✨Vectơ

Trong Toán học, Vật lí và kĩ thuật, vectơ hay hướng lượng (theo phiên âm Hán Việt) (tiếng Anh: vector) là một đoạn thẳng có hướng. Đoạn thẳng này biểu thị phương, chiều và độ lớn (chiều dài của vectơ). Ví dụ, trong mặt phẳng, cho hai điểm phân biệt A và B bất kì, ta có thể xác định được vectơ $\backslash overrightarrow\{AB\}$.

Một vectơ là những gì cần thiết để "mang" điểm A đến điểm B; từ vector trong tiếng Latin có nghĩa là người vận chuyển, lần đầu tiên được sử dụng bởi các nhà Thiên văn học thế kỉ XVIII trong cuộc Cách mạng khảo sát các hành tinh quay quanh Mặt Trời. Độ lớn của vectơ là khoảng cách giữa hai điểm và hướng dịch chuyển từ điểm A đến điểm B. Nhiều phép toán đại số trên các số thực như cộng, trừ, nhân và phủ định có sự tương tự gần gũi với vectơ; phép toán tuân theo các quy luật đại số quen thuộc của giao hoán, kết hợp và phân phối. Mỗi vectơ là một phần tử trong không gian vectơ được xác định bởi ba yếu tố: Điểm đầu (hay điểm gốc), hướng (gồm phương và chiều) và độ lớn (hay độ dài). Ví dụ, đoạn thẳng AB có điểm gốc là A, hướng từ A đến B được gọi là vectơ AB và kí hiệu là $\backslash overrightarrow\{A\; B\}$. Vectơ được kí hiệu là $\backslash overrightarrow\{A\; B\}$ hoặc $\backslash vec\; a$, $\backslash vec\; b$, $\backslash vec\; u$, $\backslash vec\; v$, ...Vectơ hướng từ A đến B

Trong giải tích, một vectơ trong không gian Euclid Rⁿ là một bộ n số thực (x₁, x₂, ..., x_n).

Có thể hình dung một vectơ trong không gian Rⁿ là đoạn thẳng có hướng (thường vẽ theo hình mũi tên), đuôi ở gốc toạ độ 0 và mũi ở điểm (x₁, x₂, ..., x_n).

Vectơ đóng vai trò quan trọng trong ngành Vật lí học: Vận tốc, gia tốc của một vật và lực tác động lên nó có thể được biểu diễn bằng vectơ.

Lịch sử

Khái niệm về vectơ, như chúng ta biết ngày nay, đã phát triển dần dần trong khoảng thời gian hơn 200 năm. Khoảng 10 người đã bỏ nhiều công sức để đóng góp.

Giusto Bellavitis đã trừu tượng hoá ý tưởng cơ bản vào năm 1835 khi ông thiết lập khái niệm về sự trang bị. Làm việc trong một mặt phẳng Euclide, ông ta đã tạo ra bất kì cặp phân đoạn đường nào có cùng độ dài và hướng. Về cơ bản, ông nhận ra một mối quan hệ tương đương trên các cặp điểm (lưỡng cực) trong mặt phẳng và do đó dựng lên không gian đầu tiên của vectơ trong mặt phẳng.

Một số nhà Toán học khác đã phát triển các hệ thống giống như vectơ vào giữa thế kỉ XIX, bao gồm Augustin Cauchy, Hermann Grassmann, August Möbius, Comte de Saint-Venant và Matthew O'Brien. Công trình năm 1840 của Grassmann Theorie der Ebbe und Flut (lí thuyết về Ebb và Flow) là hệ thống phân tích không gian đầu tiên tương tự như hệ thống ngày nay và có ý tưởng tương ứng với tích có hướng, tích vô hướng và vectơ vi phân. Các nghiên cứu của Grassmann phần lớn bị bỏ quên cho đến những năm 1870.

Peter Guthrie Tait mang tiêu chuẩn bậc bốn sau Hamilton. Chuyên luận về Đệ tứ năm 1867 của ông bao gồm điều trị rộng rãi cho người điều hành nabla hoặc del ∇.

Năm 1878, yếu tố năng động được xuất bản bởi William Kingdon Clifford. Clifford đã đơn giản hoá nghiên cứu Quaternion bằng cách tách tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ từ phương trình Quaternion hoàn chỉnh. Cách tiếp cận này làm cho các tính toán vectơ có sẵn cho các kĩ sư, những người làm việc theo không gian ba chiều và hoài nghi về không gian bốn chiều.

Josiah Willard Gibbs, ông đã được tiếp xúc với các nhóm tứ phương thông qua chuyên luận về điện và từ tính của James Clerk Maxwell, đã tách ra khỏi phần vectơ của họ để tính toán độc lập. Nửa đầu của Phân tích vectơ của Gibbs, xuất bản năm 1881, trình bày về cơ bản hệ thống phân tích vectơ hiện đại. Năm 1901, Edwin Bidwell Wilson đã xuất bản Phân tích Vectơ, phỏng theo các bài giảng của Gibb, trong đó, đã loại bỏ vectơ tứ phương (Quaternion) trong việc phát triển phép tính vectơ.

Các khái niệm cơ bản

• Độ lớn của vectơ $\backslash overrightarrow\{A\; B\}$ trong hình học được đo bằng độ dài đoạn thẳng AB và kí hiệu giống như kí hiệu giá trị tuyệt đối: $|\backslash overrightarrow\{A\; B\}|$ đọc là độ dài của vectơ AB.
• Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1 và là vectơ quy ước để so sánh. *Ngoài ra, bạn cũng có thể dễ nhận thấy một tính chất cộng đơn giản khác của vectơ: $|\backslash overrightarrow\{A\; B\}|+|\backslash overrightarrow\{C\; D\}|=|\backslash overrightarrow\{A\; B\}+\backslash overrightarrow\{C\; D\}|$
• Vectơ-không là vectơ đặc biệt có điểm đầu trùng với điểm cuối. Kí hiệu là $\backslash overrightarrow\{AA\}$ hoặc $\backslash overrightarrow\{0\}$. *2 vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• 2 vectơ bằng nhau là 2 vectơ cùng hướng (phương song song và cùng chiều) và độ lớn bằng nhau. Vectơ $\backslash overrightarrow\{AB\}$ bằng vectơ $\backslash overrightarrow\{CD\}$ được kí hiệu là $\backslash overrightarrow\{AB\}=\backslash overrightarrow\{CD\}$. *2 vectơ đối nhau là 2 vectơ ngược hướng (phương song song và ngược chiều) và độ lớn bằng nhau. Vectơ đối của vectơ $\backslash overrightarrow\{AB\}$ là $\backslash overrightarrow\{BA\}$, ta có $\backslash overrightarrow\{AB\}=-\backslash overrightarrow\{BA\}$.
• Vectơ tự do: Vectơ có thể di chuyển tịnh tiến đến một điểm bất kì, thực chất là thay thế bởi một vectơ khác bằng với vectơ cũ.
• Vectơ buộc: Vectơ có điểm đầu cố định và không di chuyển được. Trong Vật lí, vectơ buộc được dùng để biểu thị các lực tác dụng vào điểm đặt lực.
• Trong không gian, ba vectơ đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
• Trong hệ toạ độ Descartes, vectơ $\backslash vec\; a$ có điểm đầu đặt tại gốc hệ toạ độ thì có thể xác định hoàn toàn bằng toạ độ của điểm cuối của nó, là một bộ số thực sắp thứ tự (x, y) trong mặt phẳng và (x, y, z) trong không gian. Trong không-thời gian bốn chiều, toạ độ đó được xác định bằng (ct, x, y, z), trong đó, c là tốc độ ánh sáng và t là thời gian.

Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\backslash vec\{a\}\backslash neq\backslash vec\{0\}$ và $\backslash vec\{b\}\backslash neq\backslash vec\{0\}$. Từ điểm O, vẽ $\backslash vec\{OA\}=\backslash vec\{a\}$ và $\backslash vec\{OB\}=\backslash vec\{b\}$. Khi đó, $\backslash widehat\{AOB\}$ chính là góc giữa $\backslash vec\; a$ và $\backslash vec\; b$. Kí hiệu $(\backslash vec\{a\};\backslash vec\{b\})=\backslash widehat\{AOB\}$.

Quy ước trong hình học:

• $0^\backslash circ\backslash leq(\backslash vec\{a\};\backslash vec\{b\})\backslash leq180^\backslash circ$.
• Góc hợp bởi hai vectơ cùng phương và cùng hướng là 0°.
• Góc hợp bởi hai vectơ cùng phương và ngược hướng là 180°.

Phép toán trên vectơ

Phép cộng vectơ bằng quy tắc hình bình hành (trái) và tam giác (phải)

Phép cộng hai vectơ

Quy tắc

Phép cộng hai vectơ: Tổng của hai vectơ $\backslash overrightarrow\{A\; B\}$ và $\backslash overrightarrow\{C\; D\}$ là một vectơ được xác định theo quy tắc:

• Quy tắc ba điểm: Di chuyển vectơ $\backslash overrightarrow\{C\; D\}$ sao cho điểm đầu C của $\backslash overrightarrow\{C\; D\}$ trùng với điểm cuối B của $\backslash overrightarrow\{A\; B\}$: C ≡ B. Khi đó, vectơ $\backslash overrightarrow\{A\; D\}$ có điểm gốc đặt tại điểm A, điểm cuối đặt tại D và chiều từ A đến D là vectơ tổng.
• Quy tắc hình bình hành: Di chuyển vectơ $\backslash overrightarrow\{C\; D\}$ đến vị trí trùng điểm gốc A của vectơ $\backslash overrightarrow\{A\; B\}$. Khi đó, vectơ tổng có gốc đặt tại điểm A, có điểm cuối đặt tại góc đối diện trong hình bình hành tạo ra bởi hai vectơ thành phần $\backslash overrightarrow\{A\; B\}$ và $\backslash overrightarrow\{C\; D\}$, chiều từ gốc A đến điểm cuối.

Tính chất Vectơ

• Tính chất giao hoán:

$\backslash vec\{a\}+\backslash vec\{b\}=\backslash vec\{b\}+\backslash vec\{a\}$ *Tính chất kết hợp: $(\backslash vec\{a\}+\backslash vec\{b\})+\backslash vec\{c\}=\backslash vec\{a\}+(\backslash vec\{b\}+\backslash vec\{c\})$ * Tính chất của vectơ-không: $\backslash vec\{a\}+\backslash vec\{0\}=\backslash vec\{0\}+\backslash vec\{a\}=\backslash vec\{a\}$ *Với ba điểm A, B và C bất kì, ta có:$\backslash vec\{AB\}+\backslash vec\{BC\}=\backslash vec\{AC\}$ *I là trung điểm đoạn thẳng AB $\backslash Leftrightarrow\backslash vec\{AI\}+\backslash vec\{BI\}=\backslash vec\{0\}$ *G là trọng tâm $\backslash vartriangle\; ABC$ $\backslash Leftrightarrow\backslash vec\{GA\}+\backslash vec\{GB\}+\backslash vec\{GC\}=\backslash vec\{0\}$

Hiệu hai vectơ

Ta có:  $\backslash overrightarrow\{A\; B\}\; -\; \backslash overrightarrow\{C\; D\}\; =\; \backslash overrightarrow\{A\; B\}\; +(-\; \backslash overrightarrow\{C\; D\})\; =\backslash overrightarrow\{A\; B\}\; +\; \backslash overrightarrow\{D\; C\}$

Quy tắc trừ: Với ba điểm A, B và C, ta có: $\backslash vec\{AB\}-\backslash vec\{AC\}=\backslash vec\{CB\}=\backslash vec\{CA\}-\backslash vec\{BA\}$

Tích vectơ với một số

Quy tắc

• Phép nhân vectơ với một số: Tích của vectơ $\backslash vec\; a$ với một số thực $r\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ là một vectơ có gốc, phương trùng với gốc và phương của $\backslash vec\; a$, cùng chiều nếu r > 0 và ngược chiều nếu r < 0, có độ dài bằng $|r||\backslash vec\; a|$.

Tính chất

• Với hai vectơ bất kì, với mọi số h và k, ta có: $k(\backslash vec\{a\}+\backslash vec\{b\})=k\backslash vec\{a\}+k\backslash vec\{b\}$ $(h+k)\backslash vec\{a\}=h\backslash vec\{a\}+k\backslash vec\{a\}$ $h(k\backslash vec\{a\})=k(h\backslash vec\{a\})=(hk)\backslash vec\{a\}$ $1.\backslash vec\{a\}=\backslash vec\{a\};(-1).\backslash vec\{a\}=-\backslash vec\{a\}$

Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

• Nếu K là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M, ta có $\backslash vec\{MA\}+\backslash vec\{MB\}=2\backslash vec\{MK\}$.
• Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M, ta có $\backslash vec\{MA\}+\backslash vec\{MB\}+\backslash vec\{MC\}=3\backslash vec\{MG\}$.

Điều kiện để hai vectơ cùng phương

• Điều kiện cần để hai vectơ $\backslash vec\{a\}$ và $\backslash vec\{b\}$ $(\backslash vec\{b\}\backslash neq\backslash vec\{0\})$ cùng phương là có một số k để $\backslash vec\{a\}=k\backslash vec\{b\}$.

• Nếu $\backslash vec\{a\}$ và $\backslash vec\{b\}$ cùng hướng thì $k=\backslash frac\{\backslash left\; \backslash vert\backslash vec\{a\}\backslash right\; \backslash vert\}\{\backslash left\; \backslash vert\backslash vec\{b\}\backslash right\; \backslash vert\}$

.

• Nếu $\backslash vec\{a\}$ và $\backslash vec\{b\}$ ngược hướng thì $k=-\backslash frac\{\backslash left\; \backslash vert\backslash vec\{a\}\backslash right\; \backslash vert\}\{\backslash left\; \backslash vert\backslash vec\{b\}\backslash right\; \backslash vert\}$.

Tích vô hướng của hai vectơ

Quy tắc

*Tích vô hướng của hai vectơ a và b nhân với côsin của góc α giữa hai vectơ đó:

:$\backslash vec\; \{a\}\backslash vec\; \{b\}\; =|\backslash vec\; \{a\}||\backslash vec\; \{b\}|\backslash cos\backslash alpha$.

Các tính chất của tích vô hướng

• Tính chất giao hoán: $\backslash vec\{a\}\backslash vec\{b\}=\backslash vec\{b\}\backslash vec\{a\}$
• Tính chất phân phối: $\backslash vec\{a\}(\backslash vec\{b\}+\backslash vec\{c\})=\backslash vec\{a\}\backslash vec\{b\}+\backslash vec\{a\}\backslash vec\{c\}$ $(k\backslash vec\{a\})\backslash vec\{b\}=k(\backslash vec\{a\}\backslash vec\{b\})=\backslash vec\{a\}(k\backslash vec\{b\})$ $\backslash vec\{a\}^2=\backslash left\backslash vert\; \backslash vec\{a\}\; \backslash right\backslash vert^2$ $\backslash vec\{a\}^2\backslash geq0,\backslash vec\{a\}^2=0\backslash Leftrightarrow\backslash vec\{a\}=\backslash vec0$ $\backslash vec\{a\}\backslash perp\backslash vec\{b\}\backslash Leftrightarrow\backslash vec\{a\}\backslash vec\{b\}=0$

Một số tính chất mở rộng

$(\backslash vec\{a\}+\backslash vec\{b\})^2=\backslash vec\{a\}^2+2\backslash vec\{a\}\backslash vec\{b\}+\backslash vec\{b\}^2$ $(\backslash vec\{a\}-\backslash vec\{b\})^2=\backslash vec\{a\}^2-2\backslash vec\{a\}\backslash vec\{b\}+\backslash vec\{b\}^2$ *$(\backslash vec\{a\}+\backslash vec\{b\})(\backslash vec\{a\}-\backslash vec\{b\})=\backslash vec\{a\}^2-\backslash vec\{b\}^2$

Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

• Trong mặt phẳng, cho hai vectơ: $\backslash vec\{a\}=(a\_1;a\_2)$ và $\backslash vec\{b\}=(b\_1;b\_2)$. Khi đó:

$\backslash vec\{a\}\backslash vec\{b\}=a\_1b\_1+a\_2b\_2$.

• Trong không gian ba chiều, cho hai vectơ: $\backslash vec\{a\}=(a\_1;a\_2;a\_3)$ và $\backslash vec\{b\}=(b\_1;b\_2;b\_3)$. Khi đó:

$\backslash vec\{a\}\backslash vec\{b\}=a\_1b\_1+a\_2b\_2+a\_3b\_3$.