✨Logarit nhị phân

Logarit nhị phân

thumbnail|right|upright=1.35|Đồ thị của dưới dạng là hàm của một số thực dương

Trong toán học, logarit nhị phân () là lũy thừa mà số cần phải được nâng lên để được số , nghĩa là với mọi số thực thì : $x=\log_2 n \quad\Longleftrightarrow\quad 2^x=n.$

Ví dụ, logarit nhị phân của là , logarit nhị phân của là , logarit nhị phân của là và logarit nhị phân của là .

Logarit nhị phân là logarit cơ số 2. Hàm logarit nhị phân là hàm ngược của hàm lũy thừa của 2. Cùng với , logarit nhị phân còn được ký hiệu là , , hoặc .

Trong lịch sử, ứng dụng đầu tiên của logarit nhị phân nằm trong lý thuyết âm nhạc do Leonhard Euler tìm ra: logarit nhị phân của tỉ lệ tần số giữa hai tông nhạc cho biết số quãng tám nằm giữa hai tông đó. Logarit nhị phân có thể được dùng để tính độ dài của một số khi được biểu diễn trong hệ nhị phân, hoặc số bit cần để mã hóa một thông điệp nào đó trong lý thuyết thông tin. Trong khoa học máy tính, nó đếm số bước cần để thực thi thuật toán tìm kiếm nhị phân và các thuật toán có liên quan khác. Logarit nhị phân cũng có nhiều ứng dụng trong một số lĩnh vực như toán học tổ hợp, tin sinh học, nhiếp ảnh và trong thiết kế các giải đấu thể thao.

Logarit nhị phân là một trong các hàm toán học chuẩn của ngôn ngữ C và có trong một số bộ chương trình phần mềm toán học khác. Phần nguyên của logarit nhị phân có thể được tìm qua phép toán tìm bit 1 đầu tiên trên một giá trị nguyên hoặc tìm số mũ của một giá trị dấu phẩy động, trong khi phần thập phân có thể tính được một cách hiệu quả.

Lịch sử

nhỏ|upright=0.75|[[Leonhard Euler là người đầu tiên ứng dụng logarit nhị phân vào lý thuyết âm nhạc năm 1739.]] Lũy thừa của 2 đã được biết đến từ thời cổ xưa; chẳng hạn, chúng xuất hiện trong bộ Cơ sở của Euclid, mệnh đề IX.32 (về phân tích lũy thừa của 2) và IX.36 (một nửa định lý Euclid–Euler về sự xây dựng các số hoàn thiện chẵn), và logarit nhị phân chính là vị trí của chúng trong dãy lũy thừa của 2 được sắp xếp. Trên cơ sở đó, Michael Stifel được cho là đã xuất bản bảng logarit nhị phân đầu tiên vào năm 1544. Cuốn Arithmetica Integra của ông có một vài bảng số gồm các số nguyên và lũy thừa của 2 tương ứng. Khi đảo ngược các hàng trong các bảng số này thì chúng có thể được xem là bảng logarit nhị phân.

Trước Stifel, nhà toán học Kỳ Na thế kỷ 8 Virasena được cho là đã tìm ra tiền thân của logarit nhị phân. Khái niệm ardhachena của Virasena được xác định là số lần một số cho trước có thể chia hết cho 2. Định nghĩa này làm nảy sinh khái niệm về một hàm số cho cùng giá trị với logarit nhị phân đối với lũy thừa của 2, nhưng với các số nguyên khác thì hàm này cho biết cấp 2-adic của số đó thay vì logarit.

Dạng hiện đại của logarit nhị phân, áp dụng cho bất kỳ số nào (không chỉ có lũy thừa của 2) do Leonhard Euler phát hiện vào năm 1739. Euler cũng là người đầu tiên tìm ra ứng dụng của logarit nhị phân trong lý thuyết âm nhạc, từ lâu trước khi người ta được biết ứng dụng của chúng trong lý thuyết thông tin và khoa học máy tính. Trong công trình của mình, Euler đã lập được bảng logarit nhị phân của các số nguyên từ 1 đến 8 chính xác đến 7 chữ số thập phân.

Định nghĩa và tính chất

Hàm logarit nhị phân được định nghĩa là hàm ngược của hàm lũy thừa của 2, vốn là một hàm số tăng trên tập hợp số thực dương và do đó có một hàm ngược duy nhất. Ngoài ra, nó cũng được xác định bằng với là logarit tự nhiên. Trong định nghĩa, khi thay logarit thực bằng logarit phức thì logarit nhị phân có thể được mở rộng cho số phức.

Giống như logarit thông thường, logarit nhị phân thỏa mãn các tính chất sau:

: $\log_2 xy=\log_2 x + \log_2 y$ : $\log_2\frac{x}{y}=\log_2 x - \log_2 y$ : $\log_2 x^y = y\log_2 x.$

Với các tính chất khác, xem danh sách đồng nhất thức logarit.

Ký hiệu

Trong toán học, logarit nhị phân của một số được ký hiệu là . Tuy nhiên, tùy theo lĩnh vực mà nó được sử dụng, còn tồn tại thêm một số ký hiệu khác.

Một số tác giả ký hiệu logarit nhị phân là ; đây là ký hiệu được liệt kê trong The Chicago Manual of Style. Theo Donald Knuth, ký hiệu này do Edward Reingold đề xuất, nhưng thực tế nó đã được dùng trong lý thuyết thông tin và khoa học máy tính từ trước khi Reingold bắt đầu sự nghiệp. Logarit tự nhiên cũng được viết là cùng một câu trước đó giải thích rằng cơ số mặc định của logarit là . Một ký hiệu khác của chính hàm số đó (đặc biệt xuất hiện trong các bài viết khoa học của Đức) là , viết tắt của cụm từ logarithmus dualis hoặc logarithmus dyadis trong tiếng Latinh. Các tiêu chuẩn DIN 1302, ISO 31-11 và ISO 80000-2 còn khuyến nghị dùng một ký hiệu khác nữa, . Theo các tiêu chuẩn này, không nên dùng để ký hiệu logarit nhị phân vì nó được dùng riêng cho logarit thập phân .

Ứng dụng

Lý thuyết thông tin

Số chữ số (bit) trong biểu diễn nhị phân của một số nguyên dương là phần nguyên của hay bằng

Toán học tổ hợp

nhỏ|upright=1.2|Nhánh thi đấu của một giải đấu loại trực tiếp gồm 16 người theo cấu trúc của một [[Cây nhị phân|cây nhị phân hoàn thiện. Chiều cao của cây đó (số vòng của giải đấu) bằng logarit nhị phân của số người tham gia giải (làm tròn đến hàng đơn vị).]] Mặc dù logarit tự nhiên có vai trò quan trọng hơn logarit nhị phân trong nhiều lĩnh vực của toán học thuần túy như lý thuyết số và giải tích toán học, nhưng logarit nhị phân vẫn có một số ứng dụng trong toán học tổ hợp:

Một cây nhị phân gồm lá có chiều cao nhỏ nhất là , đạt được khi là lũy thừa của 2 và cây đó là cây nhị phân hoàn thiện. Liên quan đến nó, số Strahler lớn nhất của một hệ thống sông gồm dòng chảy phụ lưu là .
Hợp của một họ tập hợp bất kỳ gồm tập hợp khác nhau có số phần tử nhỏ nhất là , đạt được khi họ đó là một tập lũy thừa.
Một hình lập phương riêng đỉnh có số chiều đẳng cự nhỏ nhất là và số cạnh lớn nhất là , đạt được khi hình đó là đồ thị hình siêu lập phương.
Theo định lý Ramsey, một đồ thị vô hướng đỉnh có một clique hoặc một tổ hợp độc lập với cấp tỉ lệ thuận với logarit của . Chưa rõ cấp chính xác của nó là bao nhiêu nhưng các khoảng giá trị gần đúng nhất của cấp đó có liên quan đến logarit nhị phân. Đặc biệt, mọi đồ thị đều có một clique hoặc tổ hợp độc lập với cấp nhỏ nhất là và hầu hết mọi đồ thị không có một clique hoặc tổ hợp độc lập với cấp lớn hơn .
Dựa trên một phân tích toán học của mô hình Gilbert–Shannon–Reeds về xáo bài ngẫu nhiên, có thể thấy số lần chẽ bài mà một người cần thực hiện để sau đó một bộ bài lá được phân phối hoán vị ngẫu nhiên gần đều là xấp xỉ lần. Tính toán này là cơ sở để phát biểu rằng tốt nhất một bộ bài 52 lá phải được xáo 7 lần.

Độ phức tạp tính toán

nhỏ|upright=1.2|[[Tìm kiếm nhị phân trên một mảng đã sắp xếp, một thuật toán có độ phức tạp tính toán liên quan đến logarit nhị phân]] Do số học nhị phân được dùng nhiều trong thuật toán nên logarit nhị phân xuất hiện thường xuyên trong phân tích thuật toán theo phân nhánh nhị phân. Tương tự, một cây tìm kiếm nhị phân cân bằng chứa phần tử có chiều cao là .

Thời gian hoạt động của một thuật toán thường được biểu diễn qua ký hiệu O lớn, dùng để rút gọn biểu thức bằng cách bỏ qua hằng số tỉ lệ và hạng tử bậc thấp. Vì logarit cơ số khác nhau chỉ sai khác nhau bởi một hằng số tỉ lệ nên thuật toán hoạt động trong thời gian cũng có thể nói là hoạt động trong thời gian . Do đó, cơ số của logarit trong các biểu thức như hay không quan trọng và có thể bỏ qua. Tuy nhiên, nếu logarit xuất hiện trên số mũ của một khoảng thời gian thì không thể bỏ qua cơ số của logarit đó. Chẳng hạn, không giống với vì khoảng thời gian thứ nhất bằng với trong khi khoảng thời gian thứ hai bằng với .

Một số ví dụ về thuật toán có thời gian hoạt động là hoặc là:

Sắp xếp nhanh (thời gian trung bình) và các thuật toán sắp xếp so sánh khác
Tìm kiếm trong cây tìm kiếm nhị phân cân bằng
Bình phương và nhân
Dãy con tăng dài nhất

Logarit nhị phân cũng xuất hiện trong số mũ của khoảng thời gian để một số thuật toán chia để trị hoạt động, chẳng hạn như thuật toán Karatsuba dùng để nhân các số bit trong thời gian , và thuật toán Strassen dùng để nhân ma trận trong khoảng thời gian . Sự xuất hiện của logarit nhị phân trong các khoảng thời gian đó có thể được giải thích bằng cách liên hệ với định lý thợ cho hệ thức truy hồi chia để trị.

Tin sinh học

nhỏ|upright=1|Một microarray gồm khoảng 8700 gen. Tốc độ biểu hiện của các gen này được so sánh qua logarit nhị phân. Trong tin sinh học, microarray được dùng để đo mức độ biểu hiện gen trong một mẫu nguyên liệu sinh học. Các tốc độ biểu hiện khác nhau của một gen thường được so sánh bằng cách lấy logarit nhị phân của tỉ số giữa chúng: tỉ số log của hai tốc độ biểu hiện gen được định nghĩa là logarit nhị phân của tỉ số giữa chúng. Logarit nhị phân giúp việc so sánh tốc độ biểu hiện gen trở nên thuận lợi: chẳng hạn, tốc độ biểu hiện gen nhân đôi tương ứng với tỉ số log là , tốc độ giảm một nửa tương ứng với tỉ số log là và tốc độ không đổi tương ứng với tỉ số log bằng không.

Các điểm dữ liệu thu được bằng cách này thường được minh họa thành một biểu đồ phân tán có một hoặc cả hai trục đều là logarit nhị phân của tỉ lệ tốc độ, hoặc thông qua các loại biểu đồ như MA và RA để quay và phóng to hoặc thu nhỏ biểu đồ phân tán đó.

Lý thuyết âm nhạc

Trong lý thuyết âm nhạc, quãng giữa hai tông nhạc được xác định bằng tỉ lệ tần số của chúng. Các quãng âm có từ tỉ số số hữu tỉ với tử số và mẫu số nhỏ đều được xem là đặc biệt êm tai, nhịp nhàng. Trong đó, quãng âm đơn giản nhất và quan trọng nhất là quãng tám với tỉ lệ tần số là . Số quãng tám nằm giữa hai tông nhạc là logarit nhị phân của tỉ lệ tần số của chúng.

Để nghiên cứu hệ thống điều chỉnh cao độ và các khía cạnh khác của lý thuyết âm nhạc vốn cần sự phân biệt tinh vi hơn giữa các tông nhạc, cần có một độ đo để đo một quãng nhỏ hơn nhiều so với quãng tám và có tính cộng (giống logarit) thay vì tính nhân (giống tỉ lệ tần số). Theo đó, nếu ba tông , , tạo thành một chuỗi tông nhạc với cao độ tăng dần thì độ đo của quãng từ đến cộng với độ đo của quãng từ đến phải bằng độ đo của quãng từ đến . Một độ đo như thế được cho bằng đơn vị cent, một đơn vị chia quãng tám thành 1200 quãng bằng nhau (12 nửa cung, mỗi cung gồm 100 cent). Cho hai tông nhạc với chu kỳ và , khi đó số cent trong quãng từ đến là

Nhiếp ảnh

Trong nhiếp ảnh, giá trị phơi sáng được đo bằng logarit nhị phân của lượng ánh sáng tới màn ảnh hoặc cảm biến ảnh, phù hợp với luật Weber–Fechner mô tả phản ứng logarit của hệ thống thị giác con người với ánh sáng. Một bước ("khẩu") phơi sáng tương ứng với một đơn vị trong thang đo logarit cơ số 2. Chính xác hơn, giá trị phơi sáng của một bức ảnh bằng

: $\log_2 \frac{N^2}{t}$

trong đó là chỉ số khẩu độ (số f) đo độ mở của ống kính khi phơi sáng và là số giây phơi sáng.

Logarit nhị phân cũng được dùng khi biểu diễn dải tương phản động của vật liệu nhạy sáng hoặc cảm biến kỹ thuật số.

Tính toán

nhỏ|upright=0.75|Máy tính bỏ túi TI SR-50 (1974). Phím ln và log nằm ở hàng phím thứ hai; máy không có phím log₂.

Đổi cơ số

Một cách dễ dàng để tính trên các máy tính không có sẵn hàm là thông qua hàm logarit tự nhiên () hoặc logarit thập phân ( hoặc ), có thể được tìm thấy trong hầu hết máy tính bỏ túi. Theo công thức đổi cơ số thì:

: $\log$ 2 n = \frac{\ln n}{\ln 2} = \frac{\log{10} n}{\log_{10} 2},

hay

: $\log$ 2 n \approx 1,442695\ln n \approx 3,321928\log{10} n.

Làm tròn số nguyên

Logarit nhị phân có thể được làm thành một hàm với đầu vào là số nguyên và trả về số nguyên bằng cách làm tròn nó lên hay xuống. Hai dạng này của logarit nhị phân nguyên được liên hệ bằng công thức:

: $\lfloor \log_2(n) \rfloor = \lceil \log_2(n + 1) \rceil - 1 \text{ nếu }n \ge 1.$

Có thể mở rộng định nghĩa này bằng cách quy ước $\lfloor \log_2(0) \rfloor = -1$ . Khi đó, hàm này có liên hệ với số bit 0 đứng trước trong biểu diễn nhị phân không dấu 32 bit của , : và trong một số phiên bản của thư viện phần mềm libc cũng tính được logarit nhị phân (làm tròn thành số nguyên cộng 1).

Tính gần đúng bằng phép lặp

Với một số thực dương bất kỳ, logarit nhị phân có thể được chia thành hai phần để tính. Trước tiên, ta tính phần nguyên $\lfloor\log_2 x\rfloor$ để đưa về thành bài toán mà trong đó đối số của logarit nằm trong nửa khoảng [1, 2), từ đó rút gọn bước thứ hai là tính phần thập phân của logarit. Với , tồn tại duy nhất một số nguyên sao cho hay . Từ lập luận này, ta suy ra được phần nguyên của logarit là và phần thập phân là . còn đối với số nguyên thì nó được xác định bằng cách thực hiện phép toán đếm số bit 0 đứng trước.

Phần thập phân của kết quả thu được là và có thể được tính chỉ bằng phép lặp cùng các phép nhân và phép chia cơ bản. Trong MATLAB, đối số của hàm log2 có thể là số âm, và trong trường hợp này thì đầu ra của hàm là một số phức.

👁️ 0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Logarit nhị phân

thumbnail|right|upright=1.35|Đồ thị của dưới dạng là hàm của một số thực dương Trong toán học, **logarit nhị phân** () là lũy thừa mà số cần phải được nâng lên để được số , nghĩa là

💫 Logarit

💫 Tìm kiếm nhị phân

Trong khoa học máy tính, **tìm kiếm nhị phân** (), còn gọi là **tìm kiếm nửa khoảng** (_half-interval search_), **tìm kiếm logarit** (_logarithmic search_), hay **chặt nhị phân** (_binary chop_), là một thuật toán tìm

💫 Logarit tự nhiên của 2

Giá trị thập phân của logarit tự nhiên của 2 xấp xỉ bằng :

\ln 2 \approx 0.693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458.

Logarit cơ số khác của 2 được tính bằng công thức :

\log_b 2 = \frac{\ln 2}{\ln

💫 Logarit thông thường

right|thumb|alt=Đồ thị cho thấy log cơ số 10 của x tiến nhanh về âm vô vùng khi x đạt 0, nhưng dần dần tăng đến giá trị 2 khi x đạt giá trị 100|Một đồ

💫 Phân tích thuật toán

nhỏ| Để tìm kiếm một mục đã cho trong một danh sách theo thứ tự nhất định, có thể sử dụng cả thuật toán [[Tìm kiếm tuần tự|tìm kiếm nhị phân và tuyến tính (bỏ

💫 Lôgarit rời rạc

**Lôgarit rời rạc** là sự tiếp nối của phép tính lôgarit trên trường số thực vào các nhóm hữu hạn. Ta nhắc lại rằng với hai số thực x, y và cơ số _a_>0, _a_≠1,nếu

💫 Lịch sử phần cứng máy tính

[[Phần cứng|Phần cứng máy tính là nền tảng cho xử lý thông tin (sơ đồ khối). ]] **Lịch sử phần cứng máy tính** bao quát lịch sử của phần cứng máy tính, kiến trúc của

💫 Hệ thập phân

**Hệ thập phân** (**hệ đếm cơ số 10**) là hệ đếm dùng số 10 làm cơ số. Đây là hệ đếm được sử dụng rộng rãi nhất trong các nền văn minh thời hiện đại.

💫 Phân số đơn vị

nhỏ|Chiếc bánh pizza được cắt nhỏ; mỗi miếng bánh là

\frac1{8}

chiếc bánh. **Phân số đơn vị** là phân số dương có tử số bằng 1, tức có dạng

\frac1{n}

với

n

là

💫 Treap

Trong khoa học máy tính, **treap** và **cây tìm kiếm nhị phân ngẫu nhiên hóa** là hai dạng cấu trúc dữ liệu cây tìm kiếm nhị phân liên quan chặt chẽ đến nhau. Chúng lưu

💫 Phân phối Poisson

Trong lý thuyết xác suất và thống kê, **Phân phối Poisson** (Tiếng Anh: _Poisson distribution_) là một phân phối xác suất rời rạc cho biết xác suất xảy ra một số lượng sự kiện trong

💫 Thành phần liên thông

Một đồ thị với ba thành phần liên thông. Trong lý thuyết đồ thị, một **thành phần liên thông** của một đồ thị vô hướng là một đồ thị con trong đó giữa bất kì

💫 Phân phối chuẩn

\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!| cdf =

\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!

| mean =

\mu

| median =

\mu

| mode =

\mu

| variance =

\sigma^2

| skewness = 0| kurtosis =

0

| entropy =

\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!

| mgf =

M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)

| char =

\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)

| **Phân phối

💫 Bát độ (điện tử)

Trong điện tử, một **bát độ** (ký hiệu oct) là một đơn vị logarit cho các tỷ số giữa các tần số, với một bát độ tương ứng với tần số nhân đôi. Ví dụ:

💫 Danh sách thuật toán

Bài viết này là **danh sách các thuật toán** cùng một mô tả ngắn cho mỗi thuật toán. ## Thuật toán tổ hợp ### Thuật toán tổ hợp tổng quát * Thuật toán Brent: tìm

💫 Thuật toán lượng tử

Trong tính toán lượng tử, **thuật toán lượng tử** là một thuật toán chạy bằng mô hình thực tế của tính toán lượng tử, mô hình được sử dụng phổ biến nhất là mô hình

💫 Danh sách chủ đề toán học

Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *

💫 Lịch sử toán học

_Cuốn [[The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing_]] Từ _toán học_ có nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể

💫 Lý thuyết độ phức tạp tính toán

**Lý thuyết độ phức tạp tính toán** (tiếng Anh: _computational complexity theory_) là một nhánh của lý thuyết tính toán trong lý thuyết khoa học máy tính và toán học tập trung vào phân loại

💫 Quaternion

thumb|[[đồ thị Cayley|Đồ thị Cayley Q8 cho thấy sáu chu trình nhân bởi , và . (Nếu ảnh được mở trong Wikimedia Commons bằng cách nhấn đúp vào nó thì các chu trình có thể

💫 Số vô tỉ

nhỏ|240x240px| Hằng số toán học [[Pi| là một số vô tỉ được thể hiện nhiều trong văn hóa đại chúng. ]] phải|nhỏ|240x240px| Số [[Căn bậc hai của 2| là số vô tỉ ]] Trong toán

💫 Lý thuyết ứng đáp câu hỏi

**Lý thuyết Ứng đáp Câu hỏi** (Item Response Theory - IRT) là một lý thuyết của khoa học về đo lường trong giáo dục, ra đời từ nửa sau của thế kỷ 20 và phát

💫 Bậc độ lớn (số)

[[Tập tin:Logarithmic scale.svg|thumb|upright=1.5|right| Thang đo lôgarit có thể biểu hiện được quan hệ về số lượng giữa nhiều số khác nhau.]] Đây là danh sách các số dương lớn theo bậc từ thấp đến cao

💫 Danh sách số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo

thế=Thanh màu Cuisenaire cho thấy các ước số của 6 (1, 2 và 3) cộng lại bằng 6|nhỏ|Cách hình dung số 6 là số hoàn hảo thế=Biểu đồ hai xu hướng với trục hành biểu

💫 Gigabyte

**Gigabyte** (từ tiền tố _giga-_ của SI) là đơn vị thông tin hoặc khả năng lưu giữ thông tin của bộ nhớ máy tính, bằng một tỷ byte hoặc 2³⁰ byte (1024 mebibyte). Gigabyte thường

💫 Máy tính bỏ túi

nhỏ|Máy tính bỏ túi hiện đại với màn hình LCD ma trận điểm (dot-matrix).nhỏ|Một chiếc máy tính cơ bản điển hình, hiển thị các số dạng 7 đoạn thẳng. **Máy tính bỏ túi** (còn được

💫 Trường (đại số)

thumb|[[Hình thất giác đều không thể dựng được thước kẻ và compa; Điều này có thể chứng minh sử dụng trường của số dựng được.]] Trong toán học, một **trường** là một tập hợp mà

💫 B-cây

Trong khoa học máy tính, **B-cây** là một cấu trúc dữ liệu dạng cây cho phép tìm kiếm, truy cập tuần tự, chèn, xóa trong thời gian lôgarit. B-cây là một tổng quát hóa của

💫 Isaac Newton

**Sir Isaac Newton** (25 tháng 12 năm 1642 – 20 tháng 3 năm 1726 (lịch cũ)) là một nhà toán học, nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà thần học, và tác giả (ở thời

💫 Pascal (ngôn ngữ lập trình)

**Pascal** là một ngôn ngữ lập trình cho máy tính thuộc dạng mệnh lệnh và thủ tục, được Niklaus Wirth phát triển vào năm 1970. Pascal là ngôn ngữ lập trình đặc biệt thích hợp

💫 Lý thuyết thông tin

**Lý thuyết thông tin** là một nhánh của toán học ứng dụng và kĩ thuật điện nghiên cứu về đo đạc lượng thông tin. Lý thuyết thông tin được xây dựng bởi Claude E. Shannon

💫 Máy Boltzmann hạn chế

nhỏ|Sơ đồ của một máy Boltzmann hạn chế với ba đơn vị nhìn thấy và bốn đơn vị ẩn (không có đơn vị thiên vị) **Máy Boltzmann hạn chế** (**restricted Boltzmann machine**, hoặc **RBM**) là

💫 Số thực

right|thumb|Kí hiệu tập hợp **số thực** (ℝ) Trong toán học, một **số thực** là một giá trị của một đại lượng liên tục có thể biểu thị một khoảng cách dọc theo một đường thẳng

💫 Số

nhỏ| [[Tập hợp con (toán học)|Các tập con của số phức. ]] **Số** là một đối tượng toán học được sử dụng để đếm, đo lường và đặt danh nghĩa. Các ví dụ ban đầu

💫 Pi

Số **pi** (ký hiệu: ****), còn gọi là **hằng số Archimedes**, là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số giữa chu vi của một đường tròn với đường kính của đường

💫 Thuật toán Shor

**Thuật toán Shor** là một thuật toán lượng tử giúp phân tích nhân tử một số nguyên ở dạng _N_ = _p_._q_, với _p_ và _q_ là các số nguyên tố, tức là tìm ra

💫 Số nguyên tố Sophie Germain

Trong lý thuyết số, số nguyên tố

p

được gọi là **số nguyên tố Sophie Germain** nếu

2\cdot p + 1

cũng là số nguyên tố. Số

2\cdot p + 1

của số nguyên tố

💫 John Vincent Atanasoff

**John Vincent Atanasoff**, OCM, (4 tháng 10 năm 1903 - 15 tháng 6 năm 1995) là một nhà vật lý và nhà phát minh người Mỹ, nổi tiếng với việc phát minh ra máy tính

💫 E (số)

nhỏ|254x254px|Đồ thị của hàm số . là số duy nhất lớn hơn 1 sao cho diện tích phần được tô màu bằng 1. Số **** là một hằng số toán học có giá trị gần

💫 Chuỗi Taylor

phải|Hình vẽ miêu tả [[hàm số sin(_x_) và các xấp xỉ Taylor của nó, tức là các đa thức Taylor bậc 1, 3, 5, 7, 9, 11 và

💫 Tâm lý học

**Tâm lý học** () là ngành khoa học nghiên cứu về tâm trí và hành vi, tìm hiểu về các hiện tượng ý thức và vô thức, cũng như cảm xúc và tư duy. Đây

💫 Hệ tọa độ

phải|nhỏ|300x300px|Hệ [[Hệ tọa độ cầu|tọa độ cầu được sử dụng phổ biến trong _vật lý_ . Nó gán ba số (được gọi là tọa độ) cho mọi điểm trong không gian Euclide: khoảng cách xuyên

💫 Ngân Hà

**Ngân Hà**, **Sông Ngân** là một thiên hà chứa Hệ Mặt Trời của chúng ta. Nó xuất hiện trên bầu trời như một dải sáng mờ kéo dài từ chòm sao Tiên Hậu (Cassiopeia) ở

💫 Đại số

**Đại số** là một nhánh của toán học nghiên cứu những hệ thống trừu tượng nhất định gọi là cấu trúc đại số và sự biến đổi biểu thức trong các hệ thống này. Đây

💫 Số nguyên tố Mersenne

**Số nguyên tố Mersenne** là một số nguyên tố có giá trị bằng 2ⁿ − 1. Ví dụ 31 là số nguyên tố Mersenne vì 31 = 2⁵ − 1 (31 và 5 đều là