✨Số nguyên tố Mersenne

Số nguyên tố Mersenne là một số nguyên tố có giá trị bằng 2ⁿ − 1. Ví dụ 31 là số nguyên tố Mersenne vì 31 = 2⁵ − 1 (31 và 5 đều là số nguyên tố). Số nguyên tố Mersenne đặt theo tên Nhà toán học Marin Mersenne.

Điều kiện cần để số M_n nguyên tố là n là số nguyên tố, 2⁴ -1 = 15 là hợp số vì 4 không là nguyên tố, nhưng suy đoán ngược lại không đúng: ví dụ số Mersenne 2047 = 2¹¹ − 1 không là nguyên tố vì nó chia hết cho 89 và 23, mặc dù số 11 là số nguyên tố.

Hiện nay, các số nguyên tố lớn nhất được tìm thấy thường là số nguyên tố Mersenne.

Các số nguyên tố Mersenne có quan hệ chặt chẽ với các số hoàn thiện, nghĩa là các số bằng tổng các ước chân chính của nó. Trong lịch sử, việc nghiên cứu các số nguyên tố Mersenne đã từng bị thay đổi do các liên quan này; vào thế kỷ IV TCN, Euclid phát biểu rằng nếu M là số nguyên tố Mersenne thì M(M+1)/2 là số hoàn thiện. Vào thế kỷ XVIII, Leonhard Euler chứng minh rằng tất cả các số hoàn thiện chẵn đều có dạng này. Không một số hoàn thiện lẻ nào được biết, và người ta nghi ngờ rằng chúng không tồn tại.

Tìm các số nguyên tố Mersenne

Đẳng thức sau

:$2^\{ab\}-1=(2^a-1)\backslash cdot\; \backslash left(1+2^a+2^\{2a\}+2^\{3a\}+\backslash dots+2^\{(b-1)a\}\backslash right)$

cho biết rằng M_n có thể là số nguyên tố chỉ nếu chính n là số nguyên tố, điều đó làm giản lược bớt việc tìm các số nguyên tố Mersenne. Mệnh đề đảo, nói rằng M_n là số nguyên tố nếu n là số nguyên tố là sai. Số nhỏ nhất cho ví dụ này là 2¹¹-1 = 23×89, là hợp số.

Đã có một số thuật toán tối ưu hóa để tìm số nguyên tố Mersenne, do đó hiện nay người ta đã biết các số nguyên tố Mersenne rất lớn.

Bốn số nguyên tố Mersenne đầu tiên $M\_2=3$, $M\_3=7$, $M\_5=31$ và $M$7=127 đã được biết từ cổ xưa. Số thứ năm, $M${13}=8191, được tìm thấy vào trước năm 1461; hai số tiếp theo ($M${17} và $M${19}) tìm thấy bởi Cataldi vào năm 1588, đồng thời ông còn dự đoán cho các số mũ 23 (đã bị Fermat bác bỏ), 29 (đã bị Fermat bác bỏ), 37(đã bị Euler bác bỏ). Sau hơn một thế kỷ $M${31} được kiểm tra bởi Euler vào năm 1750 bằng Lý thuyết chỉ số. Số tiếp theo (trong lịch sử, không theo thứ tự số) là $M${127}, do Lucas tìm thấy vào năm 1876, sau đó $M${61} do Pervushin tìm vào năm 1883. Hai số nữa ($M${89} và $M\_\{107\}$) được tìm thấy vào thế kỷ XX, bởi Powers vào năm 1911 và 1914.

Từ thế kỷ XVII, các số này được mang tên nhà toán học Pháp Marin Mersenne, người đã chứng minh và dự đoán một loạt các số nguyên tố Mersenne với các số mũ: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 31, 67, 127, 257. Danh sách của ông đã mắc một số sai lầm, như bao gồm cả M₆₇ (được Kohler chứng minh là hợp số vào năm 1901, cụ thể: $2^\{67\}\; -\; 1\; =\; 193.707.721\; \backslash times\; 761.838.257.287$), M₂₅₇ (được chứng minh là hợp số vào năm 1952), và bị bỏ quên M₆₁, M₈₉ và M₁₀₇.

Phương pháp tốt nhất để kiểm tra tính nguyên tố của các số Mersenne được dựa vào sự tính toán một dãy tuần hoàn, được phát biểu đầu tiên bởi Lucas năm 1878 và chứng minh bởi Lehmer vào những năm 1930. Hiện nay nó được gọi là kiểm tra Lucas-Lehmer với số Mersenne. Đặc biệt, ta có thể chứng minh rằng (với $n>2$) $M\_n=2^n-1$ là số nguyên tố nếu và chỉ nếu M_n chia hết cho S_n-2, trong đó $S\_0=4$ và với $k>0$, $S$k=S{k-1}^2-2.

Đồ thị biểu diễn số các chữ số của số nguyên tố Mersenne lớn nhất đã biết theo từng năm của kỷ nguyên điện tử. Chú ý rằng trục tung độ đã được [[logarit hóa.]]

Việc tìm các số nguyên tố Mersenne thực sự được cách mạng bởi các máy tính điện tử số. Thành công đầu tiên của tư tưởng này thuộc về số nguyên tố Mersenne, M₅₂₁, nhờ nỗ lực khéo léo vào lúc 10:00 P.M. ngày 30-1, 1952 khi sử dụng máy tính tự động Western U.S. National Bureau of Standards (SWAC) tại Institute for Numerical Analysis thuộc Đại học California tại Los Angeles, dưới sự điều khiển trực tiếp của Lehmer, sử dụng chương trình viết và chạy bởi GS R.M. Robinson. Nó là số nguyên tố Mersenne đầu tiên tìm thấy sau 38 năm; số tiếp theo, M₆₀₇, đã được tìm thấy do computer này sau gần hai giờ chạy máy. Ba số tiếp theo  — M₁₂₇₉, M₂₂₀₃, M₂₂₈₁ — đã được tìm thấy với cùng chương trình trên sau nhiều tháng nữa. M₄₂₅₃ là số nguyên tố Mersenne đầu tiên là số nguyên tố siêu lớn (trên 1000 chữ số thập phân - titanic), và M₄₄₄₉₇ là số nguyên tố đầu tiên có trên 10.000 chữ số thập phân (gigantic).

Đến tháng 10 năm 2024, chỉ mới biết 52 số nguyên tố Mersenne; số lớn nhất đã biết là số (2^{136 279 841} − 1). Cũng như nhiều số nguyên tố Mersenne trước đó, nó được tìm ra nhờ dự án tính toán phân tán trên Internet, được biết với tên gọi Tìm kiếm số nguyên tố Mersenne khổng lồ trên Internet (Great Internet Mersenne Prime Search - GIMPS).

Các định lý về số nguyên tố Mersenne

• Nếu n là số nguyên dương, theo định lý nhị thức ta có thể viết:

:$c^n-d^n=(c-d)\backslash sum\_\{k=0\}^\{n-1\}\; c^kd^\{n-1-k\}$,

hay

:$(2^a-1)\backslash cdot\; \backslash left(1+2^a+2^\{2a\}+2^\{3a\}+\backslash dots+2^\{(b-1)a\}\backslash right)=2^\{ab\}-1$

nhờ đặt $c=2^a$, $d=1$, và $n=b$

Chứng minh:

:$(a-b)\backslash sum\_\{k=0\}^\{n-1\}a^kb^\{n-1-k\}$

:$=\backslash sum${k=0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-1-k}-\sum{k=0}^{n-1}a^kb^{n-k}

:$=a^n+\backslash sum${k=1}^{n-1}a^kb^{n-k}-\sum{k=1}^{n-1}a^kb^{n-k}-b^n

:$=a^n-b^n$

• Nếu $2^n-1$ là số nguyên tố, thì $n$ là số nguyên tố.

Chứng minh

Do

:$(2^a-1)\backslash cdot\; \backslash left(1+2^a+2^\{2a\}+2^\{3a\}+\backslash dots+2^\{(b-1)a\}\backslash right)=2^\{ab\}-1$

Nếu $n$ không phải là nguyên tố, hoặc $n=ab$ trong đó . Do đó, $2^a-1$ là ước của $2^n-1$, hoặc $2^n-1$ không là nguyên tố.

• Với mọi số nguyên tố p lẻ, ước nguyên tố của M_p luôn có dạng $2kp\; +\; 1\; \backslash equiv\; \backslash pm\; 1\; \backslash pmod\{8\}$.

Chứng minh

Gọi q là ước nguyên tố của 2^p - 1 ta có: :$2^p\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\{q\}$.

Theo định lý nhỏ Fermat ta có: :$2^\{q-1\}\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\{q\}$.

Từ đó ta có q là ước chung của 2^p - 1 và 2^{q - 1} - 1, hay là $\backslash gcd\; (2^p\; -\; 1,2^\{q\; -\; 1\}\; -\; 1)\; >\; 1$(*).

Ta xét bổ đề sau: Nếu a và b là hai số nguyên dương phân biệt thì $\backslash gcd\; (2^a\; -\; 1,2^b\; -\; 1)\; =\; 2^\{\backslash gcd\; (a,b)\}\; -\; 1$.

Thật vậy, giả sử $\backslash gcd\; (a,b)\; =\; d$, suy ra a = k₁d và b = k₂d.

Suy ra: :$2^a\; -\; 1\; =\; 2^\{k\_1d\}\; -\; 1\; =\; \backslash left\; (2^d\; -\; 1\; \backslash right)\; \backslash times\; A$ :$2^b\; -\; 1\; =\; 2^\{k\_2d\}\; -\; 1\; =\; \backslash left\; (2^d\; -\; 1\; \backslash right)\; \backslash times\; B$

Tức là bổ đề ta đã đặt ra là đúng.

Từ bổ đề suy ra: $\backslash gcd\; (2^p\; -\; 1,2^\{q\; -\; 1\}\; -\; 1)\; =\; 2^\{\backslash gcd\; (p,q\; -\; 1)\}\; -\; 1$.

Giả sử $\backslash gcd\; (p,q\; -\; 1)\; =\; 1$ thì suy ra được $\backslash gcd\; (2^p\; -\; 1,2^\{q\; -\; 1\}\; -\; 1)\; =\; 1$, mâu thuẫn với (*). Do đó ta phải có $\backslash gcd\; (p,q\; -\; 1)\; >\; 1$. Do p là số nguyên tố nên $\backslash gcd\; (p,q\; -\; 1)\; =\; p$ hay q - 1 = bp.

Do q là ước của M_p lẻ nên q lẻ, suy ra b = 2k hay q = 2kp + 1.

Do 2^p ≡ 1 (mod q) nên 2^{p + 1} ≡ 2 (mod q), suy ra $2^\{\backslash frac\; \{p\; +\; 1\}\{2$ là căn bậc hai của 2 theo modulo (môđun) q, tức nó là nghiệm của: :$x^2\; \backslash equiv\; 2\; \backslash pmod\{q\}$.

Theo luật tương hỗ bậc hai: :$q\; \backslash equiv\; \backslash pm\; 1\; \backslash pmod\{8\}$.

Danh sách các số nguyên tố Mersenne đã biết cho đến nay

có 51 số nguyên tố Mersenne 2^p − 1 tương ứng với số mũ p dưới đây: :2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933.

• Để hình dung độ lớn của số nguyên tố lớn nhất được tìm thấy (số thứ 48), ta cần có 4 647 trang giấy A4 để biểu diễn số đó với các chữ số trong hệ cơ số 10, 75 chữ số một dòng và 50 dòng một trang. Nếu dùng giấy định lượng 70g/m², sẽ cần hơn 10 kg giấy (2.324 tờ) để in thành tập dày khoảng 20 cm.
• Lấy 2 lũy thừa n trừ 1 nhân với số tương ứng thì sẽ cho ra số hoàn hảo.