✨Căn đơn vị

phải|nhỏ|Căn đơn vị cấp 5 trong [[Mặt phẳng phức]] Trong toán học, căn đơn vị, đôi khi gọi là số de Moivre, là số phức bất kỳ khi lũy thừa mũ nguyên dương có kết quả bằng 1. Căn đơn vị được sử dụng trong nhiều nhánh của toán học, và đặc biệt quan trọng trong lý thuyết số, lý thuyết nhóm tính chất, và biến đổi Fourier rời rạc.

Trong lý thuyết trường và lý thuyết vành, khái niệm căn đơn vị cũng áp dụng cho bất kỳ vành nào có phần tử nhân được. Trường đóng đại số có chính xác căn đơn vị cấp nếu không chia hết cho đặc trưng của trường.

Định nghĩa

Căn đơn vị cấp , trong đó là một số nguyên dương (tức là ), là một số thỏa phương trình sau:

:$z^n\; =\; 1$

Nếu không nói gì thêm, căn đơn vị là các số phức, (bao gồm số 1, và số -1 nếu n chẵn, là các số phức với phần ảo bằng 0), và trong trường hợp này, căn đơn vị cấp có dạng

:$e^\{\backslash frac\{2k\backslash pi\; i\}\{n=\backslash cos\backslash frac\{2k\backslash pi\}\{n\}+i\backslash sin\backslash frac\{2k\backslash pi\}\{n\},\backslash quad\backslash quad\; k=0,1,\backslash dots,\; n-1.$

Một căn đơn vị cấp được gọi là **** nếu nó không là một căn đơn vị cấp của các số nhỏ hơn :

:$z^k\; \backslash ne\; 1\; \backslash qquad\; (k\; =\; 1,\; 2,\; 3,\; \backslash dots,\; n-1)$

Nếu n là số nguyên tố, tất cả căn đơn vị cấp , ngoại trừ 1, đều nguyên thủy.

Ví dụ

Tìm các căn đơn vị cấp 3?

Theo định nghĩa, căn đơn vị cấp 3 là nghiệm của phương trình $z^3\; =\; 1$. Dễ thấy $z\; =\; 1$ là một nghiệm của phương trình, vậy 1 là một căn đơn vị cấp 3.

Tuy nhiên, còn 2 nghiệm phức của phương trình là $z=\backslash frac\{-1+i\backslash sqrt\{3\{2\}$ và $z=\backslash frac\{-1-i\backslash sqrt\{3\{2\}$.

Vậy tập các căn đơn vị cấp 3 là

:$U\_3=\backslash left\{1,\backslash frac\{-1+i\backslash sqrt\{3\{2\},\backslash frac\{-1-i\backslash sqrt\{3\{2\}\backslash right\}$