✨Chuỗi hội tụ

Trong toán học, một chuỗi là một tổng hình thức các số hạng của một dãy số vô hạn.

Cho một dãy vô hạn $(a\_1,\; a\_2,\; a\_3,\; \backslash dots),$ tổng thành phần thứ n của nó S_n là tổng của n số hạng đầu tiên của chuỗi. Tức là,

: $S$n = \sum{k=1}^n a_k.

Một chuỗi được gọi là hội tụ nếu dãy các tổng thành phần của nó $(S\_1,\; S\_2,\; S\_3,\; \backslash dots)$ hội tụ đến một giới hạn; điều đó có nghĩa là các tổng thành phần dần dần tiến gần hơn và gần hơn đến một số xác định.

Chính xác hơn, một chuỗi là hội tụ, nếu tồn tại một số xác định $\backslash ell$ sao cho với mỗi số dương nhỏ tùy ý $\backslash varepsilon$, tồn tại một số nguyên (đủ lớn) $N$, sao cho với mọi $n\; \backslash ge\; N$,

:

Nếu chuỗi hội tụ, số $\backslash ell$ (nhất thiết phải là duy nhất) được gọi là tổng của chuỗi.

Bất kỳ chuỗi nào không hội tụ được gọi là phân kỳ.

Ví dụ về chuỗi hội tụ và phân kỳ

• Chuỗi nghịch đảo của các số nguyên dương là một chuỗi phân kỳ (cũng được gọi là chuỗi điều hòa): *: $\{1\; \backslash over\; 1\}+\{1\; \backslash over\; 2\}+\{1\; \backslash over\; 3\}+\{1\; \backslash over\; 4\}+\{1\; \backslash over\; 5\}+\{1\; \backslash over\; 6\}+\backslash cdots\; \backslash rightarrow\; \backslash infty.$
• Chuỗi đan dấu các nghịch đảo của các số nguyên dương là một chuỗi hội tụ (chuỗi điều hòa đan dấu): *: $\{1\; \backslash over\; 1\}-\{1\; \backslash over\; 2\}+\{1\; \backslash over\; 3\}-\{1\; \backslash over\; 4\}+\{1\; \backslash over\; 5\}-\backslash cdots\; =\; \backslash ln(2)$
• Chuỗi nghịch đảo của các số nguyên tố là một chuỗi phân kỳ: *: $\{1\; \backslash over\; 2\}+\{1\; \backslash over\; 3\}+\{1\; \backslash over\; 5\}+\{1\; \backslash over\; 7\}+\{1\; \backslash over\; 11\}+\{1\; \backslash over\; 13\}+\backslash cdots\; \backslash rightarrow\; \backslash infty.$
• Chuỗi nghịch đảo của các số tam giác là một chuỗi hội tụ: *: $\{1\; \backslash over\; 1\}+\{1\; \backslash over\; 3\}+\{1\; \backslash over\; 6\}+\{1\; \backslash over\; 10\}+\{1\; \backslash over\; 15\}+\{1\; \backslash over\; 21\}+\backslash cdots\; =\; 2.$
• Chuỗi nghịch đảo của các giai thừa là một chuỗi hội tụ (xem e): *: $\backslash frac\{1\}\{1\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{1\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{24\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{120\}\; +\; \backslash cdots\; =\; e.$
• Chuỗi nghịch đảo của các số chính phương là một chuỗi hội tụ (bài toán Basel): *: $\{1\; \backslash over\; 1\}+\{1\; \backslash over\; 4\}+\{1\; \backslash over\; 9\}+\{1\; \backslash over\; 16\}+\{1\; \backslash over\; 25\}+\{1\; \backslash over\; 36\}+\backslash cdots\; =\; \{\backslash pi^2\; \backslash over\; 6\}.$
• Chuỗi nghịch đảo của các lũy thừa cơ số 2 là một chuỗi hội tụ: *: $\{1\; \backslash over\; 1\}+\{1\; \backslash over\; 2\}+\{1\; \backslash over\; 4\}+\{1\; \backslash over\; 8\}+\{1\; \backslash over\; 16\}+\{1\; \backslash over\; 32\}+\backslash cdots\; =\; 2.$
• Chuỗi nghịch đảo các lũy thừa cơ số n là một chuỗi hội tụ: *: $\{1\; \backslash over\; 1\}+\{1\; \backslash over\; n\}+\{1\; \backslash over\; n^2\}+\{1\; \backslash over\; n^3\}+\{1\; \backslash over\; n^4\}+\{1\; \backslash over\; n^5\}+\backslash cdots\; =\; \{n\backslash over\; n-1\}.$
• Chuỗi đan dấu các nghịch đảo của lũy thừa cơ số 2 là một chuỗi hội tụ: *: $\{1\; \backslash over\; 1\}-\{1\; \backslash over\; 2\}+\{1\; \backslash over\; 4\}-\{1\; \backslash over\; 8\}+\{1\; \backslash over\; 16\}-\{1\; \backslash over\; 32\}+\backslash cdots\; =\; \{2\backslash over3\}.$
• Chuỗi đan dấu các nghịch đảo của lũy thừa cơ số n là một chuội hội tụ: *: $\{1\; \backslash over\; 1\}-\{1\; \backslash over\; n\}+\{1\; \backslash over\; n^2\}-\{1\; \backslash over\; n^3\}+\{1\; \backslash over\; n^4\}-\{1\; \backslash over\; n^5\}+\backslash cdots\; =\; \{n\backslash over\; n+1\}.$
• Chuỗi nghịch đảo của các số Fibonacci là một chuỗi hội tụ (xem ψ): *: $\backslash frac\{1\}\{1\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{1\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{5\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{8\}\; +\; \backslash cdots\; =\; \backslash psi.$

Các tiêu chuẩn hội tụ

Có một số phương pháp xác định xem một chuỗi hội tụ hay phân kỳ, được gọi là các tiêu chuẩn hội tụ. phải|nhỏ|250x250px| Nếu chuỗi màu xanh, $\backslash Sigma\; b\_n$ là hội tụ thì chuỗi nhỏ hơn $\backslash Sigma\; a\_n$ cũng là hội tụ. Nếu chuỗi màu đỏ $\backslash Sigma\; a\_n$ là phân kỳ, thì chuỗi lớn hơn $\backslash Sigma\; b\_n$ cũng là phân kỳ. Tiêu chuẩn so sánh. Nếu,

với mọi n, $0\; \backslash le\; \backslash \; a\_n\; \backslash le\; \backslash \; b$n và $\backslash sum${n=1}^\infty bn hội tụ, thế thì $\backslash sum${n=1}^\infty a_n

Nếu,

với mọi n, $0\; \backslash le\; \backslash \; b\_n\; \backslash le\; \backslash \; a$n và $\backslash sum${n=1}^\infty bn phân kỳ, thế thì $\backslash sum${n=1}^\infty a_n phân kỳ.

Tiêu chuẩn D'Alembert (hay tiêu chuẩn tỷ lệ). Giả sử rằng với mọi n, $a\_n$ khác 0. Giả sử tồn tại $r$ sao cho

: $\backslash lim${n \to \infty} \left|{\frac{a{n+1{a_n\right| = r.

Nếu r <1, thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nếu thì chuỗi phân kỳ. Nếu tiêu chuẩn D'Alembert không áp dụng, cần sử dụng phương pháp khác.

Tiêu chuẩn Cauchy (hay tiêu chuẩn căn thức). Giả sử rằng các số hạng của chuỗi là không âm. Xác định r như sau:

: $r\; =\; \backslash limsup\_\{n\backslash rightarrow\backslash infty\}\backslash sqrt[n],$

Nếu r <1, thì chuỗi hội tụ. Nếu thì chuỗi phân kỳ. Nếu tiêu chuẩn Cauchy không áp dụng, cần sử dụng phương pháp khác.

Tiêu chuẩn tích phân Cauchy.Giả sử $f(n)\; =\; a\_n$ với $f$ là một hàm số dương đơn điệu giảm. Nếu

: $\backslash int${1}^{\infty} f(x)\, dx = \lim{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx < \infty,

thì chuỗi hội tụ. Nếu tích phân phân kỳ thì chuỗi phân kỳ.

Tiêu chuẩn so sánh giới hạn. Nếu $\backslash left\; \{\; a\_n\; \backslash right\; \},\; \backslash left\; \{\; b$n \right } > 0 và giới hạn $\backslash lim${n \to \infty} \frac{a_n}{bn} tồn tại và khác không, thì $\backslash sum${n=1}^\infty an hội tụ khi và chỉ khi $\backslash sum${n=1}^\infty b_n hội tụ.

Tiêu chuẩn Leibniz. Với một chuỗi đan dấu $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n\; (-1)^n$, nếu $\backslash left\; \{\; a\_n\; \backslash right\; \}$ giảm đơn điệu và có giới hạn bằng 0 ở vô cực thì chuỗi hội tụ.

Dấu hiệu Abel

Dấu hiệu Dirichlet

Hội tụ tuyệt đối và hội tụ có điều kiện

phải|nhỏ|Minh họa sự hội tụ có điều kiện của chuỗi lũy thừa của log(z+1) gần điểm 0 được tính tại Độ dài của đoạn đường nối là vô hạn. Với một dãy bất kỳ $\backslash left\; \{\; a\_1,\backslash \; a\_2,\backslash \; a\_3,\backslash dots\; \backslash right\; \}$, $a\_n\; \backslash le\; \backslash \; \backslash left\; |\; a\_n\; \backslash right\; \backslash vert$ với mọi n. Vì thế,

: $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a$n \le \ \sum{n=1}^\infty \left | a_n \right \vert.

Điều này có nghĩa là (theo dấu hiệu so sánh) nếu $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash left\; |\; a$n \right \vert hội tụ, thì $\backslash sum${n=1}^\infty a_n cũng phải hội tụ (nhưng đảo lại không đúng).

Nếu chuỗi $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash left\; |\; a$n \right \vert hội tụ, thì $\backslash sum${n=1}^\infty a_n được gọi là hội tụ tuyệt đối. Một dãy hội tụ tuyệt đối là dãy mà độ dài đoạn thẳng tạo ra khi nối lại tất cả các phần tăng thêm của tổng riêng có độ dài hữu hạn. Chuỗi lũy thừa của hàm mũ hội tụ tuyệt đối ở mọi nơi.

Nếu chuỗi $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a$n hội tụ nhưng chuỗi $\backslash sum${n=1}^\infty \left | an \right \vert lại phân kỳ, thì chuỗi $\backslash sum${n=1}^\infty a_n là hội tụ có điều kiện. Đoạn đường tạo ra khi nối các tổng riêng của một chuỗi hội tụ có điều kiện có độ dài vô hạn. Thí dụ, chuỗi lũy thừa của hàm logarit là hội tụ có điều kiện.

Định lỹ chuỗi Riemann khẳng định rằng nếu một chuỗi hội tụ có điều kiện, có thể đổi chỗ các số hạng trong chuỗi theo một cách sao cho chuỗi hội tụ đến giá trị tùy ý, hay thậm chí là phân kỳ.

Hội tụ đều

Cho $\backslash left\; \{\; f\_1,\backslash \; f\_2,\backslash \; f$3,\dots \right } là một dãy các hàm số. Chuỗi $\backslash sum${n=1}^\infty f_n được gọi là hội tụ đều đến f nếu dãy các tổng riêng $\{s\_n\}$ xác định bởi

: $s$n(x) = \sum{k=1}^n f_k (x)

hội tụ đều đến f.

Có một tiêu chuẩn hội tụ cho chuỗi hàm vô hạn giống với tiêu chuẩn so sánh trên, được gọi là Dấu hiệu M Weierstrass.

Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy

Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy khẳng định rằng một chuỗi

: $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n$

hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng là một dãy Cauchy. Điều này nghĩa là với mỗi $\backslash varepsilon\; >\; 0,$ tồn tại một số nguyên dương $N$ sao cho với mọi $n\; \backslash geq\; m\; \backslash geq\; N$ ta có

:

điều này tương đương với

: $\backslash lim${n \to \infty \atop m\to \infty} \sum{k=n}^{n+m} a_k = 0.