Trong toán học, dãy Lucas và là các dãy số nguyên đệ quy không đổi thỏa mãn hệ thức truy hồi
:
với và là các số nguyên cho trước. Bất kỳ dãy số nào thỏa mãn hệ thức truy hồi này có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính các dãy Lucas và .
Nói chung, dãy Lucas và biểu diễn dãy đa thức hệ số nguyên với biến và .
Các ví dụ nổi tiếng về dãy Lucas gồm dãy Fibonacci, số nguyên tố Mersenne, số Pell, số Lucas, số Jacobsthal và tập siêu số Fermat. Các dãy Lucas được đặt theo tên nhà toán học Pháp Édouard Lucas.
Hệ thức truy hồi
Cho hai tham số nguyên P và Q, dãy Lucas thứ nhất Un(P,Q) và thứ hai Vn(P,Q) được xác định bằng hệ thức truy hồi :
:
và
:
V_0(P,Q)&=2, \
V_1(P,Q)&=P, \
Vn(P,Q)&=P\cdot V{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q) \mbox{ for }n>1.
\end{align}
Dễ thấy với thì
:
Hệ thức trên có thể biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:
:
:
:
Ví dụ
Các phần tử ban đầu của dãy Lucas Un(P,Q) và Vn(P,Q) được cho trong bảng:
:
Biểu thức tường minh
Phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi cho dãy Lucas và là:
:
Biệt thức delta với:
:
thì:
:
:
:
Lưu ý rằng dãy và dãy cũng thỏa mãn hệ thức truy hồi nhưng không phải dãy số nguyên.
Nghiệm phân biệt
Khi , a và b khác nhau thì có thể xác định:
Theo đó, dãy Lucas có thể được biểu diễn qua a và b như sau
:
:
Nghiệm trùng nhau
Trường hợp khi và chỉ khi với là số nguyên. Khi đó
:
: .
Tính chất
Hàm sinh
Hàm sinh thông thường là
:
:
Phương trình Pell
Khi , các dãy Lucas và sẽ thỏa mãn phương trình Pell:
:
:
:
Quan hệ các dãy với tham số khác nhau
- Với c là số bất kỳ, các dãy và với
::
::
: có biệt thức như và :
::
::
::
Quan hệ khác
Các phần tử của dãy Lucas thỏa mãn quan hệ tổng quát giữa dãy Fibonacci và số Lucas . Ví dụ:
:
Tính chia hết
là bội số của
, như vậy
là dãy chia hết. Cụ thể
chỉ có thể là số nguyên tố khi _n_ là số nguyên tố. Hệ quả khác là thuật toán bình phương và nhân để tính nhanh
khi _n_ có giá trị lớn. Hơn nữa, nếu
thì
là dãy số chia hết mạnh.
Các tính chia hết khác:
- Nếu n / m lẻ thì chia hết cho .
- Gọi N là một số nguyên tố nhỏ hơn 2Q. Nếu tồn tại số nguyên dương r nhỏ nhất để N chia hết cho , thì đó tập hợp n thỏa mãn N chia hết cho chính là tập hợp các bội số của r.
- Nếu P và Q chẵn thì luôn chẵn, ngoại trừ
- Nếu P chẵn và Q lẻ thì cùng tính chẵn lẻ với n và luôn chẵn.
- Nếu P lẻ và Q chẵn thì luôn lẻ với .
- Nếu P và Q đều lẻ thì chẵn khi và chỉ khi n là bội của 3.
- Nếu p là một số nguyên tố lẻ thì (xem ký hiệu Legendre ).
- Nếu p là số nguyên tố lẻ và chia P và Q thì p chia hết Cho mọi .
- Nếu p là số nguyên tố lẻ và chia P mà không chia cho Q thì p chia nếu và chỉ khi n chẵn.
- Nếu p là một số nguyên tố lẻ và không chia P mà chia cho Q thì p không bao giờ chia vì .
- Nếu p là số nguyên tố lẻ và không chia PQ mà chia D, thì p chia nếu và chỉ khi p chia cho n .
- Nếu p là số nguyên tố lẻ và không chia PQD thì p chia hết , với .
Mệnh đề cuối cùng khái quát Định lý nhỏ Fermat. Những tính chất này được dùng trong Kiểm tra tính nguyên tố Lucas-Lehmer. Mệnh đề đảo của mệnh đề cuối không đúng, vì đình lý đảo của định lý nhỏ Fermat cũng không đúng. Tồn tại hợp số n nguyên tố cùng nhau với D và chia hết , với . Hợp số này được gọi là số giả nguyên tố Lucas.
Thừa số nguyên tố của một phần tử trong dãy Lucas mà không chia hết bất kỳ phần tử nào trước đó trong dãy được gọi là primitive. Định lý Carmichael phát biểu rằng tất cả ngoại trừ rất nhiều số hạng trong dãy Lucas đều có thừa số nguyên tố. Thật vậy, Carmichael (1913) đã chỉ ra rằng nếu D dương và n khác 1, 2 hoặc 6 thì có một thừa số nguyên tố primitive. Trong trường hợp D âm, Bilu, Hanrot, Voutier và Mignotte cho kết quả rằng nếu n > 30, thì có một thừa số nguyên tố primitive và xác định tất cả các trường hợp không có thừa số nguyên tố primitive.
Một số trường hợp cụ thể
Dãy Lucas cho một số giá trị cụ thể của P và Q:
: : Dãy Fibonacci
: : Số Lucas
: : Số Pell
: : Số Pell–Lucas
: : Số Jacobsthal
: : Số Jacobsthal–Lucas
: : Số nguyên tố Mersenne 2n − 1
: : Những số có dạng 2n + 1 bao gồm cả số Fermat
- LUC là hệ thống mật mã khóa công khai dựa trên dãy Lucas thực hiện hệ analog ElGamal (LUCELG), Diffie – Hellman (LUCDIF) và RSA (LUCRSA). Việc mã hóa thông điệp trong LUC được tính như một phần tử của dãy Lucas nhất định, thay vì lũy thừa mô-đun như trong RSA hoặc Diffie – Hellman. Tuy nhiên, bài viết của Bleichenbacher và cộng sự cho thấy nhiều lợi thế bảo mật của LUC là không chính xác hoặc không đáng kể khi so sánh với các hệ thống dựa trên lũy thừa mô đun.
👁️
0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
Trong toán học, **dãy Lucas** và là các dãy số nguyên đệ quy không đổi thỏa mãn hệ thức truy hồi :
**Số Lucas** là một dãy số được đặt tên nhằm vinh danh nhà toán học François Édouard Anatole Lucas (1842–1891), người đã nghiên cứu dãy số Fibonacci, dãy số Lucas và các dãy tương tự.
**Dãy Fibonacci** là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử 0 hoặc 1 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc _mỗi phần tử
**Mary Lucas, Nam tước Lucas thứ 1 xứ Crudwell** (tiếng Anh: _Mary Lucas, 1st Baroness Lucas of Crudwell_; Thế kỷ 17 – 1 tháng 11 năm 1702), cũng gọi là **Mary Grey, Bá tước phu
**Lucas Pérez Martínez** (sinh ngày 10 tháng 9 năm 1988) là một cầu thủ bóng đá người Tây Ban Nha hiện đang chơi ở vị trí tiền đạo cho câu lạc bộ Alavés. ## Sự
Với nguồn nguyên liêu chính là đu đủ tươi, cộng thêm chứng nhận sản phẩm đạt tiêu chuẩn do hiệp hội dược Châu Âu cấp. Kem Lucas Papaw Ointment được rất nhiều phụ nữ Úc
**George Walton Lucas Jr.** (sinh ngày 14 tháng 5 năm 1944) là một nam nhà làm phim người Mỹ. Ông được biết đến nhiều nhất với vai trò tác giả của loạt phim khoa học
Kem đa năng lucas’ papaw ointment: Kem đa năng lucas’ papaw ointment đã được sản xuất cách đây 100 năm, tuy nhiên công thức sản xuất sản phẩm này gần như vẫn được giữ nguyên
#Hàng_Chính_Hãng_AUSKem Dưỡng Da Đa Năng Lucas' Papaw Ointment 25gKem Dưỡng Da Đa Năng Lucas' Papaw Ointment còn có khả năng cung cấp các hợp chất để hỗ trợ các chị em dưỡng ẩm hiệu quả.
[Chính hãng] Kem đa năng ( kem đu đủ) Lucas 25g Úc ship AIR- 1988HomeKem dưỡng da đa năng Lucas Papaw Ointment 25g- Gel dưỡng da đa năng Lucas' Papaw Ointment giúp bạn khôi phục
**Lucas Entertainment** là xưởng sản xuất phim khiêu dâm đồng tính nam có trụ sở tại New York do diễn viên khiêu dâm Micheal Lucas thành lập. Đây là một trong những trường quay lớn
Kem đa năng Lucas Papaw Ointment có gì đặc biệt mà 80% người Úc tin dùng?SẢN PHẨM NỔI TIẾNG VÀ BÁN CHẠY SỐ 1 TẠI ÚC .KEM LUCAS ÚC SIÊU THẦN THÁNH ! Giá chỉ
THUỘC TÍNH SẢN PHẨMNhãn hiệu:Khác.Xuất xứ:Úc.Loại da:Mọi loại da.Hạn sử dụng: 2023.Ngày sản xuất:.Dung tích: 40g.CHI TIẾT SẢN PHẨMKem đa năng Lucas' Papaw OintmentThông tin sản phẩm:Kem đa năng Lucas' Papaw Ointmentlà một loại kem
MÔ TẢ SẢN PHẨMKem đa năng LUCAS PAPAW OINMENT 15g.Kem đa năng – Lucas Papaw Ointment với thành phần hoàn toàn từ tự nhiên (quả đu đủ lên men), Lucas papaw có tính kháng khuẩn
MÔ TẢ SẢN PHẨM- Saffron – Nhụy hoa nghệ tây được coi là một trong những loại gia vị đắt đỏ trên thế giới, đây cũng xem như là thần dược cao cấp cho làn
Kem Dưỡng Đa Năng Lucas’ Papaw Ointment thực sự là một tuýp kem “nhỏ mà có võ” đó nhen, với thành phần chiết xuất từ trái đu đủ tươi được tuyển chọn kỹ và lên
**Lucas Rodrigues Moura da Silva** (sinh ngày 13 tháng 8 năm 1992), thường được gọi với tên **Lucas**, là một cầu thủ bóng đá người Brazil hiện đang chơi như một tiền vệ tấn công
MÔ TẢ SẢN PHẨMĐiều gì chứa đựng trong tuýp kem màu đỏ Lucas Papaw Ointment-----Thành phần chính:- GlycerinCông dụng:- Có thể dùng Lucas như một loại kem dưỡng môi, giúp môi trở nên mềm, mọng.-
**Robert Emerson Lucas, Jr.** (15 tháng 9 năm 1937 – 15 tháng 5 năm 2023) là một nhà kinh tế người Mỹ tại Đại học Chicago. Ông nhận giải Nobel Kinh tế năm 1995 và
KEM ĐU ĐỦ ĐA NĂNG LUCA'S PAPAW OINTMENT 25GCAM KẾT HÀNG CHUẨN CHÍNH HÃNG 100%1. THÀNH PHẦN :- Lucas papaw ointment được sản xuất trên dây chuyền công nghệ cao, sử dụng những thành phần
KEM ĐU ĐỦ ĐA NĂNG LUCA'S PAPAW OINTMENT 25GCAM KẾT HÀNG CHUẨN CHÍNH HÃNG 100%1. THÀNH PHẦN :- Lucas papaw ointment được sản xuất trên dây chuyền công nghệ cao, sử dụng những thành phần
Kem Dưỡng Đa Năng Chiết Xuất Đu Đủ Lucas' Papaw Ointment 25g ÚCThương Hiệu: Lucas' Papaw RemediesXuất xứ: ÚcBarcode: 9316199000037Kem dưỡng da đa năng Lucas' Papaw Ointment 25g - nhập khẩu từ Úc được chiết
**Lucas Till** (sinh ngày 10 tháng 8 năm 1990) là một diễn viên người Mỹ. Lucas bắt đầu đóng phim từ năm 2000, được biết đến chủ yếu qua series truyền hình "House", bộ phim
THUỘC TÍNH SẢN PHẨMHạn sử dụng:2022Xuất xứ:ÚCNgày sản xuất:CHI TIẾT SẢN PHẨMKem Đa Năng Lucas' Papaw OintmentCó tác dụng dịu nhẹ và an toàn nên có thể sử dụng cho trẻ nhỏThành phẩm Kem Đa
THUỘC TÍNH SẢN PHẨMHạn sử dụng:2023Xuất xứ:úcNgày sản xuất:CHI TIẾT SẢN PHẨMKem Đa Năng Lucas' Papaw OintmentCó tác dụng dịu nhẹ và an toàn nên có thể sử dụng cho trẻ nhỏThành phẩm Kem Đa
MÔ TẢ SẢN PHẨM Ai không biết về công dụng của em #LUCAS này thì thật sự đáng tiếc luôn ạ. SIÊU SIÊU SIÊU ĐA NĂNG MÀ GIA ĐÌNH NÀO CŨNG NÊN CÓ 1 EM
THUỘC TÍNH SẢN PHẨMHạn sử dụng:2022Xuất xứ:úcNgày sản xuất:2019CHI TIẾT SẢN PHẨMKem Đa Năng Lucas' Papaw OintmentCó tác dụng dịu nhẹ và an toàn nên có thể sử dụng cho trẻ nhỏThành phẩm Kem Đa
Kem Đa Năng Lucas Papaw Ointment 25gKem đa năng Lucas Papaw Ointment thực là sự một tuýp kem "nhỏ mà có võ". Đây được xem là món đồ làm đẹp không thể thiếu với các
Thông tin sản phẩm:Kem đa năng Lucas Papaw Ointment 25g là một loại kem đa năng có xuất xứ từ Úc, sản phẩm là niểm tự hào hơn 100 năm qua của xứ sở Kangaroo.Kem
MÔ TẢ SẢN PHẨMKem Đa Năng Lucas Papaw Oinment 25g Của Úc Giới thiệu sản phẩm Kem đa năng Lucas của Úc:Lucas Papaw Oinment là một loại kem đa năng có xuất xứ từ Úc,
Kem Đa Năng Lucas Papaw Ointment 25gKem dưỡng da đa năng Lucas Papaw Ointment 25g là một loại kem đa năng có xuất xứ từ Úc, sản phẩm là niểm tự hơn 100 năm qua
MÔ TẢ SẢN PHẨMKem Đa Năng Lucas Papaw Oinment 25g Của Úc Giới thiệu sản phẩm Kem đa năng Lucas của Úc:Lucas Papaw Oinment là một loại kem đa năng có xuất xứ từ Úc,
_'Gary Lucas Anh đã thu hút được sự chú ý lớn cùng những đánh giá chuyên môn tích cực sau khi phát hành đĩa đơn "Ross Capicchioni" vào năm 2015. Năm 2017, anh cho phát
Nạng nách hợp kim nhôm đế cao su chống trượt Akiko A39 - LUCAS C25Đặc điểm nổi bật của nạng nhôm Akiko A39 - LUCAS C25- Nạng nách hợp kim nhôm đế cao su chống
Mô tả Đánh giá (0) Thông tin sản phẩm Son dưỡng môi đa năng Lucas’ Papaw Ointment 25g5 (100%) 11 votes Son dưỡng môi đa năng Lucas’ Papaw Ointment 25g Kem Dưỡng Đa Năng Lucas’
Nạng nách hợp kim nhôm đế cao su chống trượt Akiko A39 - LUCAS C25Đặc điểm nổi bật của nạng nhôm Akiko A39 - LUCAS C25- Nạng nách hợp kim nhôm đế cao su chống
Nạng nách hợp kim nhôm đế cao su chống trượt Akiko A39 - LUCAS C25Đặc điểm nổi bật của nạng nhôm Akiko A39 - LUCAS C25- Nạng nách hợp kim nhôm đế cao su chống
MÔ TẢ SẢN PHẨMLucas’ Papaw Oitment GIÁ tuýp 25gr Loại thuốc mỡ này có tính chất kháng khuẩn và có thể sử dụng cho rất nhiều các vấn đề khác nhau của da: _ Được
Nạng nách hợp kim nhôm đế cao su chống trượt Akiko A39 - LUCAS C25Đặc điểm nổi bật của nạng nhôm Akiko A39 - LUCAS C25- Nạng nách hợp kim nhôm đế cao su chống
**Lucas Maximilian Cantoro** sinh ngày 3 tháng 4 năm 1979 tại Buenos Aires, Argentina là một tiền đạo của đội bóng Hà Nội ACB. Ngoài những quãng thời gian 2 năm đầu tiên khởi nghiệp
**Wendy Elizabeth Lucas-Bull** (nhũ danh **Wendy Elizabeth Lucas),** thường được gọi là **Wendy Lucas-Bull,** là một nữ doanh nhân, chủ ngân hàng và điều hành công ty người Nam Phi. Bà là chủ tịch của
**Lempy Lucas** (sinh ngày 7 tháng 11 năm 1961 tại Eendombe, Vùng Omusati) là một chính trị gia người Namibia. Là thành viên của Quốc hội từ năm 2000, Lucas là thành viên của Tổ
**Lucas Tolentino Coelho de Lima** (sinh ngày 27 tháng 8 năm 1997), thường được biết đến với tên gọi **Lucas Paquetá** (), là một cầu thủ bóng đá chuyên nghiệp người Brasil hiện đang thi
Kem Đa Năng Lucas Papaw Ointment 25gKem đa năng Lucas Papaw Ointment thực là sự một tuýp kem "nhỏ mà có võ". Đây được xem là món đồ làm đẹp không thể thiếu với các
**François Édouard Anatole Lucas** (1842-1891) là một nhà toán học người Pháp. Ông là người đã nghiên cứu và đặt tên cho dãy Fibonacci, công trình toán học nổi tiếng nhất của nhà toán học
**Lucas François Bernard Hernandez** (, ; sinh ngày 14 tháng 2 năm 1996) là một cầu thủ bóng đá chuyên nghiệp người Pháp hiện đang thi đấu ở vị trí trung vệ hoặc hậu vệ
Mặt nạ Saffron Mask John L & Lucas Y hộp 7 miếng của Anh Quốc - Nuôi dưỡng da khỏe mạnh, trắng mịn màng Mặt Nạ Saffaron với tinh chất nhụy hoa nghệ tây đậm
**Lucas & Arthur Jussen** là hai anh em ruột người Hà Lan, thường được nhắc đến vì cùng là hai nghệ sĩ dương cầm, cùng biểu diễn thành công song tấu dương cầm và piano
MÔ TẢ SẢN PHẨMHộp 7 miếng Mặt Nạ Giấy Saffron Nhụy Hoa Nghệ Tây John L & Lucas Y MaskHSD: 2022Quy cách đóng gói: 7 miếng x 25mlXuất xứ: Anh Quốc———➿———➿———Từ xưa đến nay, Saffron
MÔ TẢ SẢN PHẨMKem đa năng #Lucas #Papaw #Ointment tuýp #25g hàng đủ bill#phammaihuongKem đa năng đây ạ:1. Làm dịu các vết mẩn ngứa do côn trùng cắn.2. Chữa lành các vết thương do bỏng