hiệu bởi một trong các cách sau:

• $\backslash boldsymbol\{A\}^*$, thường được dùng trong đại số tuyến tính
• $\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}$, thường được dùng trong đại số tuyến tính
• $\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash dagger$ (đôi khi còn được đọc là _A đao_), thường được dùng trong cơ học lượng tử
• $\backslash boldsymbol\{A\}^+$, mặc dù ký hiệu này thường được sử dụng hơn để chỉ giả nghịch đảo Moore–Penrose

Trong một số ngữ cảnh, $\backslash boldsymbol\{A\}^*$ ký hiệu cho ma trận chỉ với các hệ số được liên hợp phức và không có chuyển vị.

Ví dụ

Giả sử chúng ta muốn tính toán chuyển vị liên hợp của ma trận $\backslash boldsymbol\{A\}$ sau.

:

Đầu tiên ta chuyển vị ma trận:

:

Sau đó ta lấy liên hợp từng hệ số của ma trận:

:

Một số liên hệ cơ bản

Một ma trận vuông $\backslash boldsymbol\{A\}$ với các hệ số $a\_\{ij\}$ được gọi là

• Hermite hay tự liên hợp nếu $\backslash boldsymbol\{A\}=\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}$; tức là $a${ij} = \overline{a{ji.
• Hermite chéo hay phản hermite nếu $\backslash boldsymbol\{A\}=-\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}$; tức là $a${ij} = -\overline{a{ji.
• Chuẩn tắc nếu $\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}\; \backslash boldsymbol\{A\}\; =\; \backslash boldsymbol\{A\}\; \backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}$.
• Unita nếu $\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}\; =\; \backslash boldsymbol\{A\}^\{-1\}$, hay $\backslash boldsymbol\{A\}\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}\; =\; \backslash boldsymbol\{I\}$, hay $\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}\backslash boldsymbol\{A\}\; =\; \backslash boldsymbol\{I\}$.

Ngay cả nếu $\backslash boldsymbol\{A\}$ không là ma trận vuông, hai ma trận $\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}\backslash boldsymbol\{A\}$ và $\backslash boldsymbol\{A\}\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}$ đều là hermite và chính là các ma trận nửa xác định dương.

Khái niệm a trận chuyển vị "liên hợp" $\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}$ không được nhầm lẫn với ma trận phụ hợp (adjugate), $\backslash operatorname\{adj\}(\backslash boldsymbol\{A\})$, đôi khi cũng được gọi là adjoint.

Chuyển vị liên hợp $\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}$ của ma trận $\backslash boldsymbol\{A\}$ với các hệ số thực đơn giản về chuyển vị $\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathsf\{T\}$ của $\backslash boldsymbol\{A\}$, bởi liên hợp của một số thực là chính nó.

Đặt vấn đề

Chuyển vị liên hợp được nảy sinh từ cách mà các số phức có thể được biểu diễn hữu ích bằng các ma trận thực $2\; \backslash times\; 2$, thỏa mãn các phép toán cộng và nhân:

:

Điều này nghĩa là, ký hiệu mỗi số phức $z$ bằng một ma trận thực $2\; \backslash times\; 2$ biểu diễn biến đổi tuyến tính trên sơ đồ Argand (được coi là không gian vectơ thực $\backslash mathbb\{R\}^2$), chịu ảnh hưởng của phép nhân phức với $z$ trên $\backslash mathbb\{C\}$.

Do đó, một ma trận phức $m\; \backslash times\; n$ cũng được biểu diễn hiệu quả bởi một ma trận $2m\; \backslash times\; 2n$ gồm các số thực. Chuyển vị liên hợp do đó được nảy sinh một cách tự nhiên từ kết quả của việc chuyển vị một ma trận như vậy—khi được xem lại là một ma trận $n\; \backslash times\; m$ gồm các số phức.

Tính chất của chuyển vị liên hợp

• $(\backslash boldsymbol\{A\}\; +\; \backslash boldsymbol\{B\})^\backslash mathrm\{H\}\; =\; \backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}\; +\; \backslash boldsymbol\{B\}^\backslash mathrm\{H\}$ đối với hai ma trận phức bất kỳ $\backslash boldsymbol\{A\}$ và $\backslash boldsymbol\{B\}$ cùng số chiều.
• $(z\backslash boldsymbol\{A\})^\backslash mathrm\{H\}\; =\; \backslash overline\{z\}\; \backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}$ với một số phức $z$ bất kỳ và một ma trận $\backslash boldsymbol\{A\}$ cỡ $m\; \backslash times\; n$ bất kỳ.
• $(\backslash boldsymbol\{A\}\backslash boldsymbol\{B\})^\backslash mathrm\{H\}\; =\; \backslash boldsymbol\{B\}^\backslash mathrm\{H\}\; \backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}$ với một ma trận $\backslash boldsymbol\{A\}$ cỡ $m\; \backslash times\; n$ bất kỳ và một ma trận $\backslash boldsymbol\{B\}$ cỡ $n\; \backslash times\; p$ bất kỳ. Chú ý rằng thứ tự của các thừa số bị đảo ngược.
• $\backslash left(\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}\backslash right)^\backslash mathrm\{H\}\; =\; \backslash boldsymbol\{A\}$ đối với một ma trận $\backslash boldsymbol\{A\}$ cỡ $m\; \backslash times\; n$, một cách tương đương chuyển vị Hermite là một đối hợp.
• Nếu $\backslash boldsymbol\{A\}$ là một ma trận vuông thì $\backslash det\backslash left(\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}\backslash right)\; =\; \backslash overline\{\backslash det\backslash left(\backslash boldsymbol\{A\}\backslash right)\}$ trong đó $\backslash operatorname\{det\}(A)$ là định thức của $\backslash boldsymbol\{A\}$ .
• Nếu $\backslash boldsymbol\{A\}$ là một ma trận vuông thì $\backslash operatorname\{tr\}\backslash left(\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}\backslash right)\; =\; \backslash overline\{\backslash operatorname\{tr\}(\backslash boldsymbol\{A\})\}$ trong đó $\backslash operatorname\{tr\}(A)$ là vết của $\backslash boldsymbol\{A\}$.
• $\backslash boldsymbol\{A\}$ là khả nghịch khi và chỉ khi $\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}$ khả nghịch, và trong trường hợp đó $\backslash left(\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}\backslash right)^\{-1\}\; =\; \backslash left(\backslash boldsymbol\{A\}^\{-1\}\backslash right)^\{\backslash mathrm\{H$.
• Các giá trị riêng của $\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}$ là liên hợp phức của các giá trị riêng của $\backslash boldsymbol\{A\}$.
• $\backslash left\backslash langle\; \backslash boldsymbol\{A\}\; x,y\; \backslash right\backslash rangle\_m\; =\; \backslash left\backslash langle\; x,\; \backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}\; y\backslash right\backslash rangle\_n$ với bất kỳ một ma trận $\backslash boldsymbol\{A\}$ cỡ $m\; \backslash times\; n$, một vectơ $x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^n$ và một vectơ $y\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^m$. Ở đây $\backslash langle\backslash cdot,\backslash cdot\backslash rangle\_m$ ký hiệu cho tích trong phức tiêu chuẩn trên $\backslash mathbb\{C\}^m$ và tương tự cho $\backslash langle\backslash cdot,\backslash cdot\backslash rangle\_n$.

Tổng quát hóa

Tính chất cuối cùng bên trên cho thấy rằng nếu ta coi rằng $\backslash boldsymbol\{A\}$ là một biến đổi tuyến tính từ không gian Hilbert $\backslash mathbb\{C\}^n$ vào $\backslash mathbb\{C\}^m\; ,$ thì ma trận $\backslash boldsymbol\{A\}^\backslash mathrm\{H\}$ tương ứng với toán tử liên hợp của $\backslash boldsymbol\; A$. Khái niệm toán tử liên hợp giữa các không gian Hilbert do đó có thể được xem là tổng quát hóa của khái niệm chuyển vị liên hợp của các ma trận đối với một cơ sở trực chuẩn.

Còn có một cách tổng quát hóa khác: giả sử $A$ là một ánh xạ tuyến tính từ một không gian vectơ $V$ vào một không gian khác, $W$ thì ánh xạ tuyến tính liên hợp phức và ánh xạ tuyến tính chuyển vị được xác định, và do đó ta có thể lấy chuyển vị liên hợp của $A$ là liên hợp phức của ánh xạ chuyển vị của $A$. Nó ánh xạ đối ngẫu liên hợp của $W$ vào đối ngẫu liên hợp của $V$.