✨Định lý cơ bản của số học

Trong toán học, định lý cơ bản của số học (tiếng Anh: Fundamental theorem of arithmetic) hay định lý phân tích thừa số nguyên tố (tiếng Anh: Prime factorization theorem) phát biểu rằng mọi số nguyên lớn hơn 1 đều có thể được biểu diễn bằng một tích của các số nguyên tố duy nhất,

Ví dụ:

$1200\; =\; 2^4\; .\; 3^1\; .\; 5^2$

Điều này có hai ý nghĩa: Thứ nhất, số 1200 có thể được biểu diễn bằng tích của các số nguyên tố, và thứ hai - không quan trọng cách làm hay hướng đi, số 1200 này sẽ luôn là tích của 4 số 2 - 1 số 3 và 2 số 5. Việc phân tích ra thừa số nguyên tố là rất quan trọng, vì nếu như phân tích ra các hợp số, kết quả này không đồng nhất, ví dụ:

$16\; =\; 2.8\; =\; 4.4\; =\; 1.16$

Định lý này cũng là một trong những lý do để khẳng định 1 không phải số nguyên tố, vì nếu 1 là số nguyên tố - việc phân tích thừa số nguyên tố của một số khi đó sẽ trở nên không thể đồng nhất, khi mà ta có thể viết:

$2\; =\; 2.1\; =\; 2.1.1\; =...$

Định lý này góp phần xây dựng nên các cấu trúc đại số, đặc biệt là với vành đa thức và trường.

Phát biểu của Euclid

Trong bộ sách Cơ sở của Euclid, ông đã nêu ra định lý này và đưa ra chứng minh cho định lý như sau:

Nếu hai số nhân với nhau ra một số mới, và hai số đó được cấu thành bởi những số nguyên tố - số mới đó sẽ được cấu thành bởi những số nguyên tố ban đầu.

• Euclid, cuốn 7 - Cơ sở, câu 30.

Ta có thể hiểu câu này theo ngôn ngữ toán học hiện đại: Nếu như tích số ab chia hết cho số nguyên tố p, thì hoặc số a - hoặc số b sẽ chia hết cho p, hoặc là cả hai. Câu này cũng thường được biết tới là Bổ đề Euclid, và cũng chính là chìa khóa quan trọng để chứng minh Định lý cơ bản của số học.

Mọi hợp số đều được cấu thành bởi một vài số nguyên tố.

- Euclid, cuốn 7 - Cơ sở, câu 31.

Ngôn ngữ Toán học hiện đại: Mọi số nguyên lớn hơn 1 đều có ước số là các số nguyên tố. Mệnh đề này có thể được chứng minh bằng phản chứng.

Một số bất kì hoặc là số nguyên tố, hoặc là được tạo bởi các số nguyên tố.

• Euclid, cuốn 7 - Cơ sở, câu 32.

Câu 32 này là hệ quả của câu 31 đã được đề cập, từ đó chứng minh rằng sự phân tích thừa số nguyên tố là hoàn toàn khả thi với mọi số tự nhiên lớn hơn 1.

Nếu như một số được cấu thành bởi một số các số nguyên tố, nó sẽ không thể được cấu thành bởi một bộ các số nguyên tố khác - trừ chính bộ số nguyên tố tạo ra nó.

Euclid, cuốn 9 - Cơ sở, câu 14.

Ngôn ngữ Toán học hiện đại: Bội số chung nhỏ nhất của một số các số nguyên tố không thể là tích của một số các số nguyên tố khác. Câu 14 này được rút ra từ câu 30 của cuốn thứ 7 đã nêu trên, chứng minh rằng sự phân tích này cho ra một kết quả duy nhất - một điều được nhà toán học André Weil đặc biệt chỉ ra. thumb|[[Disquisitiones Arithmeticae|cae của nhà toán học Carl Friedrich Gauss xuất bản lần đầu năm 1801, đưa ra chứng minh đầy đủ lần đầu tiên của định lý này.]]

Phát biểu của định lý - Dạng phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên

Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 có thể viết một cách duy nhất (không kể sự sai khác về thứ tự các thừa số) thành tích các thừa số nguyên tố. Mọi số tự nhiên n lớn hơn 1, có thể viết duy nhất dưới dạng: :$n=\{p\_1\}^\{\backslash alpha\_1\}\{p\_2\}^\{\backslash alpha\_2\}\; \{\backslash dots\}\; \{p\_k\}^\{\backslash alpha\_k\}$

trong đó $\{p\_1\},\{p\_2\},,\{\backslash dots\},\; \{p\_k\}$ là các số nguyên tố và $\backslash alpha\_1,\backslash alpha\_2,\backslash dots,\backslash alpha\_k$ là các số tự nhiên dương. Tuy nhiên do tính giao hoán của phép nhân các số tự nhiên, tính duy nhất bỏ qua các sai khác về thứ tự các thừa số. Vế phải của đẳng thức này được gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của n.

Chẳng hạn : $6936\; =\; 2^3\; \backslash times\; 3\; \backslash times\; 17^2,\; \backslash ,!$

: $1200\; =\; 2^4\; \backslash times\; 3\; \backslash times\; 5^2.\; \backslash ,!$

Lịch sử

Người ta cho rằng định lý được Euclid chứng minh, tuy nhiên nó được trình bày đầy đủ lần đầu tiên trong Disquisitiones Arithmeticae bởi Carl Friedrich Gauss.

Chứng minh của Euclid

Chứng minh gồm hai phần. Phần một chứng minh mọi số có thể viết dưới dạng tích của một hoặc nhiều số nguyên tố. Phần thứ hai chứng tỏ rằng biểu diễn đó là duy nhất.

Phân tích các số

Trước hết, mỗi số nguyên tố là tích của một thừa số là chính nó. Giả sử rằng có các số nguyên dương lớn hơn 1 không biểu diễn được thành tích các số nguyên tố. Khi đó gọi n là số nhỏ nhất trong các số đó. Số n này khác 1 và là hợp số. Do đó

:n = ab

trong đó cả a và b là các số nguyên dương nhỏ hơn n. Vì n là số nhỏ nhất không thể phân tích thành tích các số nguyên tố nên cả a và b phân tích được thành tích các số nguyên tố. Nhưng khi đó

:n = ab

lại phân tích được. Điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Chứng minh cách biểu diễn là duy nhất

Ta giả sử rằng tồn tại số nguyên lớn hơn 1 mà có 2 cách biểu diễn dưới dạng tích các thừa số nguyên tố. Khi đó giả sử s là số nhỏ nhất trong các số như vậy, tức là $s=p\_1p\_2...p\_m=q\_1q\_2...q\_n$ với $p\_i,\; q\_j$ là các số nguyên tố. Do

$p\_1$ chia hết $q\_1q\_2...q\_n$ suy ra tồn tại $q\_j$ mà $p\_1$ chia hết $q\_j$. Từ đó ta có $p\_i=q\_j$, bỏ 2 số nguyên tố ra khỏi đẳng thức ta được 2 vế là 2 khai triển khác nhau của số s chia cho $p\_1$, mà theo giả thuyết s là số nhỏ nhất như vậy, mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết là sai. vậy mỗi số nguyên lớn hơn một chỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng tích thừa số nguyên tố (không kể đến thứ tự các thừa số).