✨Phương trình bậc bốn

Phương trình bậc bốn

Phương trình bậc bốn là một phương trình đơn biến có bậc cao nhất là 4.

Tiểu sử

Năm 1545 Girolamo Cardano(1501 - 1576) cho xuất bản cuốn Ars Magna, trong đó có trình bày một phương pháp của Lodovico Ferrari về việc giải phương trình bậc bốn bằng cách đưa về giải phương trình bậc ba. Từ đây, mọi phương trình bậc bé hơn 4 và phương trình bậc bốn đều giải tổng quát được bằng công thức căn thức và số ảo.

Dạng tổng quát

Phương trình bậc bốn hệ số số phức:

x^4 + d_1x^3 + d_2x^2 + d_3x + d_4 = 0

d_1, d_2, d_3, d_4 \in \mathbb{C}

Đặt

x = Y - \frac{d_1}{4}

Phương trình bậc bốn đưa về dạng rút gọn theo ẩn Y:

Y^4 + a_2Y^2 + a_3Y + a_4 = 0

a_2, a_3, a_4 \in \mathbb{C}

Một cách giải phương trình bậc bốn đơn giản

Ta đưa phương trình bậc bốn về dạng rút gọn rồi giải như sau:

X^4 + aX^2 + bX + c = 0

Tương đương với:

(X^2 + m)^2 + (a - 2m)X^2 + bX + c -m^2 = 0

Hay:

(X^2 + m)^2 - (2m - a)[X^2 - \frac{b}{2m - a}X + \frac{m^2 -c}{2m - a}] = 0

Chọn m thỏa

\frac{b}{2(2m - a)} = \sqrt{\frac{m^2 - c}{2m - a

Hay:

b^2 = 4(2m - a)(m^2 - c)

m là nghiệm của một phương trình bậc 3 nên giải được.

*Nếu b = 0 thì phương trình bậc 4 đưa về dạng trùng phương, việc giải phương trình bậc 4 tương đương với việc giải phương trình bậc 2

X^4 + aX^2 + c = 0

*Nếu b≠0 thì (a - 2m)≠0, phương trình mới có dạng sau là hiệu của hai bình phương nên giải được bằng cách phân tích nhân tử bậc hai của X:

(X^2 + m)^2 - (2m - a)[X - \frac{b}{2(2m - a)}]^2 = 0

Hay

[X^2 - (\sqrt{2m - a})X + \frac{b}{2(\sqrt{2m - a})} + m][X^2 + (\sqrt{2m - a})X - \frac{b}{2(\sqrt{2m - a})} + m] = 0

Giải nghiệm hai phương trình bậc hai sẽ tìm được nghiệm phương trình bậc bốn

x_1 = \frac{1}{2}[\sqrt{2m - a} + \sqrt{-\frac{2b}{\sqrt{2m - a - 2m - a}]

x_2 = \frac{1}{2}[\sqrt{2m - a} - \sqrt{-\frac{2b}{\sqrt{2m - a - 2m - a}]

x_3 = \frac{1}{2}[-\sqrt{2m - a} + \sqrt{\frac{2b}{\sqrt{2m - a - 2m - a}]

x_4 = \frac{1}{2}[-\sqrt{2m - a} - \sqrt{\frac{2b}{\sqrt{2m - a - 2m - a}]

Ví dụ

x^4 + 4x^3 - 4x^2 - 12x + 9 = 0

x = y - \frac{d_1}{4} = y - 1

y^4 - 10y^2 + 4y + 14 = 0

a = -10, b = 4, c = 14, m = -4

y_1 = \frac{1}{2}(\sqrt{2} + \sqrt{-\frac{8}{\sqrt{2 + 8 + 10}) = 2.46374745

y_2 = \frac{1}{2}(\sqrt{2} - \sqrt{-\frac{8}{\sqrt{2 + 8 + 10}) = -1.049533887

y_3 = \frac{1}{2}(-\sqrt{2} + \sqrt{\frac{8}{\sqrt{2 + 8 + 10}) = 1,724808835

y_4 = \frac{1}{2}(-\sqrt{2} - \sqrt{\frac{8}{\sqrt{2 + 8 + 10}) = -3.139022397

444

x = y - 1

x_1 = 1.46374745

x_2 = -2.049533887

x_3 = 0.724808835

x_4 = -4.139022397

Cách giải bằng cách đặt ẩn

x^4 + a_2x^2 + a_3x + a_4 = 0

Đặt:

x_j = \omega^{j}u_1 + \omega^{2j}u_2 + \omega^{3j}u_3 + \omega^{4j}u_4

(Định thức Vandermonde khác không nên x_j bất kì)

\omega = cos(\frac{2\pi}{4}) + isin(\frac{2\pi}{4})

u_4 = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} = -\frac{a_1}{4} = 0

Do đó:

x_j = \omega^{j}u_1 + \omega^{2j}u_2 + \omega^{3j}u_3

Khi đó:

a_2 = -4u_1u_3 - 2u_2^{2}

a_3 = -4(u_1^{2} + u_3^{2})u_2

a_4 = - u_1^{4} - u_3^{4} + 2u_1^{2}u_3^{2} - 4u_1u_3u_2^{2} + u_2^{4}

*Nếu u₂ ≠ 0:

u_1u_3 = -\frac{a_2}{4} - \frac{u_2^{2{4}

u_1^2 + u_2^2 = -\frac{a_3}{4u_2}

a_4 = - [(u_1^{2} + u_3^{2})^2 - 2u_1^{2}u_3^{2}] + 2u_1^{2}u_3^{2} - 4u_1u_3u_2^{2} + u_2^{4}

Thay $u_1u_3, u_1^{2} + u_3^{2}$ theo u₂ vào a₄

u₂ là nghiệm của phương trình:

4u_2^6 + 2a_2u_2^{4} + (\frac{a_2^2}{4} - a_4)u_2^2 - \frac{a_3^{2{16} = 0

u₂² là nghiệm một phương trình bậc 3 nên giải được. Biết u₂ suy ra u₁, u₃

*Nếu u₂ = 0

x^4 - 4u_1u_3x^2 - u_1^{4} - u_3^{4} + 2u_1^{2}u_3^{2} = 0

u_1u_3 = -\frac{a_2}{4}

u_1^4 + u_3^4 = -(a_4 - \frac{a_2^2}{8})

Biết tích và tổng của hai số thì ta có thể tìm được hai số đó tương đương giải một phương trình bậc hai

Nói thêm về phương trình bậc lớn hơn 4

Một câu hỏi được đặt ra một cách rất tự nhiên: Liệu phương trình bậc 5 có giải tổng quát được bằng công thức hay không? Câu hỏi này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều người. Có thể kể ra một số trường hợp sau: Tschirnhaus đưa ra lời giải nhưng bị Leibniz chỉ ra là sai lầm. Euler đưa ra lời giải sai nhưng đồng thời lại tìm được phương pháp mới để giải phương trình bậc bốn. Lagrange cũng nghiên cứu vấn đề này và tìm ra cách thống nhất để giải quyết bài toán cho các phương trình bậc bé hơn hoặc bằng bốn. Tuy nhiên ông nói rằng phương pháp của ông sẽ sai nếu áp dụng cho phương trình bậc 5. Năm 1813, Ruffini công bố một chứng minh với nhiều sai sót rằng phương trình bậc 5 không giải được bằng căn thức. Cuối cùng, vào năm 1824 Niels Henrik Abel đã chứng minh một cách thuyết phục rằng phương trình bậc 5 tổng quát không giải được bằng căn thức. Và Évariste Galois(1811 - 1832), chàng thanh niên người Pháp 21 tuổi là người cuối cùng đưa ra lời giải rất sâu sắc cho bài toán tuyệt đẹp:"Làm thế nào để nhận biết một phương trình đại số là giải được hay không được bằng căn thức" bằng cách phát triển lý thuyết nhóm.

👁️ 1 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Phương trình bậc bốn

**Phương trình bậc bốn** là một phương trình đơn biến có bậc cao nhất là 4. ## Tiểu sử Năm 1545 Girolamo Cardano(1501 - 1576) cho xuất bản cuốn Ars Magna, trong đó có trình

💫 Phương trình bậc hai

Trong đại số sơ cấp, **phương trình bậc hai** là phương trình có dạng

ax^2 + bx + c = 0\,,

Với là ẩn số chưa biết và , , là các số đã

💫 Phương trình bậc ba

phải|thumb|Đồ thị của hàm số bậc 3 có 3 nghiệm với 3 lần cắt trục hoành. Trong đại số, một **phương trình bậc ba** có một biến là một biểu thức có dạng: :

ax^3+bx^2+cx+d=0

💫 Phương trình đại số

Một **phương trình đại số** với _n_ biến số là một phương trình có dạng: :_f_(_x_₁, _x_₂,..., _x__n) = 0 trong đó _f_(_x_₁,_x_₂,...,_x__n) là một đa thức của _n_ ẩn _x_₁, _x_₂,..., _x__{_n_}. :

f=\sum_{}^{} c_{e_1,e_2,...,e_n}x_1^{e_1}x_2^{e_2}

💫 Nguồn gốc của các phương trình Navier–Stokes

Mục đích của bài viết này là làm nổi bật những điểm quan trọng về nguồn gốc của các phương trình Navier–Stokes cũng như các ứng dụng và việc xây dựng công thức cho các

💫 Phương trình

**Phương trình** là một biểu thức toán học có chứa các biến số và các phép toán, trong đó các giá trị của các biến được tìm kiếm để làm cho cả biểu thức trở

💫 Phương trình trùng phương

Trong đại số sơ cấp, **phương trình trùng phương** (biquartic equation) là phương trình có dạng:

ax^4+bx^2+c=0

với

x

là ẩn số và

a

b

c

là các hệ số (hay còn được phân biệt với

💫 Phương trình Dirac

Trong vật lý hạt, **phương trình Dirac** là một phương trình sóng tương đối tính do nhà vật lý người Anh Paul Dirac nêu ra vào năm 1928 và sau này được coi

💫 Phương trình Maxwell

phải|nhỏ|James Clerk Maxwell Các **phương trình Maxwell** bao gồm bốn phương trình, đề ra bởi James Clerk Maxwell, dùng để mô tả trường điện từ cũng như những tương tác của chúng đối với vật

💫 Hàm số bậc năm

phải|nhỏ|246x246px| Đồ thị của một đa thức bậc 5, với 3 nghiệm thực và 4 [[điểm cực trị. ]] Trong đại số, **hàm số bậc năm** là hàm số có dạng :

g(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f,\,

trong đó

💫 Phương pháp Runge-Kutta

Trong giải tích số, các **phương pháp Runge-Kutta** là một họ của các phương pháp lặp ẩn (implicit) và hiện (explicit), trong đó bao gồm thường trình nổi tiếng được gọi là các phương pháp

💫 Python (ngôn ngữ lập trình)

**Python** () là ngôn ngữ lập trình bậc cao đa năng. Triết lý thiết kế của nó nhấn mạnh khả năng đọc mã bằng cách sử dụng thụt lề đáng kể. Python có kiểu động

💫 Nghiệm đại số

**Nghiệm đại số** là một nghiệm được biểu hiện ở dạng biểu thức đóng, và cụ thể hơn là một biểu thức đại số dạng đóng. Nó là nghiệm của một phương trình đại số

💫 C Sharp (ngôn ngữ lập trình)

**C#** (**C Sharp**, đọc là _"xi-sáp"_) là một ngôn ngữ lập trình hướng đối tượng đa năng, mạnh mẽ được phát triển bởi Microsoft, C# là phần khởi đầu cho kế hoạch .NET của họ.

💫 Phương trình Hardy–Weinberg

nhỏ|Đường cong phân bố các kiểu gen trong trường hợp hai alen cùng [[lô-cut gen|locus gen với tần số p (của A) và q (của a) theo phương trình = (p + q)².]] **Phương trình

💫 Trịnh Doanh

**Trịnh Doanh** (chữ Hán: 鄭楹, 4 tháng 12 năm 1720 – 12 tháng 5 năm 1767), thụy hiệu **Nghị Tổ Ân vương** (毅祖恩王), là vị chúa Trịnh thứ 7 thời Lê Trung hưng trong lịch

💫 Bắc Kinh

**Bắc Kinh** (; ), là thủ đô của nước Cộng hòa Nhân dân Trung Hoa. Thành phố nằm ở miền Hoa Bắc, và là một trong số bốn trực hạt thị của Trung Hoa, với

💫 Vương quốc Liên hiệp Anh và Bắc Ireland

**Vương quốc Liên hiệp Anh và Bắc Ireland**, còn được biết đến với tên gọi **Vương quốc Liên hiệp Đại Anh và Bắc Ireland** hoặc **Liên hiệp Vương quốc Anh và Bắc Ireland** (), hay

💫 Lịch sử Bắc Kinh

**Bắc Kinh** có lịch sử lâu dài và phong phú, nguyên truy từ cách nay 3.000 năm. Trước khi Tần Thủy Hoàng thống nhất Trung Hoa vào năm 221 TCN, Bắc Kinh là thủ đô

💫 Bắc Anh

**Miền Bắc nước Anh** hay **Bắc Anh** () được xem là một khu vực văn hoá riêng. Khu vực trải dài từ biên giới với Scotland tại phía bắc đến gần sông Trent tại phía

💫 Bắc Cực

:_Bài này nói về điểm nằm ở tận cùng phía Bắc của Trái Đất. Xem các nghĩa khác tại Bắc Cực (định hướng)_ nhỏ|phải|Điểm Cực Bắc **Bắc Cực** hay **cực Bắc của Trái Đất** (Cực

💫 C (ngôn ngữ lập trình)

**C** là một ngôn ngữ mệnh lệnh được phát triển từ đầu thập niên 1970 bởi Dennis Ritchie để dùng trong hệ điều hành UNIX. Từ đó, ngôn ngữ này đã lan rộng ra nhiều

💫 Hàm số bậc ba

phải|nhỏ|210x210px|Đồ thị của một hàm số bậc ba với 3 [[Nghiệm số|nghiệm số thực (tại đó đường đồ thị cắt trục hoành—thỏa mãn ). Hình vẽ cho thấy hai điểm cực trị. Phương trình của

💫 Bồn trũng Cửu Long

**Bồn trũng Cửu Long** hay **Bể Cửu Long** hoặc **Bể trầm tích Cửu Long** là một bồn trầm tích được lấp đầy bởi các vật liệu trầm tích Kainozoi với bề dày trầm tích tại

💫 Quan hệ Trung Quốc – Bắc Triều Tiên

**Quan hệ Trung Quốc- Triều Tiên** (, ) là quan hệ song phương giữa CHND Trung Hoa (PRC) và CHDCND Triều Tiên (DPRK). Trung Quốc và Triều Tiên trước đây có quan hệ ngoại giao

💫 Căn bậc hai của 2

thumb|Căn bậc hai của 2 bằng với độ dài của [[cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh đáy bằng 1.]] **Căn bậc hai của 2**, hay lũy thừa 1/2 của 2, được

💫 Phương ngữ Thanh Hóa

**Phương ngữ Thanh Hóa** hay **thổ ngữ Thanh Hóa**, **tiếng Thanh Hóa**, **tiếng địa phương Thanh Hóa** là một phương ngữ thuộc vùng phương ngữ Trung của tiếng Việt lưu hành chủ yếu trong phạm

💫 Định lý lớn Fermat

phải|Bài toán II.8 trong _Arithmetica_ của Diophantus, với chú giải của Fermat và sau đó trở thành định lý Fermat cuối cùng (ấn bản 1670) **Định lý cuối cùng của Fermat** (hay còn gọi là

💫 Mùa bão Tây Bắc Thái Bình Dương 2020

**Mùa bão Tây Bắc Thái Bình Dương 2020** là một sự kiện mà theo đó các xoáy thuận nhiệt đới hình thành ở vùng phía Tây Bắc của Thái Bình Dương trong năm 2020, chủ

💫 Phương tích của một điểm

nhỏ|Ý nghĩa hình học Trong hình học phẳng sơ cấp, **phương tích của một điểm** là một số thực thể hiện khoảng cách tương đối của điểm đó đối với một đường tròn cho trước.

💫 Lịch sử toán học

_Cuốn [[The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing_]] Từ _toán học_ có nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể

💫 Danh sách chương trình phát sóng của HTV

Dưới đây là **danh sách chương trình truyền hình đã và đang được phát sóng của Đài Truyền hình Thành phố Hồ Chí Minh**, được chia theo kênh và trạng thái phát sóng. Danh sách

💫 Trịnh Tùng

**Trịnh Tùng** (chữ Hán: 鄭松, 19 tháng 12 năm 1550 – 17 tháng 7 năm 1623), thụy hiệu **Thành Tổ Triết Vương** (成祖哲王), là vị chúa chính thức đầu tiên của dòng họ Trịnh dưới

💫 Trường (đại số)

thumb|[[Hình thất giác đều không thể dựng được thước kẻ và compa; Điều này có thể chứng minh sử dụng trường của số dựng được.]] Trong toán học, một **trường** là một tập hợp mà

💫 Đa thức

Trong toán học, **đa thức** là biểu thức bao gồm các biến và các hệ số, và chỉ dùng các phép cộng, phép trừ, phép nhân, và lũy thừa với số mũ tự nhiên của

💫 Trịnh Sâm

**Trịnh Sâm** (chữ Hán: 鄭森, 9 tháng 2 năm 1739 – 13 tháng 9 năm 1782), thụy hiệu **Thánh Tổ Thịnh vương** (聖祖盛王), là vị chúa thứ 8 của vương tộc Trịnh cầm quyền ở

💫 Trịnh Giang

**Trịnh Giang** (chữ Hán: 鄭杠, 14 tháng 10 năm 1711 – 30 tháng 12 năm 1762), còn có tên khác là **Trịnh Khương** (鄭橿), hay **Trịnh Cường**, thụy hiệu là **Dụ Tổ Thuận vương** (裕祖順王),

💫 Danh sách chương trình phát sóng của Đài Truyền hình Việt Nam

Dưới đây là **danh sách chương trình truyền hình đã và đang được phát sóng của Đài Truyền hình Việt Nam**, được chia theo kênh và trạng thái phát sóng. Danh sách này không bao

💫 Trịnh Căn

**Trịnh Căn** (chữ Hán: 鄭根, 18 tháng 7 năm 1633 Lúc nhỏ, Trịnh Căn chưa được xem là một ứng cử viên cho việc kế thừa ngôi Chúa, bởi bác cả của ông là Sùng

💫 Định lý Pythagoras

**Định lý Pythagoras**
Tổng diện tích của hai hình vuông có cạnh là hai cạnh vuông của tam giác vuông (_a_ và _b_) bằng diện tích của hình vuông có cạnh là cạnh huyền (_c_). Trong

💫 Trịnh Cương

**Trịnh Cương** (chữ Hán: 鄭棡, 9 tháng 7 năm 1686 – 20 tháng 12 năm 1729), còn có tên khác là **Trịnh Chù**, thụy hiệu là **Hy Tổ Nhân vương** (禧祖仁王), là vị chúa Trịnh

💫 Thần thoại Bắc Âu

[[Tập tin:Rökstenen - KMB - 16000300014216.jpg|nhỏ|392.997x392.997px| Hòn đá Rök, trên khắc những ký tự của cổ ngữ Rune. Đặt ở Rök, Thụy Điển. ]] **Thần thoại Bắc Âu** bao gồm tôn giáo và tín ngưỡng

💫 Omar Khayyám

**Ghiyāth al-Dīn Abū al-Fatḥ ʿUmar ibn Ibrāhīm Nīsābūrī** (ngày 18 tháng 5 năm 1048 – ngày 4 tháng 12 năm 1131), thông thường được biết đến với tên gọi **Omar Khayyám** (),, là một nhà

💫 Đài Bắc

**Đài Bắc** (, Hán Việt: Đài Bắc thị; đọc theo _IPA: tʰǎipèi_ trong tiếng Phổ thông) là thủ đô của Trung Hoa Dân Quốc (Đài Loan) và là thành phố trung tâm của một vùng

💫 Nam–Bắc triều (Trung Quốc)

**Nam Bắc triều** (, 420-589) là một giai đoạn trong lịch sử Trung Quốc, bắt đầu từ năm 420 khi Lưu Dụ soán Đông Tấn mà lập nên Lưu Tống, kéo dài đến năm 589

💫 Sự kiện Vịnh Bắc Bộ

**Sự kiện Vịnh Bắc Bộ** (tiếng Anh: _Gulf of Tonkin incident_) là một cuộc chạm trán tầm cỡ quốc tế dẫn tới việc Hoa Kỳ tham gia trực tiếp hơn vào cuộc Chiến tranh Việt

💫 Kinh tế Bắc Triều Tiên

**Kinh tế Bắc Triều Tiên** phản ánh những quan hệ sản xuất, cơ cấu kinh tế và tình hình kinh tế, đời sống tại CHDCND Triều Tiên. Nhìn chung, nền kinh tế CHDCND Triều Tiên

💫 Phương hướng địa lý

thumb|252x252px|right|Các hướng trên một hoa hồng la bàn (_compass rose_). Bốn **phương** **hướng địa lý chính** là hướng Đông, hướng Tây, hướng Nam, hướng Bắc, thường được ký hiệu bằng chữ cái đầu tiên **Đ**,

💫 Trịnh Tông

**Đoan Nam Vương** **Trịnh Tông** (chữ Hán: 鄭棕; 10 tháng 10 năm 1763 - 23 tháng 7 năm 1786), còn có tên khác là **Trịnh Khải** (鄭楷) là vị chúa Trịnh thứ 10 thời Lê

💫 Thu Phương

**Thu Phương** (sinh ngày 9 tháng 10 năm 1972), tên đầy đủ là **Nguyễn Thị Thu Phương**, là một nữ ca sĩ kiêm nhà sản xuất thu âm người Việt Nam. Sinh ra trong một