Lý thuyết số đại số là một nhánh của lý thuyết số sử dụng các kỹ thuật của đại số trừu tượng để nghiên cứu các số nguyên, các số hữu tỷ và các tổng quát hoá của chúng. Các câu hỏi lý thuyết số được thể hiện dưới dạng thuộc tính của các đối tượng đại số, chẳng hạn các trường số đại số và các vành số nguyên của chúng, các trường hữu hạn, và các trường hàm đại số. Những tính chất này, chẳng hạn như liệu một vành có thừa nhận tính chất nhân tử hoá, dáng điệu của các iđêan, và các nhóm Galois của các trường, có thể giải quyết các câu hỏi có tầm quan trọng hàng đầu trong lý thuyết số, như sự tồn tại của các lời giải cho các phương trình Diophantos.
nhỏ|Tranh bìa của bản phát hành đầu tiên của cuốn sách Disquisitiones Arithmeticae, Một trong những tác phẩm nền tảng của lý thuyết số đại số hiện đại.
Lịch sử
Diophantos
Sự bắt đầu của lý thuyết số học đại số có thể được tìm từ các phương trình Diophantos được đặt tên theo nhà toán học Alexandria thế kỷ thứ ba, Diophantos, người đã nghiên cứu chúng và phát triển các phương pháp giải quyết một số phương trình này. Một bài toán Diophantos điển hình là tìm hai số nguyên x và y sao cho tổng của chúng, và tổng bình phương, bằng hai số A và B tương ứng:
:
:
Các phương trình Diophantos đã được nghiên cứu trong hàng ngàn năm. Ví dụ, các lời giải cho phương trình Diophantos bậc hai x2 + y2 = z2 là các bộ ba số Pythagore, ban đầu được người Babylon (khoảng 1800 TCN) giải thành công. Các lời giải cho các phương trình Diophantos tuyến tính, như 26x + 65y = 13, có thể được tìm thấy bằng thuật toán Euclid (khoảng thế kỷ 5 TCN).
Tác phẩm chính của Diophantos là Arithmetica, trong đó chỉ có một phần còn lại đến ngày nay.
Fermat
Định lý cuối cùng của Fermat lần đầu tiên được Pierre de Fermat phỏng đoán năm 1637, nổi tiếng khi được ông viết ở mép của một bản sao của Arithmetica, tại đó ông tuyên bố ông có một lời giải quá lớn so với lề cuốn sách nên không ghi vào. Không có chứng minh nào thành công được xuất bản cho đến năm 1995 bất chấp những nỗ lực của vô số các nhà toán học trong suốt 358 năm liền. Bài toán chưa được giải quyết này đã kích thích sự phát triển của lý thuyết số đại số trong thế kỷ 19 và chứng minh định lý môđun trong thế kỷ 20.
Gauss
Một trong những tác phẩm nền móng của lý thuyết số đại số, Disquisitiones Arithmeticae (tiếng Latin, nghĩa là Khám phá số học) là một cuốn sách giáo khoa về lý thuyết số được viết bằng tiếng Latin của Carl Friedrich Gauss vào năm 1798 khi Gauss 21 tuổi và xuất bản lần đầu tiên năm 1801 khi ông 24 tuổi. Trong cuốn sách này Gauss kết hợp các kết quả trong lý thuyết số thu được bởi các nhà toán học như Fermat, Euler, Lagrange và Legendre và thêm các kết quả quan trọng mới của riêng mình. Trước khi cuốn Disquisitiones được công bố, lý thuyết số bao gồm một tập hợp các định lý cô lập và các phỏng đoán. Gauss kết hợp công trình của những người tiền nhiệm của mình cùng với tác phẩm của chính mình vào một khuôn khổ có hệ thống, lấp đầy các khoảng trống, sửa chữa các chứng minh sai và mở rộng chủ đề bằng nhiều cách.
Cuốn Disquisitiones là điểm xuất phát cho công trình của các nhà toán học châu Âu thế kỷ 19 khác bao gồm Ernst Kummer, Peter Gustav Lejeune Dirichlet và Richard Dedekind. Nhiều chú thích được Gauss đưa ra mang tính thông báo cho các nghiên cứu thêm của riêng ông, một số trong đó vẫn chưa được xuất bản. Các chú thích này chắc chắn có vẻ bí ẩn đối với những người cùng thời; bây giờ chúng ta có thể đọc chúng như là chứa các mầm mống của các lý thuyết của các hàm Lagrange và đặc biệt là phép nhân phức.
👁️
0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
**Lý thuyết số đại số** là một nhánh của lý thuyết số sử dụng các kỹ thuật của đại số trừu tượng để nghiên cứu các số nguyên, các số hữu tỷ và các tổng
thế=Groups of two to twelve dots, showing that the composite numbers of dots (4, 6, 8, 9, 10, and 12) can be arranged into rectangles but the prime numbers cannot|nhỏ| Hợp số có thể được
Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực lý thuyết nhóm hữu hạn, **định lý Sylow** là một nhóm các định lý được đặt tên theo nhà toán học Na Uy Ludwig Sylow vào
Trong lý thuyết nhóm, thuật ngữ **cấp** (tiếng Anh: _order_) có hai ý nghĩa, cả hai ý nghĩa này đều liên hệ mật thiết với nhau: * cấp của một nhóm _G_ chính là số
**Số hoàn hảo** (hay còn gọi là **số hoàn chỉnh**, **số hoàn thiện** hoặc **số hoàn thành**) là một số nguyên dương mà tổng các ước nguyên dương thực sự của nó (các số nguyên
Trong toán học, cụ thể là đại số giao hoán, một i-đê-an (trái) đích thực _Q_ của một vành giao hoán _A_ được gọi là **sơ cấp** (hay **nguyên sơ**) nếu với mọi _xy_ là
**Lý thuyết số** là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà
nhỏ|Các bảng số học dành cho trẻ em, Lausanne, 1835 **Số học** là phân nhánh toán học lâu đời nhất và sơ cấp nhất, được hầu hết mọi người thường xuyên sử dụng từ những
phải|Bài toán II.8 trong _Arithmetica_ của Diophantus, với chú giải của Fermat và sau đó trở thành định lý Fermat cuối cùng (ấn bản 1670) **Định lý cuối cùng của Fermat** (hay còn gọi là
**Igor Rostislavovich Shafarevich** (; sinh ngày 3 tháng 6 năm 1923 – mất ngày 19 tháng 2 năm 2017) là nhà toán học Liên Xô và Nga có cống hiến cho hai nhánh lý thuyết
**Đại học George Mason** (tiếng Anh: _George Mason University_; gọi tắt: _Mason_ hoặc _GMU_) là một trường đại học nghiên cứu công lập nằm tại quận Fairfax, bang Virginia, Hoa Kỳ. Trường nằm ở phía
**Lý thuyết số siêu việt** là một nhánh của lý thuyết số nghiên cứu các số siêu việt (các số không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức nào với các hệ
phải|nhỏ|Các số tự nhiên dùng để đếm (một quả táo, hai quả táo, ba quả táo....). Trong toán học, các **số tự nhiên** được sử dụng để đếm (như trong "có _sáu_ đồng xu trên
Trong hình học số học, **giả thuyết Mordell** là giả thuyết được đặt bởi Louis Mordell rằng đường cong với giống lớn hơn 1 trên trường **Q** của số hữu tỉ có hữu hạn số
**Đại học Gdańsk** () là một trường đại học nghiên cứu công lập ở Gdańsk, Ba Lan. Đây là một trung tâm quan trọng cho các nghiên cứu về ngôn ngữ Kashubia. ## Lịch
**Giả thuyết Catalan** (hoặc **định lý Mihăilescu**) là định lý trong lý thuyết số được đặt giả thuyết bởi nhà toán học Eugène Charles Catalan trong 1844 và được chứng minh trong 2002 bởi Preda
**Định lý Gelfond-Schneider** mang tên của nhà toán học người Nga Alexander Osipovich Gelfond (1906-1968) và của nhà toán học Theodor Schneider (1911-1988), hai người cùng độc lập chứng minh trong lý thuyết số định
Trong toán học, **định lý cơ bản của số học** (tiếng Anh: Fundamental theorem of arithmetic) hay **định lý phân tích thừa số nguyên tố** (tiếng Anh: Prime factorization theorem) phát biểu rằng mọi số
thumb=Goldbach_partitions_of_the_even_integers_from_4_to_28_300px.png|Các số nguyên chẵn từ 4 đến 28 được phân tích thành tổng của hai số nguyên tố. Giả thuyết Goldbach cho rằng mỗi số nguyên chẵn lớn hơn 2 có thể biểu diễn bằng
phải|nhỏ|290x290px| Một [[hình hộp chữ nhật thể hiện kích thước chiều dài, chiều rộng và chiều cao. ]] **Chiều cao** là thước đo khoảng cách dọc, phạm vi dọc (mức độ "cao" của một người
Trong lý thuyết số học, hai số nguyên tố p và q được gọi là cặp **số nguyên tố sinh đôi** nếu p-q=2. Hai số nguyên tố sinh đôi là một cặp số nguyên tố
thumb|[[Tượng Nhân sư lớn và Quần thể kim tự tháp Giza là những biểu tượng nổi bật nhất của nền văn minh Ai Cập cổ đại]] **Ai Cập cổ đại** là một nền văn minh
Trong lý thuyết số, số nguyên tố được gọi là **số nguyên tố Sophie Germain** nếu cũng là số nguyên tố. Số của số nguyên tố
Trong lý thuyết số, **trường cyclotomic** là trường số có được bằng cách mở rộng thêm căn đơn vị phức cho là trường các số hữu tỉ. Trừong cyclotomic đóng vai trò quan trọng trong
Đây là danh sách các nghịch lý được phân loại theo chủ đề. Việc phân loại dưới đây mang tính tương đối, vì nghịch lý có thể phù hợp với nhiều hơn một danh mục.
**Định lý của Ribet** (hay **Phỏng đoán Epsilon - Phỏng đoán ε**, tiếng Anh: **Ribet's theorem**) là một phần của lý thuyết số. Nó đề cập tới đến các thuộc tính của các biểu diễn
thumb|Hàm khoảng cách số nguyên tố Trong lý thuyết số, **Giả thuyết Firoozbakht** ) là giả thuyết về sự phân phối của các số nguyên tố. Nó được đặt tên theo nhà toán học Farideh
Trong lý thuyết số, **phân tích số nguyên** là việc phân tách một hợp số thành một tích của các số nguyên nhỏ hơn. Nếu các số nguyên đó giới hạn lại chỉ là số
**Số nguyên tố Mersenne** là một số nguyên tố có giá trị bằng 2n − 1. Ví dụ 31 là số nguyên tố Mersenne vì 31 = 25 − 1 (31 và 5 đều là
Trong toán học, một **số đại số nguyên** (đôi khi gọi là _số nguyên đại số_) là một nghiệm (thực hoặc phức) của một đa thức với các hệ số nguyên và có hệ số
thumb|Đại siêu thị châu Âu ở [[Phần Lan, một chi nhánh của K-Citymarket ở Trung tâm mua sắm Viiri ở Klaukkala, Nurmijärvi, Greater Helsinki ]] thumb|Đại siêu thị châu Á ở [[Philippines, một chi nhánh
**Hành tinh đại dương,** **thế giới đại dương,** **thế giới nước,** **aquaplanet** hoặc **hành tinh panthalassic** là một loại hành tinh đất đá có chứa một lượng đáng kể nước hoặc ở trên bề mặt
nhỏ|Giấy cói toán học Rhind: chi tiết (trực tràng, phần bên trái của phần đầu tiên Bảo tàng Anh Cục Ai Cập cổ đại và Sudan, EA10057) Được luật sư người Scotland A.H. Rhind mua
nhỏ|phải|Sơ đồ mạng PDM, với các công tác A, B, C, D có: các sự kiện BS, KS, BM, KM; thời gian T, các quan hệ với độ trễ: SS, SF, FS, FF. **Phương pháp
Trong toán học, **số dư** là lượng "còn lại" sau khi thực hiện một số tính toán. Trong số học, phần còn lại là số nguyên "còn lại" sau khi chia một số nguyên cho
nhỏ|Lý thuyết biểu diễn nghiên cứu cách các cấu trúc đại số "biến đổi" các đối tượng toán học. Ví dụ đơn giản nhất là cách [[Nhóm nhị diện|nhóm đối xứng của các đa giác
**Đại số** là một nhánh của toán học nghiên cứu những hệ thống trừu tượng nhất định gọi là cấu trúc đại số và sự biến đổi biểu thức trong các hệ thống này. Đây
**Tâm lý học** () là ngành khoa học nghiên cứu về tâm trí và hành vi, tìm hiểu về các hiện tượng ý thức và vô thức, cũng như cảm xúc và tư duy. Đây
thumb|[[Hình thất giác đều không thể dựng được thước kẻ và compa; Điều này có thể chứng minh sử dụng trường của số dựng được.]] Trong toán học, một **trường** là một tập hợp mà
Thí nghiệm kiểm tra lý thuyết tương đối tổng quát đạt độ chính xác cao nhờ tàu thăm dò không gian [[Cassini–Huygens|Cassini (ảnh minh họa): Các tín hiệu radio được gửi đi giữa Trái Đất
Trong vật lý học, **thuyết tương đối hẹp** (**SR**, hay còn gọi là **thuyết tương đối đặc biệt** hoặc **STR**) là một lý thuyết vật lý đã được xác nhận bằng thực nghiệm và chấp
thumb|upright|[[Wilhelm Röntgen (1845–1923), người đầu tiên nhận giải Nobel Vật lý.]] Mặt sau huy chương giải Nobel vật lý **Giải Nobel Vật lý** là giải thưởng hàng năm do Viện Hàn lâm Khoa học Hoàng
**Tiểu thuyết** (chữ Hán: 小說) là một thể loại văn xuôi có hư cấu, thông qua nhân vật, hoàn cảnh, sự việc để phản ánh bức tranh xã hội rộng lớn và những vấn đề
**Lịch sử của thuyết tương đối hẹp** bao gồm rất nhiều kết quả lý thuyết và thực nghiệm do nhiều nhà bác học khám phá như Albert Abraham Michelson, Hendrik Lorentz, Henri Poincaré và nhiều
Trong hình học đại số và vật lý lý thuyết, **đối xứng gương** là mối quan hệ giữa các vật thể hình học được gọi là những đa tạp Calabi-Yau. Các đa tạp này có
Mô phỏng dựa theo thuyết tương đối rộng về chuyển động quỹ đạo xoáy tròn và hợp nhất của hai hố đen tương tự với sự kiện [[GW150914. Minh họa hai mặt cầu đen tương
**Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh** (, viết tắt là **VNUHCM**), mã đại học **QS**, là một trong hai hệ thống đại học quốc gia của Việt Nam bên cạnh Đại học
Phải|Hệ Mặt Trời với Mặt Trời ở trung tâm phải|Hệ nhật tâm (bên dưới) so sánh với mô hình địa tâm (bên trên) Trong thiên văn học, **mô hình nhật tâm** là lý thuyết cho
right|thumb|Kí hiệu tập hợp **số thực** (ℝ) Trong toán học, một **số thực** là một giá trị của một đại lượng liên tục có thể biểu thị một khoảng cách dọc theo một đường thẳng
Một sự thể đồ hoạ của [[thông điệp Arecibo – nỗ lực đầu tiên của con người nhằm sử dụng sóng radio để thông báo sự hiện diện của mình tới các nền văn minh