✨Chuỗi điều hòa

Trong toán học, chuỗi điều hòa là chuỗi vô hạn nghịch đảo của các số nguyên dương:

Chuỗi này được biết là phân kỳ, với $S\_n$ là tổng $n$ số hạng đầu hay tổng riêng thứ $n$:

Khi càng thêm nhiều số hạng thì tổng riêng của chuỗi sẽ tăng tiến không giới hạn, đây là đặc điểm thú vị bởi nếu nhìn vào các số hạng thì chúng ngày càng nhỏ dần đến 0, gợi suy nghĩ rằng chuỗi hội tụ. Tuy nhiên đó chỉ là điều kiện cần, không phải điều kiện đủ, bởi nếu chuỗi không tiến đến một giá trị hữu hạn khi không ngừng tiếp nhận thêm số hạng, nó sẽ phân kỳ. Tính phân kỳ của chuỗi điều hòa được Nicole Oresme chứng minh vào thế kỷ 14 bằng một kiểu phép thử rút gọn Cauchy cho trường hợp đặc biệt. Cách chứng minh phổ biến khác là so sánh tổng với một tích phân suy rộng.

Chuỗi điều hòa có dạng tổng quát là hàm zeta Riemann, đạt được khi $x=1$:

Chứng minh sự phân kỳ

Có nhiều cách để chứng minh chuỗi điều hòa phân kỳ, dưới đây là hai phương pháp phổ biến nhất.

Ví dụ với $H\_\{100\}$, hai biên (được làm tròn) là 5,18238 và 5,19239. Vận dụng tính lồi của $1/x$, khoảng biên có thể được thắt chặt hơn:

Chênh lệch giữa cận trên và dưới giờ là $1/[2n(2n+1)]$, cặp biên cho $H\_\{100\}$ là 5,187361 và 5,187386. Phép xấp xỉ sau cho kết quả chính xác hơn nhiều:

nó cho $H\_\{100\}$ đến 8 chữ số thập phân = 5,18737752.