✨Mặt Riemann

nhỏ|phải| Mặt Riemann ứng với "hàm số" $f(z)=\backslash sqrt\{z\}$. Trong toán học, mặt Riemann (hay còn gọi là diện Riemann), đặt tên theo nhà toán học Bernhard Riemann, là đa tạp phức một chiều. Mặt Riemann có thể được xem là những bản uốn cong của mặt phẳng phức: ở lân cận mỗi điểm chúng giống nhau là một mảnh trên mặt phẳng phức, nhưng tô pô toàn cục có thể khác. Ví dụ, chúng có thể giống mặt cầu hoặc mặt xuyến hoặc một số tấm dán lại với nhau.

Định nghĩa

Một mặt Riemann là một không gian tô pô Hausdorff X, với một át-lát vào C sao cho các phép biến đổi bản đồ là các hàm song chỉnh hình. Tức là X có một phủ mở (U_i) gồm các tập mở đồng phôi với các tập mở của C sao cho các ánh xạ đồng phôi $\backslash phi\_i:U\_i\backslash to\; V\_i\backslash subset\backslash mathbb\{C\}$ thỏa mãn$\backslash forall\; i,j,\backslash phi\_j\backslash circ\backslash phi\_i^\{-1\}:\backslash phi\_i(U\_i\backslash cap\; U\_j)=V\_i\backslash cap\; V\_j\backslash to\; V\_i\backslash cap\; V\_j$ là một hàm song chỉnh hình.

Mặt cầu Riemann

Xét $\backslash hat\{\backslash mathbb\{C=\backslash mathbb\{C\}\backslash cup\{\backslash infty\}$. Gán cho nó hai hệ tọa độ (hay hai bản đồ) phức $\backslash mathbb\{C\}\backslash xrightarrow\{id\}\backslash mathbb\{C\}$ và $\backslash mathbb\{C\}-\{0\}\backslash cup\{\backslash infty\}\backslash to\backslash mathbb\{C\}:z\backslash mapsto\; \backslash frac\{1\}\{z\}$. Hàm đổi hệ tọa độ là hàm $\backslash mathbb\{C\}-\{0\}\backslash to\backslash mathbb\{C\}-\{0\}:z\backslash mapsto\backslash frac\{1\}\{z\}$, là một hàm song chỉnh hình. Đây được gọi là mặt cầu Riemann (dựa theo phép đồng phôi giữa mặt cầu với compắc hóa Alexandroff của mặt phẳng phức).

Mặt xuyến phức

Mặt xuyến phức thường được định nghĩa là thương số của $\backslash mathbb\{C\}$ dưới tác động của một lưới $\backslash mathbb\{Z\}+\backslash tau\backslash mathbb\{Z\}$ với một số phức $\backslash tau$ có phần ảo lớn hơn $0$.

Các mặt Riemann ứng với một hàm số

Xét một hàm số $F:\backslash mathbb\{C\}\backslash to\backslash mathbb\{C\}$. Không phải lúc nào cũng tồn tại một hàm ngược $f$ của $F$. Tuy nhiên $f$ có thể được định nghĩa như một hàm trên một mặt Riemann tương ứng với nó. Sau đây là các mặt Riemann ứng với $F$ lần lượt bằng $\backslash sin\; z,\; \backslash exp\; z,\; z^2,\; z^3,\; z^4$ (và các hàm ngược tương ứng $\backslash arcsin\; z,\backslash log\; z,z^\{1/2\},z^\{1/3\},z^\{1/4\}$). Tập tin:Riemann surface arcsin.jpg|

Hàm chỉnh hình

Một hàm số phức $f:X\backslash rightarrow\backslash mathbb\{C\}$ trên một mặt Riemann được gọi là một hàm chỉnh hình nếu $f\backslash circ\backslash phi^\{-1\}$là một hàm chỉnh hình với mọi bản đồ $\backslash phi$ của $X$. Tương tự, một hàm số phức bộ phận $f:X\backslash rightarrow\backslash mathbb\{C\}$ được gọi là một hàm phân hình nếu $f\backslash circ\backslash phi^\{-1\}$ là một hàm phân hình với mọi bản đồ $\backslash phi$ của $X$.

Cấu trúc vi phân

Một mặt Riemann có một cấu trúc vi phân cảm sinh từ cấu trúc vi phân của mặt phẳng phức, là một đa tạp vi phân hai chiều.