nhỏ|Ví dụ về Định lý Euclid-Euler
Định lý Euclid–Euler là một định lý trong lý thuyết số liên hệ số hoàn thiện với số nguyên tố Mersenne. Định lý này phát biểu rằng một số chẵn là số hoàn thiện khi và chỉ khi nó có dạng , trong đó là số nguyên tố. Nó được đặt tên theo hai nhà toán học Euclid và Leonhard Euler, là hai người đã lần lượt chứng minh được phần "khi" và "chỉ khi" của định lý.
Có giả thuyết cho rằng có vô số số nguyên tố Mersenne. Mặc dù vẫn chưa rõ giả thuyết này có chính xác hay không, nhưng theo định lý Euclid–Euler, nó tương đương với giả thuyết rằng có vô số số hoàn thiện chẵn. Tuy nhiên, cũng chưa rõ có tồn tại một số hoàn thiện lẻ hay không.
Phát biểu và ví dụ
Số hoàn thiện là một số tự nhiên có giá trị bằng tổng các ước thật sự của nó (ước thực sự của một số được định nghĩa là những số nhỏ hơn nó và chia hết nó, với số dư bằng không). Ví dụ, các ước thật sự của 6 là 1, 2 và 3, và ba số trên có tổng bằng 6, nên 6 là số hoàn thiện.
Số nguyên tố Mersenne là số nguyên tố có dạng , nhỏ hơn 1 đơn vị so với lũy thừa của 2. Để một số dạng này là số nguyên tố thì phải là số nguyên tố, nhưng không phải mọi số nguyên tố áp vào công thức trên đều cho giá trị là số nguyên tố Mersenne. Chẳng hạn, là số nguyên tố Mersenne, nhưng thì không phải.
Định lý Euclid–Euler phát biểu rằng một số tự nhiên chẵn là số hoàn thiện khi và chỉ khi nó có dạng với là số nguyên tố Mersenne.
Hơn một thiên niên kỷ sau Euclid, Alhazen khoảng năm 1000 sau Công nguyên đưa ra giả thuyết rằng mọi số hoàn thiện chẵn đều có dạng với là số nguyên tố, nhưng ông không thể chứng minh được giả thuyết đó. Phải đến thế kỷ 18, hơn 2000 năm sau Euclid, Leonhard Euler mới chứng minh được rằng công thức luôn cho giá trị là số hoàn thiện chẵn. Như vậy, tồn tại mối liên hệ một–một giữa số hoàn thiện chẵn và số nguyên tố Mersenne; mỗi số nguyên tố Mersenne cho một số hoàn thiện chẵn tương ứng, và ngược lại. Từ sau chứng minh của Euler, nhiều nhà toán học đã xuất bản các cách chứng minh khác cho định lý Euclid–Euler như Victor-Amédée Lebesgue, Robert Daniel Carmichael, Leonard Eugene Dickson, John Knopfmacher và Wayne L. McDaniel. Đặc biệt, chứng minh của Dickson đã được nhắc đến phổ biến trong sách giáo khoa.
Định lý này nằm trong danh sách web "top 100 định lý toán học", có từ năm 1999, mà về sau được Freek Wiedijk sử dụng làm kiểm chuẩn để kiểm tra độ mạnh của các trình hỗ trợ chứng minh định lý khác nhau. Tính đến năm 2021, phần chứng minh của định lý Euclid–Euler đã được định hình tại 5 trên 10 trình hỗ trợ mà Wiedijk theo dõi.
Chứng minh
Chứng minh của Euler là một chứng minh ngắn
Điều kiện cần
Ngược lại, giả sử tồn tại một số hoàn thiện chẵn được phân tích một phần dưới dạng , với là số lẻ. Để là số hoàn thiện thì tổng các ước của nó phải bằng hai lần số đó:Thừa số lẻ ở vế phải của (∗) có giá trị nhỏ nhất là 3, và nó phải là ước của , thừa số lẻ duy nhất ở vế trái, nên là một ước thật sự của . Chia cả hai vế của (∗) cho thừa số chung và xem xét các ước số và đã biết của , ta được
Để đẳng thức trên đúng thì không thể tồn tại một ước số nào khác. Do đó, phải bằng , và phải là một số nguyên tố dạng .
👁️
2 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
nhỏ|Ví dụ về Định lý Euclid-Euler **Định lý Euclid–Euler** là một định lý trong lý thuyết số liên hệ số hoàn thiện với số nguyên tố Mersenne. Định lý này phát biểu rằng một số
**Định lý Sylvester–Gallai** khẳng định rằng với mọi tập hợp hữu hạn điểm trên mặt phẳng, hoặc # mọi điểm đều thẳng hàng; hoặc # tồn tại một đường thẳng chứa đúng hai điểm. Giả
thumb|right|upright=1.25| Trong hình học, **định lý Euler** nói về khoảng cách _d_ giữa tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp của một tam giác thể hiện qua công thức
thumb|right|Định lý Thebault I **Định lý Thébault** là một trong bốn định lý hình học phẳng được đề xuất bởi nhà toán học người Pháp Victor Thébault (1882–1960) đăng trên tạp chí toán học hàng
thumb|Định lý Lester Trong hình học Euclid, **định lý Lester** đặt theo tên của giáo sư nữ June Lester, người Canada, định lý này phát biểu rằng: Trong một tam giác không phải là tam
**Leonhard Euler** ( , ; 15 tháng 4 năm 170718 tháng 9 năm 1783) là một nhà toán học, nhà vật lý học, nhà thiên văn học, nhà lý luận và kỹ sư người Thụy
Trong toán học, và đặc biệt hơn trong tôpô đại số và tổ hợp đa diện, **đặc trưng Euler** (hoặc **đặc trưng Euler-Poincaré**) là một topo bất biến, một số mà nó mô tả hình
[[Hình:Triangle.EulerLine.svg|thumb| ]] Trong hình học, **đường thẳng Euler** (tiếng Anh: _Euler line)_, được đặt tên theo nhà toán học Leonhard Euler là một đường thẳng được xác định từ bất kỳ tam giác nào không
nhỏ|Đường tròn chín điểm. Trong hình học, **đường tròn chín điểm** (tiếng Anh: _nine-point circle_) là một đường tròn có thể được dựng với mọi tam giác cho trước. Đường tròn này đi qua chín
thế=Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but the prime numbers cannot|nhỏ| Hợp số có thể được
**Lý thuyết số** là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà
**Lý thuyết số đại số** là một nhánh của lý thuyết số sử dụng các kỹ thuật của đại số trừu tượng để nghiên cứu các số nguyên, các số hữu tỷ và các tổng
thumbnail|right|upright=1.35|Đồ thị của dưới dạng là hàm của một số thực dương Trong toán học, **logarit nhị phân** () là lũy thừa mà số cần phải được nâng lên để được số , nghĩa là
Trong hình học, **phương hướng** hay đơn giản là **hướng** của một vật thể như một đường thẳng, mặt phẳng hoặc một vật thể rắn khác là một trong những khái niệm được dùng để
Lưu ý: Danh sách **thuật ngữ lý thuyết đồ thị** này chỉ là điểm khởi đầu cho những người mới nhập môn làm quen với một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản. Bài
thumb|Tam giác ABC và tam giác Gossard của nó thấu xạ **Điểm Zeeman-Gossard** (còn gọi là điểm Gossard ) là một điểm đặc biệt trong hình học tam giác. Tên ban đầu của điểm này
thumb|Căn bậc hai của 2 bằng với độ dài của [[cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh đáy bằng 1.]] **Căn bậc hai của 2**, hay lũy thừa 1/2 của 2, được
thumb|Đường cong Neuberg **Đường cong bậc ba Neuberg** là đường đường cong bậc ba đặc biệt trong lĩnh vực hình học tam giác, đường cong Neuberg đặt theo tên Joseph Jean Baptiste Neuberg, một nhà
thế=Thanh màu Cuisenaire cho thấy các ước số của 6 (1, 2 và 3) cộng lại bằng 6|nhỏ|Cách hình dung số 6 là số hoàn hảo thế=Biểu đồ hai xu hướng với trục hành biểu
**Số hoàn hảo** (hay còn gọi là **số hoàn chỉnh**, **số hoàn thiện** hoặc **số hoàn thành**) là một số nguyên dương mà tổng các ước nguyên dương thực sự của nó (các số nguyên
Trong toán học, **nhóm trực giao** với số chiều , được ký hiệu là , là nhóm gồm các phép biến đổi bảo toàn khoảng cách trong một không gian Euclid chiều bảo toàn
nhỏ|Hình 1: Biên của tam giác Reuleaux có độ rộng không đổi được hình thành bằng đường cong dựa trên một tam giác đều. Tất cả các điểm trên cung tròn cách đều với đỉnh
Trong toán học, các số nguyên _a_ và _b_ được gọi là **nguyên tố cùng nhau** (tiếng Anh: **coprime** hoặc **relatively prime**) nếu chúng có Ước số chung lớn nhất là 1. Ví dụ 5
Trong hình học, **đường thẳng trung tâm** là những đường thẳng có tính chất đặc biệt của một tam giác trong một mặt phẳng. Các tính chất đặc biệt mà phân biệt một đường thẳng
thumb|right|Chiếc đồng hồ với mô đun bằng 12 Trong toán học, **số học mô đun** là một hệ thống số học dành cho số nguyên. Trong số học mô đun, các con số được viết
**Số nguyên tố Mersenne** là một số nguyên tố có giá trị bằng 2n − 1. Ví dụ 31 là số nguyên tố Mersenne vì 31 = 25 − 1 (31 và 5 đều là
thumb|right|Các thao tác bước xoay [[Rubik|khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.]] Trong toán học, một **nhóm** (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán
right|thumb|alt=Three shapes on a square grid|Tổng diện tích của 3 hình xấp xỉ 15.57 hình vuông đơn vị **Diện tích** là đại lượng biểu thị phạm vi của hình hoặc hình hai chiều hoặc lamina
**Điểm Exeter** là một điểm đặc biệt hình học phẳng về tam giác. Điểm Exeter là một tâm tam giác được đánh số thứ tự trong bách khoa toàn thư về các tâm của tam
thumb|Jerabek hyperbola Đường **hyperbol Jerabek** (tiếng Anh: **Jerabek Hyperbola**) là một đường hyperbol chữ nhật đặc biệt trong tam giác. Đường hyperbol Jerabek đi qua các điểm được đánh tên sau trong bách khoa toàn
phải|nhỏ|202x202px| Hình tròn có [[Chu vi hình tròn|chu vi (C) màu đen, đường kính (D) màu lam, bán kính (R) màu đỏ và tâm (O) màu lục. ]] Trong hình học, một **hình tròn** là
right|thumb|Vecten points Trong hình học, đặc biệt là với các tam giác, **điểm Vecten** (tiếng Anh: _Vecten points_) là hai điểm đặc biệt với tam giác bất kì. ## Điểm Vecten ngoài cho ABC là
Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *
_Cuốn [[The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing_]] Từ _toán học_ có nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể
thumb|right| Mặt yên ngựa (mặt hyperbolic paraboloid). thumb|right|Chai Klein trong không gian 3 chiều. Trong toán học, cụ thể là trong topo, một **mặt** là một đa tạp topo 2 chiều. Ví dụ quen thuộc
Số **pi** (ký hiệu: ****), còn gọi là **hằng số Archimedes**, là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số giữa chu vi của một đường tròn với đường kính của đường
thumb|[[đồ thị Cayley|Đồ thị Cayley Q8 cho thấy sáu chu trình nhân bởi , và . (Nếu ảnh được mở trong Wikimedia Commons bằng cách nhấn đúp vào nó thì các chu trình có thể
Danh sách các vấn đề mở trong toán học ## Danh sách các bài toán mở trong toán học nói chung Nhiều nha toán học và tổ chức đã xuất bản danh sách cái bài
Bài viết này là **danh sách các thuật toán** cùng một mô tả ngắn cho mỗi thuật toán. ## Thuật toán tổ hợp ### Thuật toán tổ hợp tổng quát * Thuật toán Brent: tìm
thumb|right|[[Đường cong Tschirnhausen là một ví dụ về đường cong đại số bậc ba.]] Trong toán học, **đường cong phẳng đại số affin** là tập nghiệm của đa thức hai biến. **đường cong phẳng đại
[[Đồ thị hàm sin]] [[Đồ thị hàm cos]] [[Đồ thị hàm tan]] [[Đồ thị hàm cot]] [[Đồ thị hàm sec]] [[Đồ thị hàm csc]] Trong toán học nói chung và lượng giác học nói riêng,
Trong toán học, các **khối đa diện Platon** là các đa diện lồi đều. Trên thực tế chỉ có đúng 5 đa diện đều Platon đó là tứ diện đều (tetrahedron), hình lập phương (hexahedron),
nhỏ|240x240px| Hằng số toán học [[Pi| là một số vô tỉ được thể hiện nhiều trong văn hóa đại chúng. ]] phải|nhỏ|240x240px| Số [[Căn bậc hai của 2| là số vô tỉ ]] Trong toán
thumb|Lăng kính tam giác phân tách chùm ánh sáng trắng, tách ra các bước sóng dài (đỏ) và các bước sóng ngắn hơn (màu lam). Đèn sư tử ở [[Hẻm núi Linh dương|Antelope Canyon, Hoa
**Triết học toán học** là nhánh của triết học nghiên cứu các giả định, nền tảng và ý nghĩa của toán học, và các mục đích để đưa ra quan điểm về bản chất và
nhỏ|Không gian mà chú cua [[còng này (có một càng to hơn bên kia nên là một hình không đối xứng) sinh sống là một mặt Mobius. Lưu ý rằng chú cua biến thành hình
Trong toán học tiêu khiển, **Số repunit** (hoặc gọi tắt đi là **repunit**) là các số tương tự như 11, 111, hoặc 1111, tức là các số chỉ bao gồm chữ số 1 — dạng
**Mikhail Vasilyevich Ostrogradsky** (, , 24 tháng 9 năm 1801 – 1 tháng 1, 1862) là một nhà toán học, cơ học, vật lý học người Nga. Ostrogradsky được cho là truyền nhân của Leonhard
**Igor Rostislavovich Shafarevich** (; sinh ngày 3 tháng 6 năm 1923 – mất ngày 19 tháng 2 năm 2017) là nhà toán học Liên Xô và Nga có cống hiến cho hai nhánh lý thuyết
Trong mật mã học, **RSA** là một thuật toán mật mã hóa khóa công khai. Đây là thuật toán đầu tiên phù hợp với việc tạo ra chữ ký điện tử đồng thời với việc