Trong toán học, các dấu hiệu hội tụ (hay tiêu chuẩn hội tụ) là các phương pháp kiểm tra sự hội tụ, hội tụ có điều kiện, hội tụ tuyệt đối, khoảng hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n$.

Danh sách các dấu hiệu hội tụ

Giới hạn của các số hạng

Nếu giới hạn của dãy các số hạng của chuỗi là không xác định hoặc khác 0, tức là $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}a\_n\; \backslash ne\; 0$ thì chuỗi phải là phân kỳ. Theo nghĩa này, dãy các tổng riêng là Cauchy chỉ khi giới hạn này là tồn tại và bằng 0. Tuy nhiên, dấu hiệu này không chỉ ra một chuỗi có hội tụ hay không nếu thỏa mãn giới hạn của các số hạng bằng 0.

Chứng minh

Đặt $S\_n=a\_1+a\_2+...+a$n. Do chuỗi $\backslash sum${n=1}^\infty a_n hội tụ nên dãy $(S\_1,S\_2,S\_3,...)$ là dãy cơ bản. Theo đó với mỗi số thực $\backslash varepsilon>0$ tồn tại số $n\_0$ sao cho với mọi $n>n$0 ta có $\backslash varepsilon>|S${n+1}-Sn| hay $|a${n+1}|<\varepsilon. Điều này chứng tỏ $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}a\_n=0.$

Dấu hiệu tỉ số

Dấu hiệu này còn được gọi là tiêu chuẩn d'Alembert.

: Xét hai giới hạn : $$L$$+=\limsup{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1{an}\right|,L-=\liminf{n\to\infty}\left|\frac{a{n+1{an}\right|. : Nếu $L$+<1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nếu $L$->1 thì chuỗi phân kỳ. Nếu $L$-\le 1\le L_+ thì chưa thể có kết luận, và chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ.

Chứng minh

Đặt $c$n=\left|\frac{a{n+1{an}\right|. Nếu $L$+<1 thì theo định nghĩa giới hạn trên của dãy số tồn tại một số $c$ dương sao cho và số $N$ sao cho $c$n<c hay $|a${n+1}|<c|an| với mọi $n\backslash ge\; N.$ Từ đây ta truy toán được $|a${n+N}|<c^n |a_N| với mọi $n\backslash ge1.$ Khi đó

Chuỗi $1+c+c^2+...$ là chuỗi hình học với công sai $c\backslash in(0;1),$ suy ra ta có đẳng thức $1+c+c^2+...=\backslash frac\{1\}\{1-c\},$ do đó

Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối. Ngược lại nếu $L$->1 thì theo định nghĩa giới hạn dưới của dãy số ta tìm được số dương $d$ sao cho - và tồn tại $p\backslash in\backslash mathbb\{N\}$ sao cho $|a$p|>0 đồng thời $|a${n+p}|>d^n|ap| với mọi $n\backslash ge\; 1.$ Do $d>1$ nên $d^n\backslash to\backslash infty$ khi $n\backslash to\backslash infty$, do đó $|a${n+p}|\to\infty khi $n\backslash to\backslash infty$, do đó dãy $(a\_0,a\_1,...)$ không hội tụ về $0$ nên chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn giới hạn của các số hạng.

Dấu hiệu căn

Dấu hiệu này còn được gọi là dấu hiệu căn bậc _n_ hay tiêu chuẩn căn Cauchy.

: Đặt :: $$r=\backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n],$$ : trong đó $\backslash limsup$ ký hiệu cho giới hạn trên (có thể là $\backslash infty$; nếu tồn tại giới hạn nó là cùng một giá trị). : Nếu r < 1 thì chuỗi hội tụ, nếu lớn hơn thì chuỗi phân kỳ. Nếu r = 1 thì chưa thể có kết luận từ dấu hiệu căn, và chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Dấu hiệu căn là mạnh hơn dấu hiệu tỉ số: trong khi dấu hiệu tỉ số có thể xác định sự hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn thì dấu hiệu căn cũng xác định được, nhưng đảo lại không đúng. Ví dụ, với chuỗi

: 1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 +... = 4,

sự hội tụ được suy ra từ dấu hiệu căn nhưng dấu hiệu tỉ số lại không kết luận được.

Chứng minh

Nếu thì tồn tại số $N$ và $c\backslash in(r;1)$ sao cho hay $|a$n|<c^n với mọi $n\backslash ge\; N$. Khi đó $\backslash sum${n=N}^\infty|a_n|<|aN|\sum{n=0}^\infty c^n=\frac{1-c}<\infty nên suy ra được chuỗi hội tụ tuyệt đối. Ngược lại, nếu có vô hạn $n$ sao cho $\backslash sqrt[n]>1$ thì $|a\_n|>1$ với vô hạn $n$, khi đó chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn giới hạn của các số hạng.

Tiêu chuẩn tích phân

Chuỗi có thể được so sánh với một tích phân để xét sự hội tụ hay phân kỳ. Cho $f:[1,\backslash infty)\backslash to\backslash R\_+$ là một hàm số không âm và đơn điệu giảm sao cho $f(n)\; =\; a\_n$. Nếu tích phân vô định$$\backslash int$$1^\infty f(x) \, dx=\lim{t\to\infty}\int_1^t f(x) \, dxlà hữu hạn thì chuỗi hội tụ. Nhưng nếu tích phân trên là phân kỳ thì chuỗi cũng phân kỳ. Nói cách khác chuỗi $\{a\_n\}$ hội tụ khi và chỉ khi tích phân hội tụ.

Dấu hiệu p-chuỗi

Một hệ quả thường được sử dụng của tiêu chuẩn tích phân là dấu hiệu p-chuỗi. Cho số $k\; >\; 0$. Vậy thì chuỗi $\backslash sum\_\{n=k\}^\{\backslash infty\}\; \backslash bigg(\backslash frac\{1\}\{n^p\}\backslash bigg)$ hội tụ khi và chỉ khi $p\; >\; 1$.

Trường hợp $p\; =\; 1,\; k\; =\; 1$ ta có chuỗi điều hòa, là một chuỗi phân kỳ. Trường hợp $p\; =\; 2,\; k\; =\; 1$ là bài toán Basel và chuỗi hội tụ đến $\backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}$. Tổng quát, với $p\; >\; 1,\; k\; =\; 1$, chuỗi bằng hàm zeta Riemann áp dụng với $p$ tức là $\backslash zeta(p)$.

Tiêu chuẩn so sánh trực tiếp

Nếu chuỗi $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; b\_n$ là một chuỗi hội tụ tuyệt đối và các số hạng $|a\_n|\backslash le\; |b\_n|$ với n đủ lớn, thì chuỗi $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; a\_n$ cũng hội tụ tuyệt đối.

Tiêu chuẩn so sánh giới hạn

Nếu $\{a\_n\},\{b$n}>0, (tức là mỗi phần tử của hai dãy là dương) và giới hạn $\backslash lim${n\to\infty} \frac{a_n}{bn} tồn tại, hữu hạn và khác 0 thì $\backslash sum${n=1}^\infty an phân kỳ khi và chỉ khi $\backslash sum${n=1}^\infty b_n phân kỳ.

Nói cách khác, các chuỗi trên là cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Tiêu chuẩn Cauchy nén

Cho $\backslash left\; \{\; a$n \right } là một dãy dương không tăng. Vậy thì tổng vô hạn $A\; =\; \backslash sum${n=1}^\infty an hội tụ khi và chỉ khi tổng $A^*\; =\; \backslash sum${n=0}^\infty 2^n a_{2^n} hội tụ. Hơn nữa, nếu chúng hội tụ thì bất đẳng thức $A\; \backslash leq\; A^*\; \backslash leq\; 2A$ được thỏa mãn.

Dấu hiệu hội tụ tuyệt đối

Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối thì đều hội tụ. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, những chuỗi như vậy gọi là chuỗi hội tụ có điều kiện. Đối với những chuỗi số thực hội tụ có điều kiện ta có thể sắp xếp lại các $a$n sao cho ta được chuỗi mới $\backslash sum${n=0}^\infty a_{\sigma(n)} hội tụ về bất kỳ số thực nào hoặc phân kỳ, đây chính là định lý chuỗi Riemann. Do đó khi làm việc với các chuỗi ta không được sắp xếp lại các $a\_n$ nếu chưa xác định được chuỗi có hội tụ tuyệt đối không vì nó có thể tạo ra một chuỗi mới hội tụ hoặc phân kỳ.

Chứng minh

Đặt $b\_n=|a\_0|+...+|a\_n|$ và $S\_n=a\_0+...+a\_n$. Dãy $(b\_0,b\_1,b\_2,...)$ là dãy cơ bản nên với mỗi $\backslash varepsilon>0$ tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho với mọi $m>n\backslash ge\; N$ ta có

$$\backslash varepsilon>b\_m-b\_n=\backslash sum\_\{k=n\}^m|a\_k|\backslash ge\backslash left|\backslash sum\_\{k=n\}^m\; a\_k\backslash right|=|S\_m-S\_n|,$$ trong đó bất đẳng thức sau cùng đúng do bất đẳng thức tam giác. Điều này chứng tỏ dãy $(S\_n)\_\{n=1\}^\backslash infty$ cũng là dãy cơ bản nên chuỗi $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n$ hội tụ.

Dấu hiệu Abel

Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

$\backslash sum\; a\_n$ là một chuỗi hội tụ,

$\backslash left\{b\_n\backslash right\}$ là một dãy đơn điệu, và

$\backslash left\{b\_n\backslash right\}$ bị chặn.

Vậy thì chuỗi $\backslash sum\; a\_nb\_n$ cũng hội tụ.

Dấu hiệu Dirichlet

Giả sử có dãy số thực $(a\_n)$ và dãy phức $(b\_n)$ thoả mãn

: Dãy $(a$n) đơn điệu và $\backslash lim${n\to\infty}a_n=0. : Tồn tại hằng số $C$ sao cho $\backslash left|\backslash sum^\{n\}\_\{k=1\}b$n\right|\leq C với mọi số nguyên dương $n$.
Khi đó chuỗi $S=\backslash sum^\{\backslash infty\}${n=1}a_n b_n hội tụ.

Chứng minh

Đặt $S$n=\sum{k=1}^n a_kb_k và $B$n=\sum{k=1}^n b_k. Theo khai triển Abel ta có

$$S\_n=\backslash sum\_\{k=1\}^n\; a\_kb\_k=a\_nB\_n+\backslash sum\_\{k=1\}^\{n-1\}B\_k(a\_k-a\_\{k+1\}).$$ Do dãy $(B\_n)\_\{n=1\}^\backslash infty$ bị chặn nên $a\_nB\_n\backslash to0$ khi $n\backslash to\backslash infty$. Theo định nghĩa của chuỗi ta có Theo bất đẳng thức tam giác ta có Không mất tính tổng quát giả sử dãy $(a\_n)$ giảm ngặt, vì nếu không ta có thể thay $S$ bởi $-S$. Lúc này $|a\_n-a\_\{n+1\}|=a\_n-a\_\{n+1\}$ nên chuỗi $C\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; |a\_n-a\_\{n+1\}|$ là chuỗi lồng nhau, khi đó ta dễ dàng có $$C\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; |a\_n-a\_\{n+1\}|=C\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; (a\_n-a\_\{n+1\})=Ca\_1,$$ và điều này chứng tỏ rằng chuỗi $\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; B\_n(a\_n-a\_\{n+1\})$ hội tụ tuyệt đối nên chuỗi $S$ cũng hội tụ. ### Tiêu chuẩn hội tụ cho chuỗi đan dấu Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn đối với dãy $(a\_n)$, đó là

• $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; =\; 0$ và
• dãy $(a\_n)$ đơn điệu.

Vậy $\backslash sum\_\{n\; =\; k\}^\backslash infty\; (-1)^\{n\}\; a$n và $\backslash sum${n = k}^\infty (-1)^{n+1} a_n là các chuỗi hội tụ. Tiêu chuẩn này còn được gọi là tiêu chuẩn Leibniz. Tiêu chuẩn này chỉ là một hệ quả của tiêu chuẩn Dirichlet ở trên, bởi vì ta có thể chọn

$$b\_n=(-1)^n\backslash Longrightarrow\backslash left|\backslash sum\_\{k=1\}^nb\_k\backslash right|\backslash le\; 1.$$ Đối với các chứng minh khác, bạn đọc có thể xem tại đây.

Dấu hiệu hội tụ Raabe–Duhamel

Cho dãy $a\_n>0$.

Định nghĩa dãy

: $b\_n=n\backslash left(\backslash frac\{a$n}{a{n+1-1 \right).

Nếu giới hạn

: $L=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}b\_n$

tồn tại thì có ba khả năng:

• nếu L > 1 thì chuỗi hội tụ
• nếu L < 1 thì chuỗi phân kỳ
• còn nếu L = 1 thì chưa thể kết luận.

Một công thức khác của dấu hiệu này như sau. Cho Σ là một chuỗi số thực. Vậy thì nếu b > 1 và tồn tại một số tự nhiên K sao cho

: $\backslash left|\backslash frac\{a\_\{n+1\{a\_n\}\backslash right|\backslash le\; 1-\backslash frac\{b\}\{n\}$

với mọi n > K thì chuỗi Σa_n hội tụ.

Dấu hiệu Bertrand

Cho { a_n } là một dãy số dương.

Định nghĩa

: $b\_n=\backslash ln\; n\backslash left(n\backslash left(\backslash frac\{a$n}{a{n+1-1 \right)-1\right).

Nếu tồn tại giới hạn

: $L=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}b\_n$

thì có ba khả năng:

• nếu L > 1 thì chuỗi Σa_n hội tụ
• nếu L < 1 thì chuỗi Σa_n phân kỳ
• còn nếu L = 1 thì chưa thể kết luận.

Dấu hiệu Gauss

Cho { a_n } là một dãy số dương. Nếu $\backslash frac\{a$n}{a{n + 1 = 1+ \frac{\alpha}{n} + O\left(\frac{1}{n^\beta}\right) với một số β > 1, thì $\backslash sum\; a\_n$ hội tụ nếu và phân kỳ nếu .

Chú ý

Đối với một số loại chuỗi cụ thể thì có thể các dấu hiệu hội tụ chuyên biệt hơn, thí dụ đối với chuỗi Fourier có dấu hiệu Dini.

Thí dụ

Xét chuỗi

$(*)\; \backslash ;\backslash ;\backslash ;\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^\backslash alpha\}.$

Theo tiêu chuẩn Cauchy nén, (*) hội tụ hữu hạn khi

: $(**)\; \backslash ;\backslash ;\backslash ;\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; 2^n\; \backslash left(\; \backslash frac\; 1\; \{2^n\}\backslash right)^\backslash alpha$

cũng hội tụ hữu hạn. Bởi

: $\backslash sum${n=1}^\infty 2^n \left( \frac 1 {2^n} \right)^\alpha = \sum{n=1}^\infty 2^{n-n\alpha} = \sum_{n=1}^\infty 2^{(1-\alpha) n}

() là một chuỗi hình học với công bội $2^\{(1-\backslash alpha)\}$. () hội tụ hữu hạn khi công bội của nó nhỏ hơn 1 (tức là $\backslash alpha\; >\; 1$). Vì thế, (*) hội tụ hữu hạn khi và chỉ khi $\backslash alpha\; >\; 1$.

Sự hội tụ của tích

Trong khi hầu hết các dấu hiệu đề cập đến sự hội tụ của các chuỗi vô hạn, chúng cũng có thể được sử dụng để cho thấy sự hội tụ hay phân kỳ của các tích vô hạn. Điều này có được là do định lý sau: Cho $\backslash left\; \{\; a$n \right }{n=1}^\infty là một dãy số dương. Vậy thì tích vô hạn $\backslash prod\_\{n=1\}^\backslash infty\; (1\; +\; a$n) hội tụ khi và chỉ khi chuỗi $\backslash sum${n=1}^\infty a_n hội tụ. Và tương tự, nếu thỏa mãn n < 1, thì $\backslash prod${n=1}^\infty (1 - an) tiến đến một giới hạn khác 0 khi và chỉ khi chuỗi $\backslash sum${n=1}^\infty a_n hội tụ.

Có thể chứng minh điều đó bằng cách lấy logarit của tích và dùng dấu hiệu so sánh giới hạn.