✨Trường cyclotomic

Trường cyclotomic

Trong lý thuyết số, trường cyclotomic là trường số có được bằng cách mở rộng thêm căn đơn vị phức cho là trường các số hữu tỉ.

Trừong cyclotomic đóng vai trò quan trọng trong phát triển đại số hiện đại và lý thuyết số bởi quan hệ của nó với định lý lớn Fermat. Fermat dùng nó trong quá trình nghiên cứu các phép tính trong các trường cho số nguyên tố ) – và chính xác hơn thì, do không thể phân tích duy nhất trong các vành nguyên .

Định nghĩa

Với , đặt ; là căn đơn vị nguyên thủy thứ . Trường cyclotomic thứ là mở rộng của sinh bởi .

Tính chất

  • Đa thức cyclotomic thứ
    : \Phin(x) = !!!\prod\stackrel{1\le k\le n}{\gcd(k,n)=1}!!! \left(x-e^{2\pi i k/n}\right)

    !!!\prod_\stackrel{1\le k\le n}{\gcd(k,n)=1}!!! (x-{\zeta_n}^k)

    không phân tích được, nên nó là đa thức tối tiểu của trên .
  • Liên hợp của trong cũng là căn đơn vị nguyên thủy thứ : với và .
  • Bậc của là , với là hàm phi Euler.
  • Các nghiệm của là lũy thừa của , nên là trường phân rã của (hoặc của ) trên .
  • Do đó, là mở rộng Galois của .
  • Nhóm Galois \operatorname{Gal}(\mathbf{Q}(\zeta_n)/\mathbf{Q}) đẳng cấu tự nhiên với nhóm nhân (\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})^\times, bao gồm các giá trị dư khả nghịch modulo , tức là các giá trị với và . Phép đẳng cấu biến mỗi \sigma \in \operatorname{Gal}(\mathbf{Q}(\zeta_n)/\mathbf{Q}) thành , với là số nguyên sao cho .
  • Vành số nguyên của là .
  • Với , biệt thức của mở rộng là: :: (-1)^{\varphi(n)/2}\, \frac{n^{\varphi(n) {\displaystyle\prod_{p|n} p^{\varphi(n)/(p-1).
👁️ 2 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
💫 Trường cyclotomic
Trong lý thuyết số, **trường cyclotomic** là trường số có được bằng cách mở rộng thêm căn đơn vị phức cho là trường các số hữu tỉ. Trừong cyclotomic đóng vai trò quan trọng trong
💫 Căn đơn vị
phải|nhỏ|Căn đơn vị cấp 5 trong [[Mặt phẳng phức]] Trong toán học, **căn đơn vị**, đôi khi gọi là số de Moivre, là số phức bất kỳ khi lũy thừa mũ nguyên dương có kết
💫 Số nguyên tố chính quy
Trong lý thuyết số, **số nguyên tố chính quy** là một loại đặc biệt của số nguyên tố, được định nghĩa bởi Ernst Kummer trong 1850 để chứng minh một số trường hợp của định
💫 Danh sách vấn đề mở trong toán học
Danh sách các vấn đề mở trong toán học ## Danh sách các bài toán mở trong toán học nói chung Nhiều nha toán học và tổ chức đã xuất bản danh sách cái bài
💫 Giả thuyết Catalan
**Giả thuyết Catalan** (hoặc **định lý Mihăilescu**) là định lý trong lý thuyết số được đặt giả thuyết bởi nhà toán học Eugène Charles Catalan trong 1844 và được chứng minh trong 2002 bởi Preda
💫 Số nguyên Gauss
Một **số nguyên Gauss** là một số phức với phần thực và phần ảo đều là các số nguyên. Tập các số nguyên Gauss là một miền nguyên, thường được ký hiệu là **Z**[_i_]. Các
💫 Charles Helou
**Charles Helou** () (25 tháng 9 năm 1913 – 7 tháng 1 năm 2001) là tổng thống của Liban từ năm 1964 đến năm 1970. ## Tiểu sử Helou sinh ra tại Beirut, ngày 25
💫 Repunit
Trong toán học tiêu khiển, **Số repunit** (hoặc gọi tắt đi là **repunit**) là các số tương tự như 11, 111, hoặc 1111, tức là các số chỉ bao gồm chữ số 1 — dạng
💫 Emmy Noether
**Amalie Emmy Noether** (, ; ; 23 tháng 3 năm 1882 – 14 tháng 4 năm 1935) là một nhà toán học người Đức nổi tiếng vì những đóng góp nền tảng và đột phá