✨Chuỗi Kempner

Chuỗi Kempner là một phiên bản đặc biệt của chuỗi điều hòa, được hình thành từ chuỗi điều hòa bằng cách loại bỏ trong chuỗi đó các phần tử có biểu diễn cơ số 10 chứa chữ số 9. Tức là :$\{\backslash sideset\{\}\{\text{'}\}\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n\}$ dấu nháy đơn dùng để nói rằng n chỉ lấy các số không chứa chữ số 9. Chuỗi này được lần đầu nghiên cứu bởi A. J. Kempner trong 1914. Chuỗi này trái ngược với trực giác vì không giống như chuỗi điều hòa, chuỗi này thực ra hội tụ. Kempner chứng minh tổng của chuỗi này nhỏ hơn 90. Baillie tìm ra thuật toán hiệu quả trong bài toán tổng quát loại bỏ bất kỳ xâu chữ số. Ví dụ chẳng hạn, tổng của trong đó n không chứa "42" có giá trị nằm vào khoảng . Một ví dụ khác: tổng của trong đó n không chứa xâu chữ số "314159" là khoảng . (Tất cả giá trị này đều đã được làm tròn ở chữ số cuối.)

Tính hội tụ

Bài chứng minh tính hội tụ của Kempner và ngoài ra cũng là bài tập trong cuốn Apostol. Ta nhóm các phần tử theo số chữ số của mẫu số. Số các số nguyên dương có n chữ số và không có chữ số '9' là 8 × 9ⁿ⁻¹ bởi vì có 8 lựa chọn (từ 1 đến 8) cho chữ số đầu tiên, và 9 lựa chọn độc lập (từ 0 đến 8) cho mỗi chữ số còn lại trong n−1 chữ số. Mỗi số không chứa chữ số '9' này lớn hơn hoặc bằng với 10ⁿ⁻¹, do đó nghịch đảo của mỗi số này nhỏ hơn hoặc bằng với 10¹⁻ⁿ. Do đó, tổng của toàn bộ nhóm này nhỏ hơn 8 × ()ⁿ⁻¹. Do đó tổng ban đầu không lớn hơn

:$8\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash left(\backslash frac\{9\}\{10\}\backslash right)^\{n-1\}\; =\; 80.$

Ta có thể lập luận tương tự cho bất kỳ chữ số khác không. Số các số nguyên dương n chữ số không chứa chữ số '0' là 9ⁿ, do đó tổng của trong đó n không có chữ số '0' không quá

:$9\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash left(\backslash frac\{9\}\{10\}\backslash right)^\{n-1\}\; =\; 90.$

Chuỗi này vẫn hội tụ nếu ta loại bỏ đi k chữ số liên tiếp, ví dụ chẳng hạn, nếu ta bỏ các phần tử có xâu chữ số 42 thì ta vẫn có thể chứng minh theo cách gần như trên. xét chuỗi Kempner tổng quát, là các tổng S(d, n) của các nghịch đảo của các số tự nhiên chứa n lần chữ số  d trong đó 0 ≤ d ≤ 9 (do vậy, tổng của chuỗi Kempner gốc là S(9, 0)). Ông chứng minh rằng cho mỗi chữ số d dãy các giá trị S(d, n) với n ≥ 1 là dãy giảm dần và hội tụ đến 10 ln 10. Dãy này chưa thực sự giảm dần khi bắt đầu với n = 0; ví dụ chẳng hạn, đối với chuỗi Kempner gốc ta có S(9, 0) ≈ 22.921 < 23.026 ≈ 10 ln 10 < S(9, n) với n ≥ 1.

Các phương pháp xấp xỉ

Chuỗi này hội tụ cực kỳ chậm. Baillie

Cận trên 80 vẫn còn thô. Trong 1916, Irwin đã chứng minh giá trị của tổng chuỗi Kempner nằm giữa 22.4 và 23.3, sau này tìm ra được giá trị trên 22.92067... xét tổng của nghịch đảo của tất cả các luỹ thừa bậc j cho mọi j. Ông phát triển công thức đệ quy biểu diễn tổng của luỹ thừa bậc j từ khối (k + 1) chữ số bằng các luỹ thừa cao hơn của khối k chữ số. Do đó, chỉ cần một lượng tính toán nhỏ, chuỗi gốc (tương ứng với j = 1, cộng trên tất cả giá trị k) có thể được ước lượng chính xác.