✨Hàm zeta Riemann

phải|nhỏ|469x469px| Điểm kì dị tại $z=1$ và hai không điểm trên đường tới hạn. Hàm zeta Riemann hoặc hàm zeta Euler-Riemann, , là một hàm số một biến phức, là kết quả thác triển giải tích của chuỗi Dirichlet

: $\backslash zeta(s)\; =\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash frac\{1\}\{n^s\}$

Chuỗi này hội tụ khi phần thực của lớn hơn 1. Thác triển giải tích tối đại của nó được xác định trên toàn bộ mặt phẳng phức trừ điểm 1. Hàm zeta Riemann đóng vai trò then chốt trong lý thuyết số giải tích và có các ứng dụng trong vật lý, lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng.

Định nghĩa

nhỏ|300x300px| Bài báo của Bernhard Riemann Về số lượng các số nguyên tố dưới một độ lớn nhất định. Hàm zeta Riemann là một hàm số một biến phức .

Đối với trường hợp đặc biệt $\backslash ,\backslash mathfrak\{Re\}(s)\; \backslash equiv\; \backslash sigma\; >\; 1\backslash ,$, hàm zeta có thể được biểu thị bằng tích phân sau:

: $\backslash zeta(s)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash Gamma(s)\}\; \backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash frac\{x\; ^\; \{s-1\{e\; ^\; x\; -\; 1\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash ,x\; \backslash quad\; \backslash text\{\; với\; \}\; \backslash quad\; \backslash mathfrak\{Re\}(s)\; \backslash equiv\; \backslash sigma\; >\; 1$

trong đó

: $\backslash Gamma(s)\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; x^\{s-1\}\backslash ,e^\{-x\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\backslash ,x$

là hàm gamma.

Trong trường hợp , tích phân trên luôn hội tụ, và có thể được đơn giản hóa bằng chuỗi vô hạn:

: $\backslash zeta(s)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; n^\{-s\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{1^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3^s\}\; +\; \backslash cdots\; \backslash quad\; \backslash text\{\; với\; \}\; \backslash quad\; \backslash sigma\; \backslash equiv\; \backslash mathfrak\{Re\}(s)\; >\; 1\backslash ,.$

Hàm zeta Riemann được định nghĩa là thác triển giải tích của hàm trên.

Với , chuỗi trên là chuỗi điều hòa phân kỳ và

: $\backslash lim\_\{s\; \backslash to\; 1\}~(s\; -\; 1)\backslash ,\backslash zeta(s)\; =\; 1\backslash ,.$

Như vậy hàm zeta Riemann là một hàm phân hình trên toàn bộ mặt phẳng phức với một cực đơn tại có thặng dư bằng 1.

Giá trị cụ thể

Với mọi số nguyên dương chẵn :

: $\backslash zeta(2n)\; =\; \backslash frac\{(-1)^\{n+1\}B\_\{2n\}(2\backslash pi)^\{2n\{2(2n)!\}$

trong đó là số Bernoulli thứ .

Thông qua thác triển giải tích, người ta có thể chỉ ra rằng:

• $\backslash zeta(-1)\; =\; -\backslash tfrac\{1\}\{12\}$
• $\backslash zeta(0)\; =\; -\backslash tfrac\{1\}\{2\};$
• $\backslash zeta(1)\; =\; 1\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{3\}\; +\; \backslash cdots\; =\; \backslash infty;$
• $\backslash zeta(2)\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{2^2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3^2\}\; +\; \backslash cdots\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}\; \backslash approx\; 1.64493\; 40668\; 48226\; 43647;\backslash !$ 
• $\backslash zeta(4)\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{2^4\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3^4\}\; +\; \backslash cdots\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^4\}\{90\}\; \backslash approx\; 1.08232\; 32337\; 11138\; 19152;$ 

:: Giá trị này xuất hiện khi tích phân định luật Planck để rút ra định luật Stefan-Boltzmann trong vật lý.

Công thức tích Euler

Liên hệ giữa hàm zeta và số nguyên tố được phát hiện bởi Euler, người đã chứng minh đồng nhất thức

: $\backslash sum${n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod{p \text{ nguyên tố \frac{1}{1-p^{-s,

:

Phương trình hàm Riemann

Hàm zeta thỏa mãn phương trình hàm sau đây:

: $\backslash zeta(s)\; =\; 2^s\backslash pi^\{s-1\}\backslash \; \backslash sin\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\; s\}\{2\}\backslash right)\backslash \; \backslash Gamma(1-s)\backslash \; \backslash zeta(1-s),$

trong đó là hàm gamma.

Không điểm, đường tới hạn và giả thuyết Riemann

phải|nhỏ|300x300px| Ngoài các không điểm tầm thường, hàm zeta Riemann không có không điểm ở bên phải của và bên trái của . phải|nhỏ|300x300px| Đồ thị của hàm zeta Riemann dọc theo đường tới hạn cho các giá trị thực của chạy từ 0 đến 34. Năm không điểm đầu tiên trong dải tới hạn có thể nhìn thấy rõ là nơi mà các vòng xoắn đi qua gốc tọa độ. nhỏ|300x300px| Phần thực (màu đỏ) và phần ảo (màu xanh) của hàm zeta Riemann zeta dọc theo đường tới hạn Re (s) = 1/2. Các không điểm không tầm thường đầu tiên có thể được nhìn thấy tại Im (s) = ± 14.135, ± 21.022 và ± 25.011. Phương trình hàm Riemann cho thấy hàm zeta Riemann có các không điểm tại . Chúng được gọi là không điểm tầm thường. Chúng tầm thường theo nghĩa sự tồn tại của chúng tương đối dễ chứng minh, ví dụ, từ bằng 0 trong phương trình hàm (lưu ý rằng các không điểm dương của hàm sin bị triệt tiêu bởi các cực điểm của hàm gamma).

Người ta biết rằng bất kỳ không điểm không tầm thường nào đều nằm trong dải mở , được gọi là dải tới hạn. Giả thuyết Riemann, được coi là một trong những vấn đề chưa được giải quyết lớn nhất trong toán học, khẳng định rằng bất kỳ không điểm không tầm thường nào đều thỏa mãn . Trong lý thuyết về hàm zeta Riemann, tập   được gọi là đường tới hạn.