thumb|Ước lượng Số chiều Hausdorff của bờ biển nước Anh Trong toán học, Số chiều Hausdorff (còn được biết đến như là Số chiều Hausdorff - Besicovitch) là một số thực không âm mở rộng (có thể có giá trị $\backslash infty$) ứng với một không gian metric nào đó. Số chiều Hausdorff tổng quát hóa khái niệm chiều của một không gian vectơ thực. Đó là, số chiều Hausdorff của một không gian tích trong n-chiều bằng n. Ví dụ như số chiều Hausdorff của một điểm là không, số chiều Hausdorff của một đường thẳng là một, và số chiều Hausdorff của mặt phẳng là hai. Tuy nhiên có, rất nhiều tập kì dị có số chiều Hausdorff không phải là số nguyên. Khái niệm này được đưa ra vào năm 1918 bởi nhà toán học Felix Hausdorff. Nhiều sự phát triển mang tính kĩ thuật được sử dụng để tính số chiều Hausdorff cho những tập hợp có tính kì dị cao được đạt được bởi Abram Samoilovitch Besicovitch.

Việc đưa ra số chiều Hausdorff nhằm khắc phục những khuyết điểm của số chiều Topo. Chẳng hạn như số chiều Topo không thể nói lên được bất cứ điều gì về kích thước của vật. Đường cong phủ không gian là một ví dụ điển hình cho khuyết điểm này. Những đường như đường Peano hay đường Hilbert có thể phủ toàn bộ hình vuông đơn vị có số chiều Topo là hai mặc dù chúng chỉ có số chiều Topo là một. Điều đó cho thấy đường Peano hay đường Hilbert "hành xử" như có số chiều Topo là hai. nhỏ|Bước lặp thứ 3 từ cách xây dựng [[đường Peano, giới hạn của việc lặp chính là một đường cong phủ không gian]]

Độ đo Hausdorff

Định nghĩa

Cho $U$ là một tập con không rỗng của $\backslash mathbb\{R\}^n$, đường kính của $U$, ký hiệu $|U|$, được định nghĩa là $|U|=\backslash sup\backslash Big\{|x-y|:\; x,y\backslash in\; U\backslash Big\}$. Cho $F\backslash subset\backslash mathbb\{R\}^n$, nếu $\{U$i} là một họ đếm được (hay hữu hạn) những tập hợp thỏa $F\backslash subset\backslash bigcup${i=1}^{\infty} U_i và với mỗi $i$, thì $\{U$i} được gọi là một $\backslash delta$-phủ của F. Giả sử $F$ là một tập con của $\backslash mathbb\{R\}^n$ và $s$ là một số không âm. Với mỗi $\backslash delta>0$, đặt :$\backslash mathcal\{H\}${\delta}^{s}(F)=\inf\Big{\sum_{i=1}^{\infty}|U_i|^s: {U_i}\ \text{ is a }\ \delta\text{-cover of F}\Big} Độ đo Hausdorff s-chiều của $F$, ký hiệu là $\backslash mathcal\{H\}^s(F)$ được định nghĩa là $\backslash mathcal\{H\}^s(F)=\backslash lim${\delta\rightarrow 0}\mathcal{H}{\delta}^{s}(F).

Ở đây ta cho phép giới hạn bằng $\backslash infty$. Định nghĩa trên xác định vì khi $\backslash delta$ giảm thì số bao phủ của $F$ giảm. Do đó $\backslash mathcal\{H\}${\delta}^{s}(F) tăng, vì vậy $\backslash mathcal\{H\}${\delta}^{s}(F) hội tụ khi $\backslash delta\backslash rightarrow\; 0$.

Tính chất

$\backslash mathcal\{H\}^\{s\}(\backslash emptyset)=0.$

$\backslash mathcal\{H\}^\{s\}(F)\backslash le\backslash mathcal\{H\}^\{s\}(E)$ nếu $F\backslash subset\; E$.

$\backslash mathcal\{H\}^\{s\}\backslash Big(\backslash bigcup\_\{i=1\}^\{\backslash infty\}F$i\Big)=\sum{i=1}^{\infty} \mathcal{H}^{s}(F_i) nếu $\{F\_i\}$ là một họ đếm được của những tập Borel rời nhau.

Nếu F là một tập Borel của $\backslash mathbb\{R\}^n$, thì $c\_n\backslash mathcal\{H\}^\{n\}(F)=\backslash mathcal\{L\}^n(F),$ trong đó $\backslash mathcal\{L\}^n(F)$ là độ đo Lebesgue của F trong $\backslash mathbb\{R\}^n$, $c\_n$ là thể tích của quả cầu đơn vị trong $\backslash mathbb\{R\}^n$.

Định lý

Nếu $F\backslash subset\; \backslash mathbb\{H\}^n$ và $\backslash lambda>0$ thì $\backslash mathcal\{H\}^\{s\}(\backslash lambda\; F)=\backslash lambda^s\; \backslash mathcal\{H\}^\{s\}(F)$ với $\backslash lambda\; F=\{\backslash lambda\; x:\; x\backslash in\; F\}$.

Cho $F\backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}^n$ và $f:\; F\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}^m$ thỏa

:$|f(x)-f(y)|${\mathbb{R}^m}\le c|x-y|{\mathbb{R}^n}^{\alpha}\ (x,y\in F), với $c>0$ và $\backslash alpha\; >0$ thì với mỗi $s\backslash ge\; 0$, $\backslash mathcal\{H\}^\{s/\backslash alpha\}(f(F))\backslash le\; c^\{s/\backslash alpha\}\backslash mathcal\{H\}^\{s\}(F).$

Số Chiều Hausdorff

Xét tính chất sau của độ đo Hausdorff.

Nếu $t>s$ và $\{U\_i\}$ là một $\backslash delta$-phủ của F thì

nhỏ|Đồ thị của $\backslash mathcal\{H\}^s(F)$. Số chiều Hausdorff của F là giá trị s mà tại đó có sự nhảy từ $\backslash infty$ xuống $0$.

Định nghĩa

Cho $F\backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}^n$. Số chiều Hausdorff của F, ký hiệu $\backslash dim\_H(F)$, được định nghĩa là :$\backslash dim\_H(F)=\backslash inf\{s\backslash ge\; 0:\; \backslash mathcal\{H\}^\{s\}(F)=0\}=\backslash sup\{s\backslash ge\; 0:\; \backslash mathcal\{H\}^\{s\}(F)=\backslash infty\}.$ Quy ước $\backslash inf\{\backslash emptyset\}=\backslash infty$.

Tính chất

{H}F\0 & \textrm{if}\ s>\dim{H}F\end{array}\right.

Nếu $E\backslash subset\; F$ thì $\backslash textrm\{dim\}\_H\; E\backslash le\backslash textrm\{dim\}\_H\; F$.

Nếu $F\_1,\; F\_2,\backslash ldots$ là một dãy những tập hợp thì $\backslash textrm\{dim\}$H\bigcup{i=1}^{\infty}Fi=\sup{1\le i<\infty}{\textrm{dim}_H F_i}.

Định lý

Cho $F\backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}^n$ và $f:\; F\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}^m$ thỏa $|f(x)-f(y)|${\mathbb{R}^m}\le c|x-y|{\mathbb{R}^n}^{\alpha}\ (x,y\in F) với $c>0$ và $\backslash alpha\; >0$ thì $\backslash textrm\{dim\}\_H\; f(F)\backslash le\; (1/\backslash alpha)\backslash textrm\{dim\}\_H\; F$.

Cho $F\backslash subset\backslash mathbb\{R\}^n$. Nếu tồn tại $s\_0$ sao cho $\backslash mathcal\{H\}^\{s\_0\}(F)\backslash neq\; 0$ thì $\backslash dim\_H(F)=s\_0.$

Ví dụ

Số chiều Hausdorff của một điểm trong $\backslash mathbb\{R\}$ bằng $0$.

Số chiều Hausdorff của một tập đếm được trong $\backslash mathbb\{R\}$ bằng $0$.

Số chiều Hausdorff của đường thẳng thực $\backslash mathbb\{R\}$ bằng 1.

Số chiều của $\backslash mathbb\{R\}^n$ bằng $n$.

Số chiều Hausdorff của các Fractal

Định nghĩa

Một Fractal (fractal) là một vật thể hình học thường có hình dạng gấp khúc trên mọi tỷ lệ phóng đại, và có thể được tách ra thành từng phần: mỗi phần trông giống như hình tổng thể, nhưng ở tỷ lệ phóng đại nhỏ hơn. Như vậy fractal có vô hạn các chi tiết, các chi tiết này có thể có cấu trúc tự đồng dạng ở các tỷ lệ phóng đại khác nhau. Nhiều trường hợp, có thể tạo ra fractal bằng việc lặp lại một mẫu toán học, theo phép hồi quy.

Hình học Fractal là ngành toán học chuyên nghiên cứu các tính chất của fractal; những tính chất không dễ gì giải thích được bằng hình học thông thường. Ý niệm cơ bản của môn này là xây dựng phép đo đạc mới về kích thước của vật thể, do các phép đo thông thường của hình học Euclid và giải tích thất bại khi mô tả các fractal.

Tập tự đồng dạng

Đặc điểm chung của nhiều fractal là tính tự đồng dạng, biểu hiện ở chỗ chúng có thể phân tích thành bộ phận nhỏ tùy ý mà mỗi bộ phận ấy lặp lại y hệt cấu trúc toàn thể. Tính tự đồng dạng ấy thể hiện rõ ở tập Cantor hay đường Peano, tam giác Spierpinki...

Cho $D$ là một tập con đóng của $\backslash mathbb\{R\}^n$. Một ánh xạ: $S:D\; \backslash longrightarrow\; D$ được gọi là co nếu tồn tại sao cho $\backslash mid\; S(x)-S(y)\backslash mid\; \backslash leq\; c\backslash mid\; x-y\backslash mid.$ Trường hợp có dấu bằng, nghĩa là $\backslash mid\; S(x)-S(y)\backslash mid\; =c\backslash mid\; x-y\backslash mid$, thì S được gọi là một phép tự đồng dạng.

Cho $S\_1,S\_2,\backslash ldots,S\_m$ là các ánh xạ co. Tập con $F\backslash subset\; D$ được gọi là bất biến đối với họ các ánh xạ co $\{S\_i\}$ nếu

Đặt $K$ là tập hợp tất cả các tập con compact khác trống của $D$. Một $\backslash delta$-phủ của $A\backslash in\; K$ là tập hợp những điểm cách $A$ quá lắm là $\backslash delta$: $A${\delta}=\lbrace x\in D:d(x,A)\leq\delta\rbrace. Lúc đó $K$ trở thành không gian metric với khoảng các $d$ cho bởi $d(A,B)=\backslash inf\backslash lbrace\backslash delta:A\backslash subset\; B${\delta}, B\subset A_{\delta}\rbrace.

:Định lý: _Cho $S\_1,S\_2,......,S\_m$ là các ánh xạ co trên $D\backslash subset\backslash mathbb\{R\}^n$. Khi đó tồn tại một tập compact không rỗng $F$ là một bất biến đối với các $S$i. Hơn nữa, xét một phép biến đổi $S$ trên $K$ cho bởi $S(E)=\backslash bigcup${i=1}^{m}Si(E) và lặp thứ $k$ của $S$ cho bởi $S^0(E)=E,S^k(E)=S(S^\{k-1\}(E))$ với $k\backslash geq\; 1$ thì $F=\backslash bigcap${k=1}^{\infty}{S^k(E)} với mỗi $E\backslash in\; K$ sao cho $S$i(E)\subset E với mỗi $i$.

Số chiều Hausdorff của tập tự đồng dạng

Cho $S\_1,S\_2,\backslash ldots,\; S\_m$: $\backslash mathbb\{R\}^n\backslash longrightarrow\; \backslash mathbb\{R\}^n$ là các phép đồng dạng với tỷ số tương ứng i<1. Một tập bất biến với họ các phép đồng dạng trên được gọi là tập tự đồng dạng (self-similar-set).Nếu tồn tại một tập mở bị chặn, không trống $V$ sao cho $\backslash bigcup${i=1}^{m}{S_i(V)}\subset V, với các $S\_i(V)$ rời nhau đôi một thì ta nói họ $\{S\_i\}$ thỏa điều kiện tập mở.

: Định lý: ''Với điều kiện tập mở được thỏa mãn cho các phép đồng dạng $S\_i$ trên $\backslash mathbb\{R\}^n$ có tỷ số đồng dạng là $c$i, $F$ là tập bất biến, tức là $F$ thỏa $F=\backslash bigcup${i=1}^{m}S_i(F) thì $\backslash dim$H F=s với s cho bởi $\backslash sum${i=1}^{m}{c_i^s}=1. Hơn thế nữa với $s$ có được thì .''

Ví dụ

• Tập Cantor. phải|Tập tam phân Cantor, ở bước lặp thứ 7 Tập Cantor được xây dựng từ đoạn thẳng $D=[0,1]\backslash subset\backslash mathbb\{R\}$ và hai phép đồng dạng $S\_1(x)=\backslash frac\{1\}\{3\}x,S\_2=\backslash frac\{2\}\{3\}+\backslash frac\{1\}\{3\}x$ (tỉ số đồng dạng $c\_1=c\_2=\backslash frac\{1\}\{3\}$). Điều kiện tập mở được thoả mãn với là khoảng $(0,1)$. Vậy số chiều Hausdorff $s$ là nghiệm của phương trình $2\{(\backslash frac\{1\}\{3\})^s\}=1$, tức $s=\backslash log2/\backslash log3$.

• Đệm Sierpinski thumb|[[Đệm Sierpinski]] Đệm Sierpinski được xây dựng bằng cách xuất phát từ một tam giác đều, chia nó ra bốn tam giác đều nhỏ bởi các đường nối trung điểm của các cạnh, bỏ tam giác ở giữa, rồi lặp lại cách làm đó cho mỗi tam giác còn lại, cứ thế tiếp tục mãi. Cụ thể, đệm Sierpinski được tạo bởi ba phép đồng dạng có tỉ số $1/2$. Đó là $T\_1(x,y)=\{(\backslash frac\{1\}\{2\}x,\backslash frac\{1\}\{2\}y)\}$,$T\_2(x,y)=\{(\backslash frac\{1\}\{2\}x+\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash frac\{1\}\{2\}y)\}$, $T\_3(x,y)=\{(\backslash frac\{1\}\{2\}x+\backslash frac\{1\}\{4\},\backslash frac\{1\}\{2\}y+\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\{4\})\}$. Điều kiện tập mở được thỏa mãn với $V$ là phần trong của tập $E\_0$ trong đó $E\_0$ là hình tam giác ban đầu, nên số chiều Hausdorff $s$ là nghiệm duy nhất của phương trình $\{(\backslash frac\{1\}\{2\})\}^s+\{(\backslash frac\{1\}\{2\})\}^s+\{(\backslash frac\{1\}\{2\})\}^s=3\{(\backslash frac\{1\}\{2\})\}^s=1$. Do đó $s=\backslash log3/\backslash log2$.

• Tập Mandelbrot có số chiều Hausdorff bằng 2. phải|nhỏ|Hình ảnh đầu tiên của tập Mandelbrot (trên mặt phẳng phức) trong dãy phóng đại với môi trường được tô màu liên tục (các điểm màu đen thuộc về tập này).

• Đường Dragon có số chiều Hausdorff gần bằng 1,5236. Recursive construction of the curve

• Tập Julia có số chiều Hausdorff bằng 2. thumb|A Julia set