✨Tích Euler

Trong lý thuyết số, tích Euler là dạng khai triển chuỗi Dirichlet thành tích vô hạn được đánh chỉ số bởi các số nguyên tố. Tích gốc xuất hiện trong bài chứng minh công thức cho tổng các số nguyên dương được mũ lên một giá trị nào đó của Leonhard Euler. Chuỗi này cùng với thác triển của nó trong mặt phẳng phức sau được biết đến là hàm zeta Riemann.

Định nghĩa

Trong tổng quát, nếu là hàm nhân tính bị chặn, thì chuỗi Dirichlet

:$\backslash sum\_\{n\}\; \backslash frac\{a(n)\}\{n^s\}\backslash ,$

bằng với

:$\backslash prod\_\{p\}\; P(p,\; s)\; \backslash quad\; \backslash text\{for\; \}\; \backslash operatorname\{Re\}(s)\; >1\; .$

trong đó giá trị tích được lấy trên các số nguyên tố , và là tổng

:$\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{a(p^k)\}\{p^\{ks\; =\; 1\; +\; \backslash frac\{a(p)\}\{p^s\}\; +\; \backslash frac\{a(p^2)\}\{p^\{2s\; +\; \backslash frac\{a(p^3)\}\{p^\{3s\; +\; \backslash cdots$

Thậm chí, nếu ta coi các hàm này là hàm sinh hình thức, thì sự tồn tại của tích Euler có hình thức là điều kiện cần và đủ sao cho nhân tính: tức là là tích của các mỗi khi phân tích thành tích của các lũy thừa nguyên tố với các số nguyên tố phân biệt.

Một trường hợp đặc biệt quan trọng là khi nhân tính toàn phần, khi đó là chuỗi hình học và do vậy

:$P(p,\; s)=\backslash frac\{1\}\{1-\backslash frac\{a(p)\}\{p^s,$

và là trường hợp đặc biệt của hàm zeta Riemann khi , và tổng quát hơn cho các ký tự Dirichlet.

Hội tụ

Thực tế, tất cả trường hợp quan trọng đều là khi khai triển chuỗi vô hạn và tích vô hạn đều hội tụ tuyệt đối trong một số miền

:$\backslash operatorname\{Re\}(s)\; >\; C,$

tức là, miền đó là một trong trong một số bán mặt phẳng phải nằm trong mặt số phức. Tính chất này cho thêm một số thông tin bởi, để tích vô hạn có thể hội tụ thì phải có giá trị của nó phải khác không, do đó hàm cho bởi chuỗi vô hạn sẽ khác không tại bán mặt phẳng đó.

Trong lý thuyết của các dạng modula, thường thì sẽ có tích Euler có các đa thức bậc hai ở mẫu số. Tổng quát hơn, chương trình Langlands bao gồm giải thích đầy đủ cho mối liên hệ giữa các đa thức bậc với lý thuyết biểu diễn cho .

Các ví dụ

Các ví dụ sau sử dụng ký hiệu $\backslash mathbb\{P\}$ cho tập các số nguyên tố, nghĩa là: :$\backslash mathbb\{P\}=\{p\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\backslash ,|\backslash ,p\backslash text\{\; là\; số\; nguyên\; tố\}\}.$

Tích Euler gắn liền với hàm zeta Riemann , và cũng sử dụng tổng của chuỗi hình học, tức là

:$\backslash begin\{align\}\; \backslash prod${p\, \in\, \mathbb{P \left(\frac{1}{1-\frac{1}{p^s\right) &= \prod{p\ \in\ \mathbb{P \left(\sum{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^{ks\right) \ &= \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \zeta(s). \end{align}

trong khi đối với hàm Liouville , khai triển của nó là

:$\backslash prod${p\, \in\, \mathbb{P \left(\frac{1}{1+\frac{1}{p^s\right) = \sum{n=1}^{\infty} \frac{\lambda(n)}{n^{s = \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}.

Sử dụng phần nghịch đảo, hai tích Euler cho hàm Möbius là

:$\backslash prod${p\, \in\, \mathbb{P \left(1-\frac{1}{p^s}\right) = \sum{n=1}^{\infty} \frac{\mu (n)}{n^{s = \frac{1}{\zeta(s)}

và

:$\backslash prod${p\, \in\, \mathbb{P \left(1+\frac{1}{p^s}\right) = \sum{n=1}^{\infty} \frac{n^{s = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}.

Chia cái dưới cho cái trên ta được

:$\backslash prod${p\, \in\, \mathbb{P \left(\frac{1+\frac{1}{p^s{1-\frac{1}{p^s\right) = \prod{p\, \in\, \mathbb{P \left(\frac{p^s+1}{p^s-1}\right) = \frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)}.

Bởi khi lấy các giá trị chẵn của , hàm zeta Riemann có giá trị là biểu thức giải tích dưới dạng bội hữu tỉ của , thì đối với các số mũ chẵn, giá trị của tích vô hạn là một số hữu tỉ. Ví dụ chẳng hạn, bởi , , và , nên

:$\backslash begin\{align\}\; \backslash prod${p\, \in\, \mathbb{P \left(\frac{p^2+1}{p^2-1}\right) &= \frac53 \cdot \frac{10}{8} \cdot \frac{26}{24} \cdot \frac{50}{48} \cdot \frac{122}{120} \cdots &= \frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)} &= \frac52, \[6pt] \prod{p\, \in\, \mathbb{P \left(\frac{p^4+1}{p^4-1}\right) &= \frac{17}{15} \cdot \frac{82}{80} \cdot \frac{626}{624} \cdot \frac{2402}{2400} \cdots &= \frac{\zeta(4)^2}{\zeta(8)} &= \frac76, \end{align}

và tiếp tục như vậy, kết quả đầu tiên được tính và biết bởi Ramanujan. Họ các tích vô hạn này đồng thời tương đương với

:$\backslash prod${p\, \in\, \mathbb{P \left(1+\frac{2}{p^s}+\frac{2}{p^{2s+\cdots\right) = \sum{n=1}^\infty \frac{2^{\omega(n){n^s} = \frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)},

trong đó đến các ước số nguyên tố phân biệt của , và là số các ước thiếu chính phương.

Nếu là ký tự Dirichlet của giá trị dẫn sao cho nhân tính toàn phần và chỉ phụ thuộc trên , và nếu không nguyên tố cùng nhau với , thì

:$\backslash prod${p\, \in\, \mathbb{P \frac{1}{1- \frac{\chi(p)}{p^s = \sum{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}.

Ở đây để tiện, ta bỏ khỏi tích các ước nguyên tố của . Trong sách của ông, Ramanujan tổng quát hóa tích Euler cho hàm zeta thành

:$\backslash prod\_\{p\backslash ,\; \backslash in\backslash ,\; \backslash mathbb\{P\; \backslash left(x-\backslash frac\{1\}\{p^s\}\backslash right)\backslash approx\; \backslash frac\{1\}\{\backslash operatorname\{Li\}\_s\; (x)\}$

với , trong công thức là hàm polylôgarit. Khi , tích trên bằng với .

Hằng số toán học

Một số hằng số có dạng khai triển tích Euler.

Công thức Leibniz cho

:$\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^n\}\{2n+1\}\; =\; 1\; -\; \backslash frac13\; +\; \backslash frac15\; -\; \backslash frac17\; +\; \backslash cdots$

có thể coi là một chuỗi Dirichlet sử dụng ký tự Dirichlet (duy nhất) modulo 4, được đổi thành tích Euler của các phân số siêu riêng biệt (là các phân số trong đó tử số và mẫu số chỉ cách nhau 1 đơn vị):

:$\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\; =\; \backslash left(\backslash prod${p\equiv 1\pmod 4}\frac{p}{p-1}\right)\left( \prod{p\equiv 3\pmod 4}\frac{p}{p+1}\right)=\frac34 \cdot \frac54 \cdot \frac78 \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdots,

trong đó mỗi tử số là ước số nguyên tố và mỗi mẫu số là số gần nhất với bội của 4.

Các khai triển tích Euler cho một hằng số khác:

*Hằng số Hardy–Littlewood cho số nguyên tố sinh đôi:

::$\backslash prod\_\{p>2\}\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{1\}\{\backslash left(p-1\backslash right)^2\}\backslash right)\; =\; 0.660161...$

*Hằng số Landau–Ramanujan:

::$\backslash begin\{align\}\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\; \backslash prod${p \equiv 1\pmod 4} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)^\frac12 &= 0.764223... \[6pt] \frac{1}{\sqrt{2 \prod{p \equiv 3\pmod 4} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)^{-\frac12} &= 0.764223... \end{align}

• Hằng số Murata :

::$\backslash prod\_\{p\}\; \backslash left(1\; +\; \backslash frac\{1\}\{\backslash left(p-1\backslash right)^2\}\backslash right)\; =\; 2.826419...$

*Hằng số Artin :

::$\backslash prod\_\{p\}\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{1\}\{p(p-1)\}\backslash right)\; =\; 0.373955...$

*Hằng số totient của Landau :

::$\backslash prod\_\{p\}\; \backslash left(1\; +\; \backslash frac\{1\}\{p(p-1)\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{315\}\{2\backslash pi^4\}\backslash zeta(3)\; =\; 1.943596...$

*Hằng số Feller–Tornier :

::$\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash prod\_\{p\}\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{2\}\{p^2\}\backslash right)\; =\; 0.661317...$

*Hằng số lớp toàn phương :

::$\backslash prod\_\{p\}\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{1\}\{p^2(p+1)\}\backslash right)\; =\; 0.881513...$

*Hằng số tổng totient :

::$\backslash prod\_\{p\}\; \backslash left(1\; +\; \backslash frac\{1\}\{p^2(p-1)\}\backslash right)\; =\; 1.339784...$

*Hằng số Sarnak :

::$\backslash prod\_\{p>2\}\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{p+2\}\{p^3\}\backslash right)\; =\; 0.723648...$

*Hằng số vô tâm :

::$\backslash prod\_\{p\}\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{2p-1\}\{p^3\}\backslash right)\; =\; 0.428249...$

*Hằng số vô tâm :

::$\backslash prod\_\{p\}\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{1\}\{p(p+1)\}\backslash right)\; =\; 0.704442...$

:và nghịch đảo của nó :

::$\backslash prod\_\{p\}\; \backslash left(1\; +\; \backslash frac\{1\}\{p^2+p-1\}\backslash right)\; =\; 1.419562...$

*Hằng số vô tâm mạnh :

::$\backslash prod\_\{p\}\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{3p-2\}\{p^3\}\backslash right)\; =\; 0.286747...$

*Hằng số vô tâm mạnh :

::$\backslash prod\_\{p\}\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{1\}\{\backslash left(p+1\backslash right)^2\}\backslash right)\; =\; 0.775883...$

*Hằng số Stephens :

::$\backslash prod\_\{p\}\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{p\}\{p^3-1\}\backslash right)\; =\; 0.575959...$

*Hằng số Barban :

::$\backslash prod\_\{p\}\; \backslash left(1\; +\; \backslash frac\{3p^2-1\}\{p(p+1)\backslash left(p^2-1\backslash right)\}\backslash right)\; =\; 2.596536...$

*Hằng số Taniguchi :

::$\backslash prod\_\{p\}\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{3\}\{p^3\}+\backslash frac\{2\}\{p^4\}+\backslash frac\{1\}\{p^5\}-\backslash frac\{1\}\{p^6\}\backslash right)\; =\; 0.678234...$

*Hằng số của Heath-Brown và Moroz :

::$\backslash prod\_\{p\}\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{1\}\{p\}\backslash right)^7\; \backslash left(1\; +\; \backslash frac\{7p+1\}\{p^2\}\backslash right)\; =\; 0.0013176...$