Trong đại số trừu tượng, định lý Abel–Ruffini (còn gọi là định lý bất khả Abel) phát biểu rằng không tồn tại nghiệm đại số—tức là nghiệm biểu diễn bằng căn thức—của phương trình đa thức tổng quát bậc 5 hoặc lớn hơn với các hệ số bất kỳ. Định lý mang tên Paolo Ruffini, người đã đưa ra chứng minh chưa chặt chẽ cho định lý này vào năm 1799, và Niels Henrik Abel, mà ông đã chứng minh được vào năm 1824.
Giải thích
thumb|[[Paolo Ruffini, Teoria generale delle equazioni, 1799]]
Định lý không bác bỏ các phương trình đa thức bậc cao không tồn tại nghiệm. Thực ra điều ngược lại mới đúng: mỗi phương trình đa thức không hằng một ẩn số, với các hệ số thực hoặc phức, luôn có ít nhất một nghiệm số phức (và do đó, bằng cách chia đa thức, với nghiệm phức và số bậc của nó, hay đếm số nghiệm lặp lại); hay đây chính là định lý cơ bản của đại số. Các nghiệm này có thể tính đến độ chính xác bất kỳ mong muốn bằng cách sử dụng các phương pháp số như phương pháp Newton hoặc phương pháp Laguerre, và theo cách này không có sự khác biệt giữa nghiệm của các phương trình đa thức bậc hai, bậc ba hoặc bậc bốn. Nó cũng bác bỏ rằng không tồn tại phương trình đa thức bậc cao mà không thể giải được bằng căn thức: ví dụ, phương trình giải được bằng căn thức với mọi số nguyên dương . Định lý chỉ chứng minh là không có nghiệm tổng quát bằng căn thức mà có thể áp dụng cho mọi phương trình có bậc lớn hơn .
Nghiệm của phương trình đa thức bậc hai được biểu diễn theo các hệ số của nó, chỉ sử dụng các phép cộng, trừ, nhân, chia và căn bậc hai, tương tự như công thức toàn phương: các nghiệm của phương trình (với ) là
:.
Các công thức tương tự cho phương trình bậc ba và phương trình bậc bốn (sử dụng căn bậc hai và căn bậc ba) đã được biết từ thế kỷ 16. Cái mà định lý Abel–Ruffini nói rằng không có công thức tương tự cho phương trình tổng quát bậc năm hoặc cao hơn. Về mặt nguyên lý, phương trình bậc năm có thể tách thành một vài loại, mà đối với mỗi loại này, có thể có một số nghiệm đại số thỏa mãn yêu cầu. Hoặc theo như nhà toán học Ian Stewart viết, “với mọi phương trình mà phương pháp Abel có thể chứng minh, mỗi loại phương trình bậc năm đặc biệt có thể giải được với một công thức nghiệm đặc biệt cho mỗi phương trình loại đó.” Tuy nhiên, điều này là không đúng, và sự không thể này là một kết quả mạnh chặt chẽ hơn định lý Abel–Ruffini và bắt nguồn từ lý thuyết Galois.
👁️
1 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
Trong đại số trừu tượng, **định lý Abel–Ruffini** (còn gọi là **định lý bất khả Abel**) phát biểu rằng không tồn tại nghiệm đại số—tức là nghiệm biểu diễn bằng căn thức—của phương trình đa
**Niels Henrik Abel** (5 tháng 8 năm 1802 – 6 tháng 4 năm 1829), là một nhà toán học người Na Uy có nhiều đóng góp trong giải tích và đại số, trong đó có
thumb|[[Hình thất giác đều không thể dựng được thước kẻ và compa; Điều này có thể chứng minh sử dụng trường của số dựng được.]] Trong toán học, một **trường** là một tập hợp mà
phải|nhỏ|250x250px|Ma trận biến đổi _A_ tác động bằng việc kéo dài vectơ _x_ mà không làm đổi phương của nó, vì thế _x_ là một vectơ riêng của _A_. Trong đại số tuyến tính, một
thumb|Căn bậc hai của 2 là số đại số bằng độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông có chân là độ dài 1. Trong toán học, một **số đại số** là một nghiệm
Trong số học và đại số, **lũy thừa năm** của một số _n_ là kết quả của việc nhân năm số _n_ với nhau. Nghĩa là: :_n_5 = _n_ × _n_ × _n_ × _n_
Trong toán học, **đa thức** là biểu thức bao gồm các biến và các hệ số, và chỉ dùng các phép cộng, phép trừ, phép nhân, và lũy thừa với số mũ tự nhiên của
**Đại số** là một nhánh của toán học nghiên cứu những hệ thống trừu tượng nhất định gọi là cấu trúc đại số và sự biến đổi biểu thức trong các hệ thống này. Đây
phải|nhỏ|246x246px| Đồ thị của một đa thức bậc 5, với 3 nghiệm thực và 4 [[điểm cực trị. ]] Trong đại số, **hàm số bậc năm** là hàm số có dạng : trong đó
phải|nhỏ|210x210px|Đồ thị của một hàm số bậc ba với 3 [[Nghiệm số|nghiệm số thực (tại đó đường đồ thị cắt trục hoành—thỏa mãn ). Hình vẽ cho thấy hai điểm cực trị. Phương trình của
**Phương trình** là một biểu thức toán học có chứa các biến số và các phép toán, trong đó các giá trị của các biến được tìm kiếm để làm cho cả biểu thức trở
phải|thumb|Đồ thị của hàm số bậc 3 có 3 nghiệm với 3 lần cắt trục hoành. Trong đại số, một **phương trình bậc ba** có một biến là một biểu thức có dạng: :
Trong toán học, **hàm số đại số** hay **hàm đại số** là một hàm số có thể được định nghĩa là nghiệm của phương trình đa thức. Các hàm đại số thường là các biểu
thumb|right|Các thao tác bước xoay [[Rubik|khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.]] Trong toán học, một **nhóm** (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán
_Cuốn [[The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing_]] Từ _toán học_ có nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể
**Phương trình bậc bốn** là một phương trình đơn biến có bậc cao nhất là 4. ## Tiểu sử Năm 1545 Girolamo Cardano(1501 - 1576) cho xuất bản cuốn Ars Magna, trong đó có trình