Trong toán học tiêu khiển, Số repunit (hoặc gọi tắt đi là repunit) là các số tương tự như 11, 111, hoặc 1111, tức là các số chỉ bao gồm chữ số 1 — dạng tổng quát hơn được gọi là repdigit. Thuật ngữ repunit được lấy từ repeated unit (lặp lại đơn vị) và được giới thiệu vào năm 1966 bởi Albert H. Beiler trong cuốn Recreations in the Theory of Numbers (tạm dịch:Các thú vui trong lý thuyết của những con số).

Số nguyên tố repunit đồng thời là số repunit và là số nguyên tố. Số nguyên tố repunit dưới cơ số 2 là số nguyên tố Mersenne. Hiện vào tháng 3 năm 2022, số nguyên tố lớn nhất , số lớn nhất có thể nguyên tố R_8177207 và độ nguyên tố của đường cong elliptic R₄₉₀₈₁ đều là các số repunit.

Định nghĩa

Số repunit cơ số b được định nghĩa như sau (giá trị b có thể âm hoặc dương) :$R\_n^\{(b)\}\backslash equiv\; 1\; +\; b\; +\; b^2\; +\; \backslash cdots\; +\; b^\{n-1\}\; =\; \{b^n-1\backslash over\{b-1\backslash qquad\backslash mbox\{với\; \}|b|\backslash ge2,\; n\backslash ge1.$ Do đó, số R_n^(b) chỉ chứa n chữ số 1 trong biểu diễn cơ số b. Repunit cơ số b cho n = 1 và n = 2 là :$R\_1^\{(b)\}=\{b-1\backslash over\{b-1=\; 1\; \backslash qquad\; \backslash text\{và\}\; \backslash qquad\; R\_2^\{(b)\}=\{b^2-1\backslash over\{b-1=\; b+1\backslash qquad\backslash text\{với\}\backslash \; |b|\backslash ge2.$

Còn đối với thường hợp hệ cơ số thập phân, các số repunit cơ số thập phân thường được gọi ngắn đi là số repunit và được định nghĩa như sau: :$R\_n\; \backslash equiv\; R\_n^\{(10)\}\; =\; \{10^n-1\backslash over\{10-1\; =\; \{10^n-1\backslash over9\}\backslash qquad\backslash mbox\{với\; \}\; n\; \backslash ge\; 1.$ Do vậy, R_n = R_n⁽¹⁰⁾ chỉ chứa n chữ số 1 trong biểu diễn cơ số 10. Dãy các số repunit cơ số 10 bắt đầu bằng: : 1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, ... .

Tương tự như vậy, các số repunit cơ số 2 được định nghĩa như sau: :$R\_n^\{(2)\}\; =\; \{2^n-1\backslash over\{2-1\; =\; \{2^n-1\}\backslash qquad\backslash mbox\{for\; \}n\; \backslash ge\; 1.$ Do đó, R_n⁽²⁾ chỉ chứa n chữ số 1 trong biểu diễn cơ số 2. Hơn nữa, các số repunit cơ số 2 là các số Mersenne M_n = 2ⁿ − 1, dãy số bắt đầu như sau :1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, ... .

Các tính chất

• Bất cứ repunit trong bất cứ cơ số nào có số chữ số là hợp số thì số đó cũng là hợp số. Chỉ có các số repunit (trong bất cứ cơ số nào) có số chữ số là số nguyên tố thì mới là số nguyên tố. Đây là điều kiện cần nhưng chưa đủ. Lấy ví dụ *: R₃₅^(b) = = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 1111111 × 10000001000000100000010000001, :bởi 35 = 7 × 5 = 5 × 7. Phân tích thừa số của các số repunit không dựa vào cơ số b cho việc biểu diễn số đó.
• Nếu p là số nguyên tố lẻ, thì với mọi số nguyên tố q là ước của R_p^(b) đều phải hoặc là tổng của 1 cộng với bội của 2p, hoặc là ước của b − 1. Lấy ví dụ, ước nguyên tố của R₂₉ là 62003 = 1 + 2·29·1069. Lý do đứng đằng sau tính chất này là bởi p là số mũ nhỏ nhất lớn hơn 1 sao cho q là ước của b^p − 1, và bởi p là số nguyên tố. Do đó, trừ phi q là ước của b − 1, thì p là ước của hàm Carmichael của q, giá trị của hàm bằng với q − 1.
• Bất kỳ bội của R_n^(b) chứa ít nhất n chữ số khác không trong cơ số b.
• Bất kỳ số x là số repunit cơ số x − 1.
• Các số duy nhất được biết là có nhiều hơn 3 chữ số trong 2 hệ cơ số trở lên là số 31 (111 trong cơ số 5, 11111 trong cơ số 2) và 8191 (111 trong cơ số 90, 1111111111111 trong cơ số 2). Giả thuyết Goormaghtigh cho rằng đây là hai trường hợp duy nhất.
• Sử dụng nguyên lý ngăn kéo Dirichlet, ta dễ chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n và b nguyên tố cùng nhau, tồn tại số repunit cơ số b là bội của n. Để chứng minh, ta xét R₁^(b),...,R_n^(b). Bởi có n repunits nhưng chỉ có n−1 phần dư khác 0 khi chia n, tồn tại hai số R_i^(b) và R_j^(b) với 1 ≤ i < j ≤ n sao cho R_i^(b) và R_j^(b) đồng dư mô đun n. Từ đây dễ thấy rằng R_j^(b) − R_i^(b) sẽ dư 0 khi mô đun n, tức là chia hết cho n. Bởi R_j^(b) − R_i^(b) chứa j − i chũ số 1 rồi theo sau bởi i chữ số không, . Vì n là ước của vế trái của phương trình, nên nó cũng là ước vế phải, nhưng vì n và b nguyên tố cùng nhau, n phải là ước của R_j−i^(b).
• Giả thuyết Feit–Thompson cho rằng R_q^(p) không bao giờ là ước của R_p^(q) với mọi hai số nguyên tố phân biệt p và q.
• Sử dụng thuật toán Euclid cho định nghĩa số repunit: R₁^(b) = 1; R_n^(b) = R_n−1^(b) × b + 1, bất kỳ cặp số repunit liên tiếp R_n−1^(b) và R_n^(b) đều nguyên tố cùng nhau cho mọi cơ số b và mọi giá trị n.
• Nếu m và n có ước chung d, R_m^(b) và R_n^(b) sẽ có ước chung R_d^(b) trong mọi cơ số b cho bất kỳ m và n. Nghĩa là, dãy các số repunit dưới một cơ số cố định sẽ lập thành dãy chia mạnh. Hệ quả từ đó là, nếu m và n nguyên tố cùng nhau thì R_m^(b) và R_n^(b) cũng nguyên tố cùng nhau. Thuật toán Euclid dựa trên tính chất gcd(m, n) = gcd(m − n, n) cho m > n. Tương tự như vậy, áp dụng R_m^(b) − R_n^(b) × b^m−n = R_m−n^(b), dễ thấy rằng gcd(R_m^(b), R_n^(b)) = gcd(R_m−n^(b), R_n^(b)) for m > n. Do đó, nếu gcd(m, n) = d, thì gcd(R_m^(b), R_n^(b)) = R_d^(b).

Phân tích thừa số của các số repunit hệ thập phân

(Các ước nguyên tố được tô màu nghĩa là "ước nguyên tố mới", tức là các số nguyên tố là ước của R_n nhưng không phải là ước của R_k với mọi k < n)

||

||

|}

Dãy uớc nguyên tố nhỏ nhất của R_n với n > 1 là dãy số sau: :11, 3, 11, 41, 3, 239, 11, 3, 11, 21649, 3, 53, 11, 3, 11, 2071723, 3, 1111111111111111111, 11, 3, 11, 11111111111111111111111, 3, 41, 11, 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, ...

Số nguyên tố repunit

Lý do các nhà toán học tiêu khiển định nghĩa số repunit là bởi họ muốn tìm hiểu các ước nguyên tố của các số đó.

Dễ chứng minh rằng nếu n chia hết cho a, thì R_n^(b) chia hết cho R_a^(b):

:$R$n^{(b)}=\frac{1}{b-1}\prod{d|n}\Phi_d(b),

trong $\backslash Phi\_d(x)$ là đa thức cyclotomic thứ d và d chạy trên các ước của n. Khi p là số nguyên tố,

:$\backslash Phi$p(x)=\sum{i=0}^{p-1}x^i,

có dạng của số repunit khi x được thay bằng b.

Lấy ví dụ, 9 chia hết cho 3, nên R₉ chia hết cho R₃—cụ thể hơn, 111111111 = 111 · 1001001. Đa thức cyclotomic tương ứng là $\backslash Phi\_3(x)$ và $\backslash Phi\_9(x)$, tức $x^2+x+1$ và $x^6+x^3+1$ tương ứng. Do đó, để R_n là số nguyên tố, thì n phải là số nguyên tố, nhưng điều kiện này chưa đủ. Lấy ví dụ, R₃ = 111 = 3 · 37 không phải là số nguyên tố. Ngoại trừ trường hợp R₃ ra, p chỉ có thể là ước của R_n với n là số nguyên tố nếu p = 2kn + 1 với một số giá trị k.

Số nguyên tố repunit cơ số thập phân

R_n là số nguyên tố khi n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081 ... (dãy A004023 trong OEIS). R₈₆₄₅₃ là số có thể nguyên tố. Vào ngày 3 tháng 4 năm 2007, Harvey Dubner (đồng thời là người tìm ra R₄₉₀₈₁) công bố rằng R₁₀₉₂₉₇ là số có thể nguyên tố. Rồi đến ngày 15 tháng 7 cùng năm, Maksym Voznyy công bố rằng R₂₇₀₃₄₃ là số có thể nguyên tố. Serge Batalov và Ryan Propper tìm ra rằng R_5794777 và R_8177207 là số có thể nguyên tố vào ngày 20 tháng 4 và ngày 8 tháng 5 trong cùng năm 2021, tương ứng. Vào thời điểm họ tìm ra, đây cũng là các số có thể nguyên tố lớn nhất. Vào ngày 22 tháng 3 năm 2022 số có thể nguyên tố R₄₉₀₈₁ cũng được chứng minh là số nguyên tố.

Hiện ta đang có giả thuyết rằng sẽ có vô số số nguyên tố repunit và có vẻ mật độ của nó sẽ dựa trên định lý số nguyên tố tiên đoán: số mũ của số nguyên tố repunit thứ N thường nằm quanh bội của số nguyên tố repunit thứ N-1.

Số nguyên tố repunit là tập con tầm thường của số nguyên tố hoán vị, số nguyên số hoán vị là các số nguyên tố giữ tính nguyên tố bất kể hoán vị các chữ số trong đó.

Số repunit cơ số thập phân có tính chất cơ bản rằng, nếu số chữ số tức n là bội của 3 hoặc 9 thì số đó cũng là bội của R₃ hoặc R₉ tương ứng. Thật vậy, bởi 10^a ≡ 1 (mod 9), và 10^a ≡ 1 (mod 3) với bất kỳ a ≥ 0 nên

• n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 0 (mod R₃),
  n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 1 (mod 3) ⇔ R_n ≡ R₁ ≡ 1 (mod R₃),
  n ≡ 2 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 2 (mod 3) ⇔ R_n ≡ R₂ ≡ 11 (mod R₃).
  Do đó, 3 | n ⇔ 3 | R_n ⇔ R₃ | R_n.
• n ≡ r (mod 9) ⇔ R_n ≡ r (mod 9) ⇔ R_n ≡ R_r (mod R₉),
  với 0 ≤ r < 9.
  Do đó, 9 | n ⇔ 9 | R_n ⇔ R₉ | R_n.

Số nguyên tố repunit cơ số 2

Các số nguyên tố repunit cơ số 2 được gọi là số nguyên tố Mersenne.

Số nguyên tố repunit cơ số 3

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 3 là : 13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013 , tương ứng với $n$ bằng : 3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, ... .

Số nguyên tố repunit cơ số 4

Số nguyên tố repunit duy nhất cơ số 4 là số 5 ($11\_4$). $4^n-1\; =\; \backslash left(2^n+1\backslash right)\backslash left(2^n-1\backslash right)$, và 3 là ước của $2^n\; +\; 1$ khi n lẻ và của $2^n\; -\; 1$ khi n chẵn. Khi n lớn hơn 2 thì cả $2^n\; +\; 1$ và $2^n\; -\; 1$ đều lớn hơn 3, do đó bỏ đi 3 vẫn để lại hai ước nguyên tố khác lớn hơn 1. Do đó không tồn tại số nguyên tố repunit cơ số 4 nào khác ngoài số 5 .

Số nguyên tố repunit cơ số 5

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 5 là : 31, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, 35032461608120426773093239582247903282006548546912894293926707097244777067146515037165954709053039550781, 815663058499815565838786763657068444462645532258620818469829556933715405574685778402862015856733535201783524826169013977050781 , tương ứng với $n$ bằng : 3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, ... .

Số nguyên tố repunit cơ số 6

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 6 là : 7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, 133733063818254349335501779590081460423013416258060407531857720755181857441961908284738707408499507 , tương ứng với $n$ bằng : 2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, ... .

Số nguyên tố repunit cơ số 7

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 7 là : 2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457,
138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601 tương ứng với $n$ bằng : 5, 13, 131, 149, 1699, ... .

Số nguyên tố repunit cơ số 8

Số nguyên tố repunit cơ số 8 duy nhất là số 73 ($111\_8$). $8^n\; -\; 1=\backslash left(4^n+2^n+1\backslash right)\backslash left(2^n\; -\; 1\backslash right)$, và 7 là ước của $4^n\; +\; 2^n\; +\; 1$ khi n không chia hết cho 3 và của $2^n\; -\; 1$ khi n là bội của 3.

Số nguyên tố repunit cơ số 9

Không tồn tại nguyên tố repunit cơ số 9 nào. Bởi $9^n\; -\; 1=\backslash left(3^n\; +\; 1\backslash right)\backslash left(3^n\; -\; 1\backslash right)$, và cả hai $3^n+1$ và $3^n\; -\; 1$ đều chẵn và lớn hơn 4.

Số nguyên tố repunit cơ số 11

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 11 là : 50544702849929377, 6115909044841454629, 1051153199500053598403188407217590190707671147285551702341089650185945215953, 567000232521795739625828281267171344486805385881217575081149660163046217465544573355710592079769932651989153833612198334843467861091902034340949 tương ứng với $n$ bằng : 17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, ... .

Số nguyên tố repunit cơ số 12

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 12 là : 13, 157, 22621, 29043636306420266077, 43570062353753446053455610056679740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581, 388475052482842970801320278964160171426121951256610654799120070705613530182445862582590623785872890159937874339918941 tương ứng với $n$ bằng : 2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, ... .

Số nguyên tố repunit cơ số 20

Dãy các số nguyên tố repunit cơ số 20 là : 421, 10778947368421, 689852631578947368421 tương ứng với $n$ bằng : 3, 11, 17, 1487, ... .

Cơ số b sao cho R_p(b) là số nguyên tố cho số nguyên tố p

Cơ số $b$ nhỏ nhất sao cho $R\_p(b)$ là số nguyên tố (trong đó $p$ là số nguyên tố thứ $n$) là:

:2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12, 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606, 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, 13, 136, 220, 162, 35, 10, 218, 19, 26, 39, 12, 22, 67, 120, 195, 48, 54, 463, 38, 41, 17, 808, 404, 46, 76, 793, 38, 28, 215, 37, 236, 59, 15, 514, 260, 498, 6, 2, 95, 3, ...

Cơ số $b$ nhỏ nhất sao cho $R\_p(-b)$ là số nguyên tố (trong đó $p$ là số nguyên tố thứ $n$) là:

:3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, 159, 10, 16, 209, 2, 16, 23, 273, 2, 460, 22, 3, 36, 28, 329, 43, 69, 86, 271, 396, 28, 83, 302, 209, 11, 300, 159, 79, 31, 331, 52, 176, 3, 28, 217, 14, 410, 252, 718, 164, ...

Danh sách các số nguyên tố cơ số b

Dãy các số nguyên tố nhỏ nhất thỏa mãn $p>2$ và $R\_p(b)$ là số nguyên tố là (bắt đầu bằng $b=2$, có giá trị 0 nếu không tồn tại số nguyên tố $p$ thỏa mãn)

:3, 3, 0, 3, 3, 5, 3, 0, 19, 17, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 25667, 19, 3, 3, 5, 5, 3, 0, 7, 3, 5, 5, 5, 7, 0, 3, 13, 313, 0, 13, 3, 349, 5, 3, 1319, 5, 5, 19, 7, 127, 19, 0, 3, 4229, 103, 11, 3, 17, 7, 3, 41, 3, 7, 7, 3, 5, 0, 19, 3, 19, 5, 3, 29, 3, 7, 5, 5, 3, 41, 3, 3, 5, 3, 0, 23, 5, 17, 5, 11, 7, 61, 3, 3, 4421, 439, 7, 5, 7, 3343, 17, 13, 3, 0, ...

Dãy các số nguyên tố nhỏ nhất thỏa mãn $p>2$ và $R\_p(-b)$ là số nguyên tố là (bắt đầu bằng $b=2$, có giá trị 0 nếu không tồn tại số nguyên tố $p$ thỏa mãn, và để dấu hỏi nếu vẫn chưa biết liệu có tồn tại số nguyên tố thỏa mãn không)

:3, 3, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 5, 5, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 3, 17, 5, 3, 3, 11, 7, 3, 11, 0, 3, 7, 139, 109, 0, 5, 3, 11, 31, 5, 5, 3, 53, 17, 3, 5, 7, 103, 7, 5, 5, 7, 1153, 3, 7, 21943, 7, 3, 37, 53, 3, 17, 3, 7, 11, 3, 0, 19, 7, 3, 757, 11, 3, 5, 3, 7, 13, 5, 3, 37, 3, 3, 5, 3, 293, 19, 7, 167, 7, 7, 709, 13, 3, 3, 37, 89, 71, 43, 37, ?, 19, 7, 3, ...

^* Các số repunit có cơ số âm và n chẵn thì đều là số âm. Nếu giá trị tuyệt đối của nó là số nguyên tố, thì nó có trong bảng trên với dấu sao bên cạnh, song giá trị đó sẽ không xuất hiện trong dãy OEIS tương ứng.

Để tìm hiểu thêm, xem.

Phân tích đại số của các số repunit tổng quát

Nếu b là lũy thừa hoàn hảo (tức là có thể viết thành mⁿ, trong đó m, n là các số nguyên và n > 1) khác 1, thì chỉ có tối đa một số repunit cơ số b. Nếu n là lũy thừa nguyên tố (tức là có thể viết thành p^r, với p là số nguyên tố, r là số nguyên và p, r >0), thì tất cả các số repunit cơ số b đều không phải số nguyên tố ngoại trừ các số R_p và R₂. R_p có thể là số nguyên tố và hợp số, ví dụ nó là số nguyên tố là các số b = −216, −128, 4, 8, 16, 27, 36, 100, 128, 256, các ví dụ sau thì bao gồm, b = −243, −125, −64, −32, −27, −8, 9, 25, 32, 49, 81, 121, 125, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 289, vv., và R₂ có thể là số nguyên tố (khi p khác 2) nếu b âm hoặc là lũy thừa của −2, lấy ví dụ như b = −8, −32, −128, −8192, vv., kể cả vậy R₂ vẫn có thể là hợp số, lấy ví dụ như b = −512, −2048, −32768, vv. Nếu n không phải lũy thừa nguyên tố thì không có số nguyên tố cơ số b nào tồn tại, lấy ví dụ b = 64, 729 (với n = 6), b = 1024 (với n = 10), và b = −1 hoặc 0 (với n là số tự nhiên tùy ý).

Giả thuyết tổng quát cho repunit

Một giả thuyết liên quan đến dạng tổng quát của số repunit: (giả thuyết này tiên đoán số nguyên số Mersenne tổng quát tiếp theo, và nếu giả thuyết này đúng thì có vô số số nguyên tố repunit cho mọi cơ số $b$ khả thi)

Cho bất kỳ số tự nhiên $b$ thỏa mãn các điều kiện sau:

$|b|>1$.

$b$ không phải lũy thừa hoàn hảo. (bởi nếu $b$ là lũy thừa hoàn hảo bậc $r$, thì ta có thể chứng minh chỉ có tối đa một giá trị của $n$ sao cho $\backslash frac\{b^n-1\}\{b-1\}$ là số nguyên tố, và giá trị này của $n$ hoặc là $r$ hoặc là căn bậc $k$ của $r$ với một số số k)

$b$ không nằm dưới dạng $-4k^4$. (nếu có thì số đó có phân tích thừa số dạng aurifeuillean)

thì sẽ có số nguyên tố repunit tổng quát dưới dạng

:$R\_p(b)=\backslash frac\{b^p-1\}\{b-1\}$

với $p$ là số nguyên tố, các số nguyên tố sẽ được phân phối gần với đường sau

:$Y=G\; \backslash cdot\; \backslash log$\left( \log\left(R_{(b)}(n) \right) \right)+C,

trong đó giới hạn $n\backslash rightarrow\backslash infty$, $G=\backslash frac\{1\}\{e^\backslash gamma\}=0.561459483566...$

và có khoảng

:$\backslash left(\; \backslash log\_e(N)+m\; \backslash cdot\; \backslash log\_e(2)\; \backslash cdot\; \backslash log\_e\; \backslash big(\; \backslash log\_e(N)\; \backslash big)\; +\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\; N\}-\backslash delta\; \backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash frac\{e^\backslash gamma\}\{\backslash log\_e(|b|)\}$

số nguyên tố cơ số b nhỏ hơn N. Trong đó:

$e$ là cơ số của lôgarit tự nhiên. $\backslash gamma$ là hằng số Euler–Mascheroni. $\backslash log\_$ là logarit trong cơ số $|b|$ $R\_\{(b)\}(n)$ là số nguyên tố repunit tổng quát thứ $n$ trong cơ số b (cùng số nguyên tố p) $C$ là hằng số hợp dữ liệu phụ thuộc vào $b$. $\backslash delta=1$ nếu $b>0$, $\backslash delta=1.6$ nếu . *$m$ là số tự nhiên lớn nhất sao cho $-b$ là lũy thừa $2^\{m-1\}$.

Ngoài ra chúng ta còn có 3 tính chất sau:

Số các số nguyên tố dưới dạng $\backslash frac\{b^n-1\}\{b-1\}$ (với $p$ là số nguyên tố) nhỏ hơn hoặc bằng $n$ xấp xỉ với $e^\backslash gamma\; \backslash cdot\; \backslash log$\big(\log(n)\big).

Ước tính số các số nguyên tố dưới dạng $\backslash frac\{b^n-1\}\{b-1\}$ cùng với số nguyên tố $p$ nằm giữa $n$ và $|b|\; \backslash cdot\; n$ là vào khoảng $e^\backslash gamma$.

Xác suất rằng số dưới dạng $\backslash frac\{b^n-1\}\{b-1\}$ là số nguyên tố (với $p$ là số nguyên tố) nằm vào khoảng $\backslash frac\{e^\backslash gamma\}\{p\; \backslash cdot\; \backslash log\_e(|b|)\}$.

Lịch sử

Vào thời gian mà các số repunit chưa được đặt tên, các số repunit trong hệ thập phân được nghiên cứu bởi rất nhiều nhà toán học trong thế kỷ 19 để tìm ra và tiên đoán tính chất của các số lặp lại chữ số.

Ta phát hiện được rất sớm rằng với mọi số nguyên tố p lớn hơn 5, chu kỳ của khai triển của 1/p bằng với độ dài của số repunit nhỏ nhất chia hết cho p. Bảng chu kỳ của nghịch đảo các số nguyên tố cho tới 60,000 đã được xuất bản vào năm 1860 và cho phép các nhà toán học như Reuschle tìm ra phân tích thừa số nguyên tố của các số repunit lên tới R₁₆ và nhiều số lớn hơn. Tới năm 1880, các số R₁₇ cho tới R₃₆ đã được phân tích thừa số nguyên tố. Sau đó Lehmer và Kraitchik độc lập tìm ra R₂₃ là số nguyên tố trong 1929.

Tiến bộ trong công cuộc nghiên cứu các số repunit phải mãi tới những năm 1960 mới có, khi mà các máy tính bắt đầu xuất hiện, cho phép các nhà toán học có thể tìm ra các ước nguyên tố và sửa lại bảng các chu kỳ nguyên tố. R₃₁₇ được chứng minh là số có thể nguyên tố quanh năm 1966 và được chứng minh là số nguyên tố sau 11 năm, trong khi đó R₁₀₃₁ được chứng minh là số có thể nguyên tố cuối cùng có số chữ số nhỏ hơn mười nghìn. Sau đó, số đó được chứng minh là số nguyên tố trong năm 1986, nhưng công cuộc tìm các số nguyên tố repunit lớn hơn nó liên tục gặp thất bại. Tuy nhiên, nhờ việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết của các số repunit tổng quát, nay ta đã tìm được nhiều số nguyên tố mới và số có thể nguyên tố mới.

Kể từ năm 1999, bốn số có thể nguyên tố đã được tìm thấy, nhưng hiện khó có thể chứng minh bất kỳ một trong bốn số đó là số nguyên tố bởi kích thước số rất lớn.

Dự án Cunningham đã nỗ lực ghi lại phân tích thừa số nguyên tố của các số repunit (trong nhiều số khác) cho các cơ số 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, và 12.

Số Demlo

D. R. Kaprekar định nghĩa số Demlo là số được nối bởi phần trái, phần giữa và phần phải, trong đó phần trái và phần phải phải có cùng độ dài(có thể thêm chữ số 0 dẫn trước ở phần trái) và khi cộng các phần với nhau phải ra số repdigit, và phần giữa có thể chứa thêm một số chữ số của chữ số lặp lại. Chúng được đặt tên theo nhà ga Demlo (nay được gọi là Dombivili) cách 30 miles từ Bombay đến đường tàu G.I.P., nơi mà Kaprekar bắt đầu nghiên cứu chúng. Ông gọi số Demlo kỳ lạ là các số có dạng 1, 121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321. Bởi các số này là bình phương của các số repunits đã dẫn tới việc một số tác giả đã gọi các số Demlo là dãy vô hạn các số repunit, 1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., , mặc dù ta có thể kiểm tra các số sau không phải số Demlo khi p = 10, 19, 28, ...