✨Phương trình Maxwell

phải|nhỏ|James Clerk Maxwell

Các phương trình Maxwell bao gồm bốn phương trình, đề ra bởi James Clerk Maxwell, dùng để mô tả trường điện từ cũng như những tương tác của chúng đối với vật chất. Bốn phương trình Maxwell mô tả lần lượt:

• Điện tích tạo ra điện trường như thế nào (định luật Gauss).
• Sự không tồn tại của vật chất từ tích.
• Dòng điện tạo ra từ trường như thế nào (định luật Ampere).
• Và từ trường tạo ra điện trường như thế nào (định luật cảm ứng Faraday)

Đây cũng chính là nội dung của thuyết điện từ học Maxwell.

Lịch sử

Các công thức của Maxwell vào năm 1865 bao gồm 20 phương trình với 20 ẩn số, nhiều phương trình trong đó được coi là nguồn gốc của hệ phương trình Maxwell ngày nay. Các phương trình của Maxwell đã tổng quát hóa các định luật thực nghiệm được những người đi trước phát hiện ra: chỉnh sửa định luật Ampère (ba phương trình cho ba chiều (x, y, z)), định luật Gauss cho điện tích (một phương trình), mối quan hệ giữa dòng điện tổng và dòng điện dịch (ba phương trình (x, y, z)), mối quan hệ giữa từ trường và thế năng vectơ (ba phương trình (x, y, z), chỉ ra sự không tồn tại của từ tích), mối quan hệ giữa điện trường và thế năng vô hướng cũng như thế năng vectơ (ba phương trình (x, y, z), định luật Faraday), mối quan hệ giữa điện trường và trường dịch chuyển (ba phương trình (x, y, z)), định luật Ohm về mật độ dòng điện và điện trường (ba phương trình (x, y, z)), và phương trình cho tính liên tục (một phương trình). Các phương trình nguyên bản của Maxwell được viết lại bởi Oliver Heaviside và Willard Gibbs vào năm 1884 dưới dạng các phương trình vectơ. Sự thay đổi này diễn tả được tính đối xứng của các trường trong cách biểu diễn toán học. Những công thức có tính đối xứng này là nguồn gốc hai bước nhảy lớn trong vật lý hiện đại đó là thuyết tương đối hẹp và vật lý lượng tử.

Thật vậy, các phương trình của Maxwell cho phép đoán trước được sự tồn tại của sóng điện từ, có nghĩa là khi có sự thay đổi của một trong các yếu tố như cường độ dòng điện, mật độ điện tích... sẽ sinh ra sóng điện từ truyền đi được trong không gian. Vận tốc của sóng điện từ là c, được tính bởi phương trình Maxwell, bằng với vận tốc ánh sáng được đo trước đó bằng thực nghiệm. Điều này cho phép kết luận rằng ánh sáng là sóng điện từ. Các nghiên cứu về ánh sáng và sóng điện từ, tiêu biểu là các nghiên cứu của Max Planck về vật đen và của Heinrich Hertz về hiện tượng quang điện đã cho ra đời lý thuyết lượng tử.

Sự không phụ thuộc của vận tốc ánh sáng vào chiều và hệ quy chiếu - những kết luận được rút ra từ phương trình Maxwell - là nền tảng của thuyết tương đối. Chú ý rằng khi ta thay đổi hệ quy chiếu, những biến đổi Galileo cổ điển không áp dụng được vào các phương trình Maxwell mà phải sử dụng một biến đổi mới, đó là biến đổi Lorentz. Einstein đã áp dụng biến đổi Lorentz vào cơ học cổ điển và cho ra đời thuyết tương đối hẹp.

Tóm tắt

Bảng sau đây tóm tắt các phương trình và khái niệm cho trường hợp tổng quát. Ký hiệu bằng chữ đậm là vectơ, trong khi đó những ký hiệu in nghiêng là vô hướng.

Bảng sau đây liệt kê khái niệm của các đại lượng trong hệ đo lường SI:

Các đại lượng D và B liên hệ với E và H bởi:

:$\backslash mathbf\{D\}\; \backslash \; \backslash \; =\; \backslash \; \backslash \; \backslash varepsilon\_0\; \backslash mathbf\{E\}\; +\; \backslash mathbf\{P\}\; \backslash \; \backslash \; =\; \backslash \; \backslash \; (1\; +\; \backslash chi\_e)\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash mathbf\{E\}\; \backslash \; \backslash$
= \ \ \varepsilon \mathbf{E}

:$\backslash mathbf\{B\}\; \backslash \; \backslash \; =\; \backslash \; \backslash \; \backslash mu\_0\; (\backslash mathbf\{H\}\; +\; \backslash mathbf\{M\})\; \backslash \; \backslash \; =\; \backslash \; \backslash \; (1\; +\; \backslash chi\_m)\; \backslash mu\_0\; \backslash mathbf\{H\}\; \backslash \; \backslash \; =\; \backslash \; \backslash \; \backslash mu\; \backslash mathbf\{H\}$

trong đó:

$\backslash chi\_e$ là hệ số cảm ứng điện của môi trường, $\backslash chi\_m$ là hệ số cảm ứng từ của môi trường,

ε là hằng số điện môi của môi trường, và

μ là hằng số từ môi của môi trường.

Khi hai hằng số ε and μ phụ thuộc vào cường độ điện trường và từ trường, ta có hiện tượng phi tuyến; xem thêm trong các bài hiệu ứng Kerr và hiệu ứng Pockels.)

Trong môi trường tuyến tính

Trong môi trường tuyến tính, vectơ phân cực điện P (coulomb / mét vuông) và vectơ phân cực từ M (ampere / mét) cho bởi:

:$\backslash mathbf\{P\}\; =\; \backslash chi\_e\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash mathbf\{E\}$

:$\backslash mathbf\{M\}\; =\; \backslash chi\_m\; \backslash mathbf\{H\}$

Trong môi trường không tán sắc (các hằng số không phụ thuộc vào tần số của sóng điện từ), và đẳng hướng (không biến đổi đối với phép quay), ε và μ không phụ thuộc vào thời gian, phương trình Maxwell trở thành:

:$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash varepsilon\; \backslash mathbf\{E\}\; =\; \backslash rho$

:$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mu\; \backslash mathbf\{H\}\; =\; 0$

:$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{E\}\; =\; -\; \backslash mu\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{H\; \{\backslash partial\; t\}$

:$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{H\}\; =\; \backslash mathbf\{J\}\; +\; \backslash varepsilon\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{E\; \{\backslash partial\; t\}$

Trong môi trường đồng đều (không biến đổi đối với phép tịnh tiến), ε và μ không đổi theo không gian, và có thể được đưa ra ngoài các phép đạo hàm theo không gian.

Trong trường hợp tổng quát, ε và μ có thể là tensor hạng 2 mô tả môi trường lưỡng chiết. Và trong các môi trường tán sắc ε và/hoặc μ phụ thuộc vào tần số ánh sáng (sóng điện từ), những sự phụ thuộc này tuân theo mối liên hệ Kramers-Kronig.

Trong chân không

Chân không là môi trường tuyến tính, đồng đẳng (không biến đổi theo phép quay và phép tịnh tiến), không tán sắc, với các hằng số ε₀ và μ₀ (hiện tượng phi tuyến trong chân không vẫn tồn tại nhưng chỉ quan sát được khi cường độ ánh sáng vượt qua một ngưỡng rất lớn so với giới hạn tuyến tính trong môi trường vật chất).

:$\backslash mathbf\{D\}\; =\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash mathbf\{E\}$

:$\backslash mathbf\{B\}\; =\; \backslash mu\_0\; \backslash mathbf\{H\}$

Đồng thời trong chân không không tồn tại điện tích cũng như dòng điện, phương trình Maxwell trở thành:

:$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{E\}\; =\; 0$

:$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{H\}\; =\; 0$

:$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{E\}\; =\; -\; \backslash mu\_0\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash mathbf\{H\; \{\backslash partial\; t\}$

:$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{H\}\; =\; \backslash \; \backslash \; \backslash varepsilon\_0\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{E\; \{\backslash partial\; t\}$

Những phương trình này có nghiệm đơn giản là các hàm sin và cos mô tả sự truyền sóng điện từ trong chân không, vận tốc truyền sóng là:

:$c\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{\backslash mu\_0\; \backslash varepsilon\_0$

Cụ thể

Phương trình Maxwell-Gauss

Phương trình Maxwell-Gauss thừa hưởng từ định lý Gauss mô tả liên hệ giữa thông lượng điện trường qua một mặt kín và tổng điện tích chứa trong mặt kín đó:

$\backslash oint\_S\; \backslash mathbf\{D\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{A\}\; =\; \backslash int\_V\; \backslash rho\; dV$

Phương trình này nói lên rằng: mật độ điện tích là nguồn của điện trường. Nói cách khác, sự hiện diện của điện tích (vế phải) sẽ gây nên một điện trường có điện cảm D thể hiện ở vế trái. Ví dụ: một điện tích điểm q nằm ở gốc tọa độ O. Định luật Coulomb cho biết trường tĩnh điện sinh ra bởi điện tích điểm này tại một điểm M trong không gian. Ta có $\backslash mathbf\{OM\}\; =\; \backslash mathbf\{r\}\; =\; r\; \backslash \; \backslash mathbf\{u\}\_r$ với $\backslash mathbf\{u\}\_r$ là vectơ li tâm có độ lớn đơn vị:

Trường tĩnh điện này thỏa mãn phương trình Maxwell-Gauss với mật độ điện tích:

trong đó $\backslash delta^\{(3)\}(\backslash mathbf\{r\})$ là hàm delta Dirac ba chiều.

Bảo toàn thông lượng

Thông lượng của từ trường qua một mặt kín S luôn luôn bằng không:

$\backslash oint\_S\; \backslash mathbf\{B\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{S\}\; =\; 0$

Điều này chỉ ra sự không tồn tại của đơn cực từ. Tương tự như điện tích điểm cho điện trường trong định luật Gauss, đơn cực từ là nguồn điểm của từ trường và nó luôn bằng không. Trong thực tế, nguồn của từ trường là các thanh nam châm. Một thanh nam châm là một lưỡng cực từ bao gồm cực nam và cực bắc. Khi ta cắt thanh nam châm ra làm hai, ta sẽ thu được hai lưỡng cực từ chứ không phải là hai cực nam và bắc riêng biệt.

Phương trình Maxwell-Faraday

Phương trình Maxwell-Faraday hay Định luật cảm ứng Faraday (còn gọi là Định luật Faraday-Lenz) cho biết mối liên hệ giữa biến thiên từ thông trong diện tích mặt cắt của một vòng kín và điện trường cảm ứng dọc theo vòng đó. :$\backslash oint\_S\; \backslash mathbf\{E\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{s\}\; =\; -\{d\backslash Phi\_B\; \backslash over\; dt\}$ với E là điện trường cảm ứng, _d_s là một phần tử vô cùng bé của vòng kín và _d_Φ_B/dt là biến thiên từ thông.

Phương trình Maxwell-Ampere

. Phương trình Maxwell-Ampere cho biết sự lan truyền từ trường trong mạch kín với dòng điện đi qua đoạn mạch:

:$\backslash oint\_S\; \backslash mathbf\{B\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{s\}\; =\; \backslash mu$0 I{\mathrm{enc

trong đó:

$\backslash mathbf\{B\}$ là từ trường, $d\backslash mathbf\{s\}$ là thành phần vi phân của mạch kín $S$, $I\_\{\backslash mathrm\{enc$ là dòng điện bao phủ bởi đường cong $S$, $\backslash mu\_0$ là độ từ thẩm của môi trường, $\backslash oint\_S$ là đường tích phân theo mạch kín $S$.

Hệ đơn vị CGS

Các phương trình trên được cho trong hệ đo lường quốc tế (viết tắt là SI). Trong hệ CGS (hệ xentimét-gam-giây), các phương trình trên có dạng sau:

:$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{E\}\; =\; 4\backslash pi\backslash rho$

:$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{B\}\; =\; 0$

:$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{E\}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{c\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{B\{\backslash partial\; t\}$

:$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{c\}\; \backslash frac\{\; \backslash partial\; \backslash mathbf\{E\; \{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash frac\{4\backslash pi\}\{c\}\; \backslash mathbf\{J\}$

Trong chân không, các phương trình trên trở thành:

:$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{E\}\; =\; 0$

:$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{B\}\; =\; 0$

:$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{E\}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{c\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{B\; \{\backslash partial\; t\}$

:$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{c\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{E\{\backslash partial\; t\}$

Phương trình truyền sóng

Phương trình truyền sóng hay còn gọi là phương trình d'Alembert mô tả sự truyền đi của sóng điện từ trong môi trường.

Điện trường

Bắt đầu từ phương trình:

$\backslash nabla\backslash times(\backslash nabla\backslash times\backslash textbf\{E\})\; =\; \backslash nabla(\backslash nabla\backslash cdot\backslash textbf\{E\})-\backslash nabla^\{2\}\backslash textbf\{E\}$

Trong chân không (với mật độ điện tích bằng không), phương trình Maxwell - Gauss có dạng:

$\backslash nabla\backslash cdot\backslash textbf\{E\}=0$

nên phương trình đầu tiên trở thành:

$\backslash nabla\backslash times(\backslash nabla\backslash times\backslash textbf\{E\})\; =\; -\backslash nabla^\{2\}\backslash textbf\{E\}$.

Quay sang phương trình Maxwell-Faraday:

$\backslash nabla\backslash times\backslash textbf\{E\}=-\backslash frac\{\backslash partial\backslash textbf\{B\{\backslash partial\; t\}$

Lấy rot hai vế, phương trình trên trở thành:

$\backslash nabla\backslash times\backslash left(-\backslash frac\{\backslash partial\backslash textbf\{B\{\backslash partial\; t\}\backslash right)\; =\; \backslash nabla\backslash times(\backslash nabla\backslash times\backslash textbf\{E\})\; =\; -\; \backslash nabla^2\backslash textbf\{E\}$

Theo định luật Schwartz ta có thể đổi thứ tự của đạo hàm theo không gian và đạo hàm theo thời gian (hai biến này hoàn toàn độc lập trong vật lý phi tương đối tính):

$-\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}(\backslash nabla\backslash times\backslash textbf\{B\})\; =\; -\; \backslash nabla^2\backslash textbf\{E\}$

Cùng với mật độ điện tích, vectơ mật độ dòng điện trong chân không cũng bằng không $\backslash textbf\{j\}\; =\; \backslash textbf\{0\}$, nên phương trình Maxwell-Ampère trở thành:

$\backslash nabla\backslash times\backslash textbf\{B\}=\backslash frac\{1\}\{c^2\}\backslash frac\{\backslash partial\backslash textbf\{E\{\backslash partial\; t\}$

nên cuối cùng ta thu được một phương trình đạo hàm riêng cấp hai cho vecto cường độ điện trường $\backslash textbf\{E\}$ với nghiệm có dạng dao động điều hòa:

$\backslash nabla^2\backslash textbf\{E\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{c^\{2\; \backslash frac\{\backslash partial^2\backslash textbf\{E\{\backslash partial\; t^2\}$

Trong một số sách, ta có thể thấy phương trình này được viết dưới dạng:

$\backslash Delta\backslash textbf\{E\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{c^\{2\; \backslash frac\{\backslash partial^2\backslash textbf\{E\{\backslash partial\; t^2\}$

với toán tử $\backslash Delta=\backslash nabla^2$.

Đây là phương trình truyền sóng điện từ (thành phần điện trường) trong chân không. Trong dạng 4 chiều, phương trình này đặc biệt gọn:

$\backslash Delta\backslash textbf\{E\}=0$.

Từ trường

Hoàn toàn tương tự như trên cho từ trường, ta có:

$\backslash vec\{rot\}(\backslash vec\{rot\}\backslash vec\{H\})\; =\; \backslash vec\{grad\}(div\; \backslash vec\{H\})-\{\backslash nabla\}^\{2\}\backslash vec\{H\}$

Trong chân không mật độ dòng điện bằng không, phương trình Maxwell-Ampère trở thành:

$\backslash vec\{rot\}\backslash vec\{H\}=\backslash epsilon\_\{0\}\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash vec\{E\{\backslash partial\; t\}$

Phương trình trên trở thành:

$\backslash vec\{rot\}(\backslash epsilon\_\{0\}\backslash frac\{\backslash partial\backslash vec\{E\{\backslash partial\; t\})\; =\; -\; \{\backslash nabla\}^\{2\}\backslash vec\{H\}$

Theo định luật Schwartz ta co thể đổi thứ tự của đạo hàm theo không gian và đạo hàm theo thời gian:

$\backslash epsilon\_\{0\}\backslash frac\{\backslash partial\}\; \{\backslash partial\; t\}(\backslash vec\{rot\}\backslash vec\{E\})=\; -\; \{\backslash nabla\}^\{2\}\backslash vec\{H\}$

Theo định luật Maxwell-Faraday cho chân không ta có:

$\backslash vec\{rot\}\backslash vec\{E\}=-\backslash mu\_0\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash vec\{H\{\backslash partial\; t\}$

Thu được:

$\{\backslash nabla\}^\{2\}\backslash vec\{H\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{c^\{2\; \backslash frac\{\backslash partial^\{2\}\backslash vec\{H\{\backslash partial\; t^\{2$ $\{\backslash square\backslash vec\{H\}\; =\; \backslash vec\{0$

trong đó $\{\backslash square\; =\; \backslash Delta\; -\; \backslash frac\{\backslash partial^\{2\{\backslash partial\; t^\{2\}$ là toán tử d'Alembert. Đây là phương trình truyền sóng điện từ (thành phần từ trường) trong chân không.

= Xem thêm =

• Phương trình truyền sóng
• Đơn cực từ
• Vectơ Poynting