✨Phương trình liên tục

Phương trình liên tục diễn tả một khái niệm chung về sự thay đổi liên tục của một đại lượng nào đó. Phương trình liên tục là một dạng của các định luật bảo toàn.

Trong điện từ học

Trong điện từ học, phương trình liên tục được dẫn ra từ các phương trình Maxwell. Theo đó, div mật độ dòng bằng sự thay đổi mật độ điện tích nhưng ngược dấu: :$\{\backslash operatorname\{div\}\; \backslash mathbf\{j\; +\; =\; 0$

Dẫn dắt công thức

Theo định luật Ampe: :$\{\backslash operatorname\{rot\}\; \backslash mathbf\{H\; =\; j\; +$ Lấy div 2 vế, thu được: :$\backslash operatorname\{div\}\; \backslash operatorname\{rot\}\; \backslash mathbf\{H\}\; =\; \{\backslash operatorname\{div\}\; \backslash mathbf\{j\; +\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}\; \backslash operatorname\{div\}\; \backslash mathbf\{D\}$

nhưng vì div rot bằng không, vì vậy: :$\backslash operatorname\{div\}\; \backslash mathbf\{j\}\; +\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}\; \backslash operatorname\{div\}\; \backslash mathbf\{D\}\; =\; 0$ Theo định lý Gauss:

$\backslash operatorname\{div\}\; \backslash mathbf\{D\}\; =\; \backslash rho$ Thay biểu thức trên vào phương trình trước, ta thu được phương trình liên tục. ### Giải thích Mật độ dòng - là chuyển động của các điện tích. Phương trình liên tục nói rằng, nếu điện tích thoát ra từ một thể tích sai biệt (nghĩa là div của mật độ dòng luôn dương), thì số lượng điện tích bên trong thể tích sẽ giảm xuống. Trong trường hợp này vận tốc thay đổi mật độ điện tích là đại lượng âm.

Lý thuyết sóng

Trong lý thuyết về sóng, phương trình liên tục là định luật bảo toàn năng lượng trong một đơn vị thể tích có sóng lan truyền. Dạng vi phân của nó như sau: : $\backslash operatorname\{div\}\backslash mathbf\{j\}+\backslash frac\{\backslash partial\; w\}\{\backslash partial\; t\}=0$ trong đó $\backslash mathbf\{j\}=\backslash mathbf\{j\}(x,y,z,t)$ - là vec-tơ mật độ dòng năng lượng tại điểm có tọa độ $\backslash left(x,\; y,\; z\backslash right)$ tại thời điểm $\backslash ,t$, $\backslash ,w=w(x,y,z,t)$ - là mật độ năng lượng.

Dẫn dắt

Theo định nghĩa, vec-tơ mật độ dòng năng lượng - là vec-tơ có môdul bằng năng lượng chuyển qua một đơn vị diện tích vuông góc với hướng truyền năng lượng trong một đơn vị thời gian, nghĩa là $j=\backslash frac\{dW\}\{dtdS\_\{\backslash bot$, còn hướng của vec-tơ trùng với hướng truyền năng lượng. Khi đó năng lượng trong một đơn vị thời gian từ một thể tích V:

: $\backslash oint\backslash limits${S}{\mathbf{j}d\mathbf{S=\frac{dW{out{dt}

Theo định luật bảo toàn năng lượng $\backslash frac\{dW${out{dt}=-\frac{dW{in{dt}, trong đó $W${in} - năng lượng trong thể tích V. Theo định nghĩa, mật độ năng lượng - năng lượng của một đơn vị thể tích, khi đó năng lượng toàn phần trong phần thể tích V bằng: : $W${in}=\int\limits_{V}{wdV}

Khi đó biểu thức cho dòng năng lượng có dạng: : $\backslash oint\backslash limits${S}{\mathbf{j}d\mathbf{S=-\frac{d}{dt}\int\limits{V}{wdV}=-\int\limits{V}{\frac{\partial w}{\partial t}dV} Áp dụng công thức Gauss-Ostrogradsky cho phần bên trái, thu được: : $\backslash int\backslash limits${V}{\operatorname{div}\mathbf{j}dV}=-\int\limits_{V}{\frac{\partial w}{\partial t}dV} Do chọn bất kỳ thể tích, nên ta thu được dạng vi phân của phương trình liên tục.

Thủy động lực học

Trong thủy động lực học, phương trình liên tục còn được gọi là phương trình không gián đoạn. Nó biểu diễn định luật bảo toàn khối lượng trong một đơn vị thể tích, nghĩa là sự liên tục của dòng chất lỏng hoặc khí. Dạng vi phân của nó như sau: : $\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash rho\; \}\{\backslash partial\; t\}+\backslash operatorname\{div\}\backslash rho\; \backslash mathbf\{v\}=\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash rho\; \}\{\backslash partial\; t\}+\backslash rho\; \backslash operatorname\{div\}\backslash ,\backslash mathbf\{v\}+\backslash mathbf\{v\}\backslash operatorname\{grad\}\backslash rho\; =0$

trong đó $\backslash rho\; =\; \backslash rho\backslash left(x,y,z,t\backslash right)$ - mật độ chất lỏng (khí), $\backslash mathbf\{v\}=\backslash mathbf\{v\}\backslash left(x,y,z,t\; \backslash right)$ - vec-tơ vận tốc chất lỏng (khí) tại điểm có tọa độ tại thời điểm $\backslash ,t$.

Vec-tơ $\backslash mathbf\{j\}=\backslash rho\; \backslash mathbf\{v\}$ gọi là mật độ dòng chất lỏng. Hướng của nó trùng với hướng của dòng chảy, còn giá trị tuyệt đối được xác định bằng lượng chất chảy trong một đơn vị thời gian qua một đơn vị diện tích vuông góc với vec-tơ vận tốc. Đối với chất lỏng không bị nén $\backslash ,\backslash rho\; =\; \backslash operatorname\{const\}$. Vì thế phương trình có dạng: : $\backslash operatorname\{div\}\backslash ,\backslash mathbf\{v\}=0$ từ đó suy ra tính sôlenoit của trường vận tốc.

Cơ học lượng tử

Trong cơ học lượng tử phi tương đối tính, phương trình liên tục được dẫn ra từ sự bảo toàn xác suất. Gọi P(x, t) - mật độ xác suất, khi đó phương trình liên tục như sau: : $\backslash operatorname\{div\}\backslash mathbf\{j\}+\backslash frac\{\backslash partial\; \}\{\backslash partial\; t\}P(x,t)=0$ trong đó j - dòng xác suất.