✨Tích vectơ

Tích vectơ

nhỏ|Minh họa kết quả phép nhân vectơ trong [[hệ tọa độ bên phải]] Trong toán học, phép tích vectơ hay nhân vectơ hay tích có hướng là một phép toán nhị nguyên trên các vectơ trong không gian vectơ ba chiều. Nó là một trong hai phép nhân thường gặp giữa các vectơ (phép toán kia là nhân vô hướng). Nó khác nhân vô hướng ở chỗ là kết quả thu được là một giả vectơ thay cho một vô hướng. Kết quả này vuông góc với mặt phẳng chứa hai vectơ đầu vào của phép nhân.

Định nghĩa

phải|nhỏ|Xác định hướng của tích vectơ bằng [[Quy tắc bàn tay phải.]] Phép nhân vectơ của vectơ a và b được ký hiệu là a × b hay $[\vec{a},\vec{b}]$ , định nghĩa bởi:

: $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf\hat{n} \left| \mathbf{a}\right| \left| \mathbf{b}\right| \sin \theta$

với θ là góc giữa a và b (0° ≤ θ ≤ 180°) nằm trên mặt phẳng chứa a và b, và n là vectơ đơn vị vuông góc với a và b.

Thực tế có hai vectơ n thỏa mãn điều kiện vuông góc với a và b (khi a và b không cùng phương), vì nếu n vuông góc với a và b thì -n cũng vậy.

Việc chọn hướng của véctơ n phụ thuộc vào hệ tọa độ tuân theo quy tắc bàn tay trái hay quy tắc bàn tay phải. (a, b, a × b) tuân cùng quy tắc với hệ tọa độ đang sử dụng để xác định các vectơ.

Vì kết quả phụ thuộc vào quy ước hệ tọa độ, nó được gọi là giả vectơ. May mắn là trong các hiện tượng tự nhiên, nhân vectơ luôn đi theo cặp đối chiều nhau, nên kết quả cuối cùng không phụ thuộc lựa chọn hệ tọa độ.

Tính chất

Phép tính này phản giao hoán: :a × b = -(b × a)

Nó phân phối được trên phép cộng vectơ: :a × (b + c) = a × b + a × c

Nó kết hợp được với nhân vô hướng: :(_r._a) × b = a × (_r._b) = r.(a × b). với "." chỉ nhân vô hướng.

Nó không có tính kết hợp, :(a × b) × c $\neq$ a × (b × c) (Ví dụ: khi a song song với b vế trái bằng 0 trong khi về phải (nói chung) khác không.)

Nó thỏa mãn đẳng thức Jacobi: :a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0.

2 vectơ không cùng phương thì tích có hướng là một vectơ vuông góc với 2 vectơ đã cho.

Các tính chất trên cho thấy không gian vectơ ba chiều với phép nhân vec tơ tạo thành một đại số Lie.

Tích có hướng trong hệ tọa độ Descartes

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\vec{n_1}=(A_1,B_1,C_1)$ và $\vec{n_2}=(A_2,B_2,C_2)$ , khi đó tích có hướng giữa 2 vectơ là vectơ có tọa độ

[\vec{n_1},\vec{n_2}]=(\begin{vmatrix} B_1 & C_1 \\ B_2 & C_2 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} C_1 & A_1 \\ C_2 & A_2 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix})

Ứng dụng

Ý nghĩa hình học

Nhiều công thức tính trong không gian vectơ ba chiều liên quan đến nhân vectơ, nhờ vào kết quả là vectơ vuông góc với hai vectơ đầu vào.

Diện tích hình bình hành ABCD: $S=\left\vert [\vec{AB};\vec{AD}] \right\vert=AB.AD.sin(A)$
Thể tích khối hộp ABCDA'B'C'D': $V=\left\vert [\vec{AB};\vec{AD}]\cdot\vec{AA'} \right\vert$
2 vector $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng phương $\Leftrightarrow$ $[\vec{u};\vec{v}]=\vec{0}$
3 vector $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow$ $[\vec{u};\vec{v}].\vec{w}=0$

Ứng dụng trong vật lý

Phép tính này xuất hiện ở công thức tính lực Lorentz do một trường điện từ tác động lên một điện tích. Công thức tính mômen lực hay mômen động lượng cũng liên quan đến nhân vectơ.

👁️ 2 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Tích vectơ

nhỏ|Minh họa kết quả phép nhân vectơ trong [[hệ tọa độ bên phải]] Trong toán học, phép **tích vectơ** hay **nhân vectơ** hay **tích có hướng** là một phép toán nhị nguyên trên các vectơ

💫 Vectơ

Trong Toán học, Vật lí và kĩ thuật, **vectơ** hay **hướng lượng** (theo phiên âm Hán Việt) (tiếng Anh: _vector_) là một đoạn thẳng có hướng. Đoạn thẳng này biểu thị phương, chiều và độ

💫 Tích phân vectơ

**Giải tích vectơ**, hay **tích phân vectơ**, liên quan đến vi phân và tích phân các trường vectơ, chủ yếu trong không gian Euclide 3 chiều

\mathbb{R}^3.

Thuật ngữ "tích phân véctơ" đôi khi được

💫 Tích phân đường

Trong toán học, **tích phân đường** là một phép tính tích phân khi hàm số được tích phân theo một đường. ## Giải tích vectơ Tích phân đường của trường vô hướng. Một tích phân

💫 Trường vectơ

Trường vectơ được cho bởi các vectơ có dạng (−_y_, _x_) Trong toán học và vật lý, **trường vectơ** là một kết cấu trong giải tích vectơ gán tương ứng một vectơ cho mỗi điểm

💫 Hàm vectơ

Một hàm được định giá trị vectơ, cũng được gọi là **hàm vectơ**, là một hàm toán học của một hoặc nhiều biến với miền giá trị của nó là một bộ của những vectơ

💫 Tích phân mặt

Trong toán học, **tích phân mặt** là một tích phân xác định được tính trên một bề mặt (có thể là tập hợp các đường cong trong không gian); nó có thể được xem là

💫 Tích vô hướng

nhỏ|Tích vô hướng hình học, định nghĩa bởi góc. **Tích vô hướng** (tên tiếng Anh: **dot product** hoặc **scalar product**) là một phép toán đại số lấy hai chuỗi số có độ dài bằng nhau

💫 Chiếu vectơ

nhỏ|200x200px|Hình chiếu của **a** lên **b** (**a**₁), và hình phản chiếu (**a**₂). nhỏ|248x248px|Khi 90° < _θ_ ≤ 180°, **a**₁ có chiều ngược lại so với **b**. **Hình chiếu vectơ** của một vectơ **a** lên một

💫 Vectơ hàng và cột

Trong đại số tuyến tính, một **vectơ cột** hay **ma trận cột** là một ma trận cỡ _m_ × 1, tức là ma trận chỉ gồm một cột đơn gồm _m_ phần tử, :

\boldsymbol{x}

💫 Quy tắc tích phân Leibniz

Trong vi tích phân, **quy tắc Leibniz** cho đạo hàm dưới dấu tích phân, đặt tên theo nhà toán học Gottfried Leibniz, phát biểu rằng với một tích phân với dạng :

\ \int\limits_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\,dt

với

💫 Toán tử div

Trong giải tích vectơ, **toán tử div** hay **toán tử phân kỳ** hay **suất tiêu tán** là một toán tử đo mức độ phát (ra) hay thu (vào) của trường vectơ tại một điểm cho

💫 Vectơ Poynting

phải|nhỏ|[[Bức xạ điện từ|Sóng điện từ truyền đi trong không gian]] **Vectơ Poynting** là tích vectơ giữa cường độ điện trường và cường độ từ trường, được đặt tên theo người phát hiện John Henry

💫 Mô hình không gian véctơ

**Mô hình không gian véctơ** hay **mô hình thuật ngữ véctơ** (tiếng Anh: **vector space model**) là một mô hình đại số dùng để thể hiện các tài liệu văn bản (và bất cứ đối

💫 Gradient

Trong giải tích vectơ, **gradient** của một trường vô hướng là một trường vectơ có chiều hướng về phía mức độ tăng lớn nhất của trường vô hướng, và có độ lớn là mức độ

💫 Phương tích của một điểm

nhỏ|Ý nghĩa hình học Trong hình học phẳng sơ cấp, **phương tích của một điểm** là một số thực thể hiện khoảng cách tương đối của điểm đó đối với một đường tròn cho trước.

💫 Diện tích bề mặt

phải|nhỏ| Một [[mặt cầu bán kính

r

có diện tích bề mặt

4\pi r^2

]] **Diện tích bề mặt** của vật thể rắn là thước đo tổng diện tích mà bề mặt của vật thể

💫 Giải tích lồi

nhỏ|Đa diện lồi trong không gian 3 chiều. Giải tích lồi không chỉ bao gồm nghiên cứu các tập con lồi trong không gian Euclid mà còn có các hàm lồi trong không gian trừu

💫 Giá trị riêng và vectơ riêng

phải|nhỏ|250x250px|Ma trận biến đổi _A_ tác động bằng việc kéo dài vectơ _x_ mà không làm đổi phương của nó, vì thế _x_ là một vectơ riêng của _A_. Trong đại số tuyến tính, một

💫 Vectơ từ

Trong xử lý ngôn ngữ tự nhiên (NLP), **vectơ từ** (còn được gọi là **biểu diễn từ**, **nhúng từ**, hay **word embedding**) là một cách biểu diễn từ ngữ. Vectơ từ được sử dụng trong

💫 Không gian tích trong

nhỏ|300x300px|Biểu diễn hình học của góc giữa hai vectơ, được định nghĩa bởi tích trong. thế=Scalar product spaces, inner product spaces, Hermitian product spaces.|nhỏ|300x300px|Các không gian tích vô hướng trên một trường bất kỳ có

💫 Định lý Pythagoras

**Định lý Pythagoras**
Tổng diện tích của hai hình vuông có cạnh là hai cạnh vuông của tam giác vuông (_a_ và _b_) bằng diện tích của hình vuông có cạnh là cạnh huyền (_c_). Trong

💫 Vectơ-4

**Vectơ-4** là một véctơ trên một không gian 4 chiều thực đặc biệt, gọi là không gian Minkowski. Chúng xuất hiện lần đầu trong lý thuyết tương đối hẹp, như là sự mở rộng của

💫 Không gian vectơ

phải|nhỏ|Không gian vectơ là một tập các đối tượng có định hướng (được gọi là các vectơ) có thể co giãn và cộng. Trong toán học, **không gian vectơ** (hay còn gọi là không gian

💫 Máy vectơ hỗ trợ

**Máy vectơ hỗ trợ** (**SVM** - viết tắt tên tiếng Anh **support vector machine**) là một khái niệm trong thống kê và khoa học máy tính cho một tập hợp các phương pháp học có

💫 Phân thớ véctơ

phải|nhỏ|250x250px| [[Mặt Mobius|Dải Mobius (mở rộng vô hạn) là một phân thớ đường trên đường tròn **S**¹. Trong một lân cận địa phương tại mọi điểm của **S**¹, nó đồng phôi với _U_×**R** (trong đó

💫 Vectơ Laplace-Runge-Lenz

Trong cơ học cổ điển, ** Laplace–Runge–Lenz** (hay còn được gọi là **vectơ LRL**, **vectơ Runge-Lenz** hay **bất biến Runge-Lenz**) là vectơ thường được dùng để miêu tả hình dạng và định hướng của quỹ

💫 Thế vô hướng

Trong giải tích, vật lý học hay kỹ thuật, **trường thế vô hướng**, thường được gọi tắt là **thế vô hướng**, **trường thế** hay **thế**, là một trường vô hướng mà trái dấu của gradient

💫 Định luật Gauss

Trong vật lý và giải tích toán học, **định luật Gauss** là một ứng dụng của định lý Gauss cho các trường véctơ tuân theo luật bình phương nghịch đảo với khoảng cách. Ví dụ,

💫 Định lý Gauss

**Định lý Gauss**, hay còn gọi là **định lý phân kỳ**, hay **định lý Ostrogradsky**, hay **định lý Gauss-Ostrogradsky** (do hai nhà toán học người Đức Carl Friedrich Gauß và người Nga Mikhail Vasilyevich Ostrogradsky

💫 Tính giao hoán

Trong toán học, một phép toán hai ngôi có tính **giao hoán** khi thay đổi thứ tự của hai toán hạng không làm thay đổi giá trị kết quả. Nó là tính chất cơ bản

💫 Rot (toán tử)

Trong giải tích vector, toán tử **rot** (vài nơi còn gọi là curl) là một toán tử vector mô tả độ xoáy của một trường vector. Tại bất kì điểm nào trên trường vector, rot

💫 Ma trận Jacobi

Trong giải tích véctơ, **ma trận Jacobi** là ma trận chứa các đạo hàm riêng bậc nhất của hàm giữa hai không gian véctơ. Ma trận này được đặt tên theo nhà toán học Carl

💫 Thông lượng

**Thông lượng** của một dòng chảy qua một bề mặt là đại lượng chỉ lượng chảy qua bề mặt vuông góc với hướng chảy trong một đơn vị thời gian. Trong thực tế, dòng chảy

💫 Phân tích ngữ nghĩa tiềm ẩn

**Phân tích ngữ nghĩa tiềm ẩn** (tiếng Anh: **Latent semantic analysis** hay viết tắt thông dụng **LSA**) là một kỹ thuật trong xử lý ngôn ngữ tự nhiên, đặc biệt là ngữ nghĩa phân phối,

💫 Pháp tuyến (hình học)

thế=|nhỏ| Một đa giác và hai vec-tơ pháp tuyến của nó phải|nhỏ| Một véc-tơ pháp tuyến của bề mặt tại một điểm chính là một véc-tơ pháp tuyến với mặt phẳng tiếp tuyến tại điểm

💫 Combo Bộ Sách Toán Cao Cấp Tập 1 Bài Tập Toán Cao Cấp Tập 1 Đại Số Và Hình Học Giải Tích

Toán Cao Cấp Tập 1 Bài Tập Toán Cao Cấp Tập 1 - Đại Số Và Hình Học Giải Tích Nội dung gồm có 1. Tập hợp. Ánh xạ 2. Một số cấu trúc đại

💫 Đường sức từ

**Đường sức từ trường** là một quỹ tích được định nghĩa bởi một trường vector và một điểm bắt đầu bên trong miền từ. Đường sức từ được vẽ trong từ trường sao cho tiếp

💫 Toán Học Cao Cấp - Tập 1 - Đại Số Và Hình Học Giải Tích

Nội dung gồm có 1. Tập hợp. Ánh xạ 2. Một số cấu trúc đại số. Số phức 3. Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính 4. Không gian vecto 5. Ánh xạ

💫 Bài Tập Toán Cao Cấp - Tập 1 - Đại Số Và Hình Học Giải Tích

Nội dung gồm có 1. Tập hợp. Ánh xạ 2. Một số cấu trúc đại số. Số phức 3. Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính 4. Không gian vecto 5. Ánh xạ

💫 Toán Học Cao Cấp - Tập 1 - Đại Số Và Hình Học Giải Tích

Nội dung gồm có 1. Tập hợp. Ánh xạ 2. Một số cấu trúc đại số. Số phức 3. Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính 4. Không gian vecto 5. Ánh xạ

💫 Bình lưu

Trong vật lý, kỹ thuật và khoa học Trái Đất thì **bình lưu (Advection)** là sự vận chuyển của một chất bằng chuyển động khối (chuyển động cả khối chất lưu). Các tính chất của

💫 Giả vector

liên_kết=https://en.wikipedia.org/wiki/File:BIsAPseudovector.svg|nhỏ|Một cuộn dây (màu đen) mang dòng điện

I

tạo ra từ trường

B

(màu xanh). Nếu vị trí và dòng điện của cuộn dây được phản chiếu qua một mặt phẳng (biểu diễn bằng

💫 Toán học của thuyết tương đối rộng

**Toán học của thuyết tương đối rộng** là mô hình chứa đựng cấu trúc và kỹ thuật toán học được sử dụng để nghiên cứu và thiết lập lên thuyết tương đối rộng của Einstein.

💫 Quaternion

thumb|[[đồ thị Cayley|Đồ thị Cayley Q8 cho thấy sáu chu trình nhân bởi , và . (Nếu ảnh được mở trong Wikimedia Commons bằng cách nhấn đúp vào nó thì các chu trình có thể

💫 Từ trường

Từ trường của một thanh [[nam châm hình trụ.]] **Từ trường** là môi trường năng lượng đặc biệt sinh ra quanh các điện tích chuyển động hoặc do sự biến thiên của điện trường hoặc

💫 Đạo hàm

nhỏ|[[Đồ thị của hàm số (màu đen) và tiếp tuyến của nó (màu đỏ). Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm đó tại tiếp điểm (điểm được đánh dấu).]] Trong toán

💫 Quá trình Gram–Schmidt

phải|khung|Hai bước đầu tiên của quá trình Gram–Schmidt Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực đại số tuyến tính và giải tích số, **quá trình Gram–Schmidt** là một phương pháp trực chuẩn hóa

💫 Josiah Willard Gibbs

**Josiah Willard Gibbs** (11 tháng 2 năm 1839 - 28 tháng 4 năm 1903) là một nhà khoa học người Mỹ đã có những đóng góp lý thuyết đáng kể cho vật lý, hóa học

💫 Lực

Trong vật lý học, **lực** (Tiếng Anh: _force_) là bất kỳ ảnh hưởng nào làm một vật thể chịu sự thay đổi, hoặc là ảnh hưởng đến chuyển động, hướng của nó hay cấu trúc