✨Toán học của thuyết tương đối rộng

Toán học của thuyết tương đối rộng là mô hình chứa đựng cấu trúc và kỹ thuật toán học được sử dụng để nghiên cứu và thiết lập lên thuyết tương đối rộng của Einstein. Công cụ chính sử dụng trong lý thuyết hình học về lực hấp dẫn này là trường tenxơ xác định trên đa tạp Lorentz biểu diễn không thời gian. Bài viết này miêu tả tổng quan về toán học của thuyết tương đối tổng quát.

Ký hiệu

Trong toàn bộ bài viết, chúng ta sử dụng dấu metric kiểu không gian $\backslash scriptstyle\; (-,\; +,\; +,\; +)$ và hệ đơn vị hình học trong đó $G\; =\; c\; =\; 1$ mặc dù khi cần thiết chúng ta sẽ viết rõ tốc độ ánh sáng, c. Chúng ta sẽ viết đậm các tenxơ, ví dụ $\backslash boldsymbol\; V$, và các mũi tên bên ám chỉ các vectơ ba chiều hoặc các toán tử, ví dụ $\backslash overrightarrow\{v\}$ hoặc $\backslash overrightarrow\; \backslash nabla$. Đạo hàm hiệp biến và đạo hàm riêng bốn chiều sẽ được ký hiệu dạng tổng quát lần lượt là $\backslash nabla$\mu và $\backslash partial$\mu nhưng những ký hiệu khác có thể được sử dụng cho các khái niệm ít gặp hơn hoặc khi muốn so sánh với các công thức của cơ học Newton. Với quy ước chuẩn về cách tính tổng khi gặp các chỉ số lặp lại, các chỉ số Hy Lạp sẽ có giá trị từ 0 đến 3, trong khi các chỉ số Latin chạy từ 1 đến 3.

Khái niệm không thời gian

Bước quan trọng đầu tiên để hiểu đúng đắn thuyết tương đối rộng, và từ đó là cấu trúc toán học của nó, chính là sự từ bỏ ý tưởng của Galilei về một không gian tuyệt đối và thời gian tuyệt đối. Hơn thế, điều này đưa đến đề xuất cách mạng về sự từ bỏ ý nghĩ không gian và thời gian như là những thành phần của một phông nền cố định, một đối tượng mà mọi quá trình xảy ra trên nó. Từ đây, các nhà vật lý cần thiết phải coi không gian và thời gian là những yếu tố động lực trong các định luật của tự nhiên, và cũng vì thế mà những định luật này bị ảnh hưỏng sâu sắc bởi chúng. Ý tưởng cách mạng này nằm ở trung tâm của thuyết tương đối và là một trong những thành tựu khoa học có ảnh hưởng lớn nhất của mọi thời đại.

Việc từ bỏ ý tưởng về một không gian tuyệt đối và một thời gian tuyệt đối dẫn tới sự giới thiệu không tránh khỏi của một khái niệm mới, đó là không thời gian, một đối tượng bốn chiều đơn nhất $\backslash mathcal\; S$, mà tuy nhiên, không nên chỉ coi nó như là một sân khấu cho tiến trình của một hệ vật lý xác định, mà nó còn là một trường động lực tham gia vào sự tiến triển của chính hệ vật lý đó. Những phần tử của không thời gian trừu tượng này được gọi là sự kiện, một khái niệm dường như cũng trừu tượng nhưng không hẳn là vậy. Chúng ta chắc chắn đã quen với khái niệm "cái gì đó ở nơi nào đấy" vì nó trở thành một phần nhận thức của chúng ta về thế giới khi còn là một đứa trẻ. Tương tự, khái niệm sự kiện có thể đi kèm với ý tưởng về "cái gì đó xảy ra ở nơi nào đấy", chẳng hạn như photon từ Mặt Trời tới võng mạc của chúng ta lúc bình minh. Do đó, các nhà vật lý thích nghĩ về các sự kiện như là các "điểm" $P$ trong không thời gian $\backslash mathcal\; S$, và sự tồn tại của chúng như là các phần tử của không thời gian độc lập với cách chọn hệ tọa độ để định vị chúng tại một vị trí không gian cụ thể trong một thời gian cho trước. Các sự kiện do đó tự chúng là những phần tử của không thời gian, mà tính động lực được điều chỉnh bởi các định luật vật lý.

Với tư duy như thế, các nhà vật lý nghĩ tới vấn đề các sự kiện liên hệ với nhau bằng cách nào. Nếu coi một sự kiện là "một cái gì đó xảy ra ở nơi nào đó", thì hai hay nhiều sự kiện có thể được liên hệ (vd, thông qua các định luật vật lý) và đưa vào thành "một dãy các sự kiện", mà, trong trường hợp dãy được xếp thứ tự với thời gian như là một tham số, chúng thuộc về một tập hợp, cụ thể hơn là một đường cong trong không thời gian, gọi là "đường thế giới" (worldline). Cũng trong trường hợp này, khái niệm trừu tượng về đường thế giới quả thực hiển nhiên giống với một cách giải thích quen thuộc khi chúng ta nghĩ tới tuyến đường trên một bản đồ (đoạn đường từ nhà tới nơi làm việc) như đường thế giới trong không thời gian miêu tả về chuyển động của chúng ta. Sự tài tình ở đây là, trong khi tuyến đường trên bản đồ kết nối các điểm (không gian) khác nhau mà chúng ta đứng tại những thời điểm khác nhau, thì đường thế giới kết nối các sự kiện khác nhau của không thời gian, tức là, những sự kiện mà chúng ta tham gia vào khi đi từ nhà đến nơi làm việc. Một hệ quả rõ ràng từ định nghĩa của đường thế giới là khi không có một không gian tuyệt đối và một thời gian tuyệt đối, bất kỳ sự lựa chọn theo thứ tự các sự kiện chỉ có thể là "tùy ý" (hoặc tương đối) khi có thể thay thế bằng những sự kiện tương đương và khả dĩ trên cùng một tập hợp các sự kiện. Tuy nhiên, kết quả này không nên chỉ coi đó là một giới hạn, nhưng mà là một đặc điểm quan trọng trong bức tranh mới về không gian và thời gian, một điều căn bản trong thuyết tương đối rộng. Nói chung, khái niệm như tính đồng thời vẫn được giữ lại nhưng phải được thể hiện một cách đúng đắn, và điều này được nhắc tới ở phần sau.

Đa tạp không thời gian

Thuyết tương đối rộng đề xuất ý tưởng miêu tả các hiện tượng vật lý bằng một tập hợp các sự kiện, tạo thành một thể liên tục (continuum) bốn chiều, gọi là không thời gian. Khái niệm toán học phù hợp nhất để đặc trưng cho không thời gian đó là một đa tạp khả vi $\backslash mathcal\; M$, một khái niệm kết hợp giữa những khái niệm của không gian tôpô và tính khả vi. Tức là, khi nói đến không thời gian bằng tập hợp các sự kiện, là một không gian tôpô, ta đang cung cấp thông tin về việc bằng cách nào mà những vùng khác nhau của continuum này được liên hệ với nhau. Hơn nữa, như đã rõ ràng khi ta nói về nguyên lý tương đương, thuyết tương đối rộng đòi hỏi rằng các sự kiện khác nhau của không thời gian cho phép các lân cận địa phương không giao nhau (rời nhau). Từ đây, không gian tôpô nhất thiết phải là không gian tôpô Hausdorff. Ngoài cấu trúc tôpô, ta cần trang bị cho không thời gian một cấu trúc vi phân thông qua phép tham số hóa khả vi bằng các tọa độ được gắn cho mỗi sự kiện. Những cách đặt tham số hóa này được thực hiện thông qua các hàm số của lớp $C^k$ với $k\backslash ge\; 2$, mà ánh xạ lân cận địa phương của mỗi sự kiện vào $\backslash mathbb\; R^n$. Do vậy một đa tạp khả vi là một không gian tôpô Hausdorff vi phôi địa phương với $\backslash mathbb\; R^n$. Ví dụ đơn giản về đa tạp đó là bề mặt của một hình cầu ba chiều ("mặt cầu 2 chiều") hoặc bất kỳ một siêu mặt m chiều nào trong không gian n chiều với $m\; \backslash le\; n$.

Có rất nhiều sách và bài viết thảo luận về định nghĩa và tính chất của không gian tôpô và của đa tạp, chẳng hạn và . Cho những mục đích ứng dụng chúng ta có thể coi $\backslash mathcal\; M$ là "tập hợp chứa các sự kiện được tham số hóa", những thứ tạo nên không thời gian bốn chiều, và các tham số của chúng là những hàm khả vi tới một số bậc nhất định.

Số các tham số độc lập cần thiết để định ra một sự kiện trong $\backslash mathcal\; M$ chính là số chiều của đa tạp và cách chọn những tham số này sẽ biểu diễn cách chọn hệ tọa độ cần thiết để phủ đa tạp, và có vô số cách chọn như thế. Ví dụ, hệ tọa độ sử dụng kinh độ và vĩ độ để xác định vị trí của điểm trên bề mặt Trái Đất. Khi áp dụng, chúng ta cần thiết định nghĩa một quy tắc gán tương ứng một điểm của đa tạp $\backslash mathcal\; M$, tức là sự kiện, vào không gian thực n chiều $\backslash mathbb\; R^n$. Quy tắc này gọi là phép ánh xạ và cách chọn hệ tọa độ tương ứng sẽ phủ một phần hoặc toàn bộ đa tạp không thời gian. Các điểm lưu ý: :#Ánh xạ thảo luận ở trên có thể coi là sự gán một - một các điểm trên đa tạp với các điểm của không gian Euclid với số chiều thích hợp. Sự tương ứng này là có ích nhưng phải cẩn thận khi áp dụng. Cụ thể hơn, nó nhấn mạnh rằng ít nhất trên cục bộ (hay địa phương) đa tạp nhìn giống như không gian Euclid. Tuy nhiên nó cũng ẩn chứa thực tế rằng tô pô toàn cục của đa tạp có thể rất khác so với tô pô Euclid. Chẳng hạn đa tạp là bề mặt của hình vòng xuyến: cả bề mặt lẫn tô pô toàn cục của nó khác hẳn so với không gian Euclid, nhưng có thể ánh xạ cục bộ một diện tích nhỏ trên bề mặt vào không gian Euclid, như mặt phẳng tiếp xúc với một điểm trong diện tích này. :#Trong khi có vô hạn cách chọn hệ tọa độ để phủ một đa tạp, không phải cách nào cũng cho phương án tốt. Một số hệ tọa độ trong chúng có thể suy biến và khi phân tích toán học nghiệm của phương trình trường Einstein chứa đựng hệ tọa độ cho phép làm nổi bật nhất ý nghĩa vật lý của nghiệm. Lấy ví dụ lần nữa về hệ tọa độ cầu $(\backslash theta,\; \backslash phi)$ trên mặt cầu 2 chiều. Rõ ràng hệ tọa độ này suy biến tại hai cực của mặt cầu vì có thể ánh xạ những tập vô hạn các giá trị, ví dụ khi $\backslash theta\; =\; 0,\; \backslash pi$ và $\backslash phi\; \backslash in\; [0,\; 2\; \backslash pi]$. :#Mỗi hệ tọa độ bao phủ một vùng nhất định của không thời gian gọi là mảnh hay bản đồ, và hai bản đồ có thể có miền giao nhau hoặc không. Atlas của đa tạp là bất kỳ những phép hợp các bản đồ sao cho phép hợp này bao phủ toàn bộ đa tạp. :#Như đã nêu ở trên, mộ tính chất cơ bản của đa tạp trong thuyết tương đối rộng đó là chúng có tính khả vi, nghĩa là ánh xạ địa phương từ đa tạp vào $\backslash mathbb\{R\}^n$ phải khả vi. Mặt cầu hai chiều là đa tạp khả vi trong khi hình nón thì không, do nó không khả vi tại đỉnh nón vì không tồn tại ánh xạ khả vi từ điểm này vào $\backslash mathbb\; R^n$.

Hệ tọa độ

Ý tưởng về không thời gian (tập hợp chứa mọi sự kiện), như là một đa tạp (không gian phủ bởi các hệ tọa độ), là rất hấp dẫn từ quan điểm hình học, nhưng cũng phải là nguồn để đề cập đến từ quan điểm vật lý học, vì sự lựa chọn tùy ý hệ tọa độ có thể đưa đến việc làm mất các thông tin vật lý. Tuy vậy, đây là một lập luận không đúng và các phép đo phải là độc lập với hệ tọa độ, tức là, các phép đo sẽ cho cùng một kết quả trong mọi hệ tọa độ được lựa chọn. Tương tự, vẫn có thể dẫn ra được các phương trình độc lập với hệ tọa độ khi không thời gian được coi là một đa tạp.

Bước đầu tiên để học quá trình này đó là làm quen với các đối tượng cơ bản của một đa tạp, như đường cong, đại lượng vô hướng và vectơ, và cách chúng biến đổi như thế nào khi chuyển từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác. Kể từ đây chúng ta giả sử rằng $\backslash mathcal\; M$ là đa tạp khả vi gồm bốn chiều (ba chiều không gian và một chiều thời gian), nhưng việc tổng quát hóa các tính chất của đa tạp lên đa tạp n chiều là trực tiếp.

Xét không thời gian được phủ bởi hai hệ tọa độ, $\{\; x^\backslash mu\; \}$ và $\{\; x^\{\backslash mu\text{'}\}\; \}$ , hoặc tương đương, xét hai ánh xạ khác nhau $\backslash Phi$ và $\backslash Phi\text{'}$ đi từ $\backslash mathcal\; M$ vào $\backslash mathbb\; R^4$. Mỗi điểm P của $\backslash mathcal\; M$ do đó được biểu diễn bằng hai tọa độ khác nhau, mỗi tọa độ chứa bốn phần tử, $\{\; x\_P^\backslash mu\; \}$ và $\{\; x\_P^\{\backslash mu\text{'}\}\; \}$. Phép biến đổi tọa độ $\{\; x^\backslash mu\; \}\; \backslash rightarrow\; \{\; x^\{\backslash mu\text{'}\}\; \}$ tại điểm P được biểu diễn bằng bốn hàm số đơn trị, liên tục và khả vi $f^\backslash mu$ sao cho

:

ở đây ký hiệu x có bốn tọa độ $x^\backslash mu$ ám chỉ những đối tượng bôi đậm thuộc về $\backslash mathcal\; M$. Bởi vì đa tạp là khả vi, do vậy phép biến đổi tọa độ không chỉ đúng tại điểm P, tức là

:

Ví dụ coi mặt phẳng là một đa tạp hai chiều với hai hệ tọa độ $\{\; x^\backslash mu\; \}=\; (x,\; y)$ và $\{\; x^\{\backslash mu\text{'}\}\; \}=\; (r,\; \backslash theta)$ do vậy : \ \theta = tan^{-1} \left(\frac{y}{x} \right), \end{cases}

Khai thác tính khả vi của đa tạp, chúng ta có thể lấy vi phân của tọa độ x' theo x và thu được ma trận biến đổi :{\partial x^\mu}= \left(\begin{array}{rrrr} \dfrac{\partial x^{0'{\partial x^0} & \dfrac{\partial x^{0'{\partial x^1} & \dfrac{\partial x^{0'{\partial x^2} & \dfrac{\partial x^{0'{\partial x^3} \ \dfrac{\partial x^{1'{\partial x^0} & \dfrac{\partial x^{1'{\partial x^1} & \dfrac{\partial x^{1'{\partial x^2} & \dfrac{\partial x^{1'{\partial x^3} \ \dfrac{\partial x^{2'{\partial x^0} & \dfrac{\partial x^{2'{\partial x^1} & \dfrac{\partial x^{2'{\partial x^2} & \dfrac{\partial x^{2'{\partial x^3} \ \dfrac{\partial x^{3'{\partial x^0} & \dfrac{\partial x^{3'{\partial x^1} & \dfrac{\partial x^{3'{\partial x^2} & \dfrac{\partial x^{3'{\partial x^3} \end{array} \right).

với định thức :{\partial x^\mu}\right|| là định thức Jacobi (hay Jacobian) của biến đổi tọa độ $f$ trong (). Nếu J' khác 0 tại mọi điểm, khi đó phương trình () sẽ có nghiệm và chúng ta nhận được phép biến đổi ngược (). Ngược lại, nếu J' = 0 tại một điểm, ta nói phép biến đổi là kỳ dị tại điểm đó. Tương tự ta có thể lấy vi phân tọa độ x theo x' và thu được ma trận biến đổi ngược : \right)|

Đường cong (curve) và quỹ đạo (path)

Sau khi đã giới thiệu khái niệm hệ tọa độ và biến đổi tọa độ, bây giờ chúng ta xét tới đối tượng đơn giản nhất trong đa tạp $\backslash mathcal\; M$ mà sẽ dẫn tới định nghĩa tenxơ.

: và : sao cho chúng chứa cùng một quỹ đạo trong $\backslash mathcal\; S$, với $\backslash mathcal\{C\}\; !$ và $\backslash mathcal\; C\text{'}$ có cùng ảnh, nhưng $\backslash mathcal\; C$ và $\backslash mathcal\; L\text{'}$ có ảnh khác nhau.

Vectơ tiếp xúc

:xem thêm: Véctơ-4 thumb|Không gian tiếp tuyến $\backslash scriptstyle\; T\_xM$ và vectơ tiếp tuyến $\backslash scriptstyle\; v\backslash in\; T\_xM$ dọc một đường cong đi qua điểm $\backslash scriptstyle\; x\backslash in\; M$

Chúng ta nên phân biệt giữa vectơ là đối tượng hình học, viết là $\backslash boldsymbol\; V$, và cách biểu diễn nó trong một hệ tọa độ cụ thể, mà trong trường hợp này chúng ta nói đến các thành phần tọa độ của nó $V^\backslash mu$. Sự quan trọng của biểu thức () là nó cho phép chúng ta có khả năng định nghĩa một đại lượng hình học theo các tính chất của phép biến đổi đối với nó dưới ảnh hưởng của sự thay đổi hệ tọa độ. Quả vậy, chúng ta xét một hệ tọa độ mới $\{\; x^\{\backslash mu\text{'}\}\; \}$ và sử dụng biểu thức () để tính toán các thành phần tọa độ của cùng một vectơ tiếp xúc $\backslash boldsymbol\; V$ đối với hệ tọa độ mới này :{d \lambda}= \sum{\mu = 0}^3 \dfrac{\partial{x^{\mu'}{\partial{x^\mu \frac{dx^\mu}{d \lambda} = \sum{\mu = 0}^3 \dfrac{\partial{x^{\mu'}{\partial{x^\mu V^\mu | với phương trình thứ hai đã áp dụng định nghĩa của vi phân :}{\partial{x^\mu dx^\mu| và phương trình cuối cùng () có được từ định nghĩa của ().

Phương trình () là rất tổng quát và biểu diễn quy tắc biến đổi cho các vectơ phản biến. Về cơ bản, bốn phương trình trong () cho chúng ta cách tính các thành phần tọa độ của vectơ $\backslash mathbf\; V$ trong hệ tọa độ $\{\; x^\{\backslash mu\text{'}\}\; \}$ một khi chúng ta biết các thành phần của nó trong hệ tọa độ $\{\; x^\backslash mu\; \}$.

Ở phần này, chúng ta đã giới thiệu một tập hợp tổng quát chứa các điểm được liên hệ với nhau thông qua một tham số, hay đường cong trong đa tạp, sau đó nêu ra định nghĩa khái niệm vectơ tiếp xúc tại một điểm P và học được cách biểu diễn đại lượng hình học này biến đổi như thế nào dưới những hệ tọa độ khác nhau. Điều này dẫn chúng ta tới một khái niệm tổng quát hơn đó là không gian tiếp xúc của đa tạp $\backslash mathcal\; M$ tại điểm P: đó là không gian chứa mọi vectơ phản biến tại P.

Gradien của hàm số

Một vec tơ bất kỳ có thể được xây dựng dựa trên khái niệm đường cong. Chúng ta có thể thấy điều này bằng cách áp dụng định nghĩa () của đường cong $\backslash mathcal\; C$ trong đa tạp và giới thiệu ra hàm vô hướng $\backslash phi$, một hàm giá trị thực ánh xạ điểm P bất kỳ có tọa độ $x^\backslash mu(\backslash lambda)$ trong $\backslash mathcal\; M$ vào một số thực $\backslash phi(x^mu(\backslash lambda))\; \backslash Big|\_P$. Bây giờ chúng ta có thể tính được hàm thực này biến đổi như thế nào dọc đường cong $\backslash mathcal\; C$ bằng : Phương trình thứ hai trong phương trình () chỉ đơn giản là định nghĩa của vectơ tiếp xúc đã gặp ở (), trong khi ở phương trình thứ ba là định nghĩa của gradien của hàm số $\backslash phi$ : với chỉ số tự do phải là chỉ số nằm ở dưới (tức là hiệp biến) và đây là đặc điểm phân biệt với vectơ $U^\backslash mu$.

Để hiểu tốt hơn tại sao chỉ số trong $U$\mu phải ở dưới, chúng ta có thể nghiên cứu cách đối tượng hình học này hành xử dưới một phép biến đổi tọa độ và làm rõ ý nghĩa của nó hơn. Một lần nữa, nếu $U$\mu là thành phần của đối tượng này trong hệ tọa độ $\{\; x^\backslash mu\; \}$ thì thành phần của nó trong $\{\; x^\{\backslash mu\text{'}\}\; \}$ là : = \dfrac{\partial \phi}{\partial x^\mu} \dfrac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu' = U{\mu} \dfrac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu'| Hay nói cách khác, quy tắc biến đổi cho gradien của hàm số $\backslash phi$ là :(\tilde d \phi)\mu| và có thể được sử dụng làm định nghĩa cho khái niệm vectơ hiệp biến (covariant vector).

Chú ý rằng biến đổi () là biến đổi ngược của quy tắc đã gặp cho các thành phần của vectơ [xem phương trình ()]. Lý do cho điều này đến từ thực tế rằng vectơ phản biến và vectơ hiệp biến là đại lượng đối ngẫu của nhau, do đó không gian chứa mọi vectơ hiệp biến là không gian đối ngẫu của không gian tiếp tuyến mà chúng ta đã gặp ở phần trước. Bởi vì đây là một kết quả quan trọng và mối liên hệ sâu sắc giữa vectơ hiệp biến và vectơ phản biến sẽ được trình bày rõ ở phần sau. Như đối với vectơ phản biến, chúng ta có thể đưa ra biến đổi ngược cho vectơ hiệp biến và dễ dàng thu được :{\partial x^\mu}(\tilde d \phi)_{\mu'}| Người đọc thận trọng có thể tự hỏi tại sao chúng ta không viết () như sau : và tại sao không viết () như sau :

Ở những phần sau, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu $\backslash Lambda^\{\backslash mu\text{'}\}\{\}$\mu đại diện cho $\backslash partial\; x^\{\backslash mu\text{'}\}\; /\; \backslash partial\; x^\backslash mu$ và $\backslash Lambda^\backslash mu\{\}${\mu'} đại diện cho $\backslash partial\; x^\backslash mu\; /\; \backslash partial\; x^\{\backslash mu\text{'}\}$.

Ý nghĩa hình học của vectơ phản biến và vectơ hiệp biến

[[tập tin:Vector 1-form.svg|thumb| Một vectơ v (đỏ) biểu diễn bằng

trong hệ tọa độ cong 3 chiều (q¹, q², q³), một bộ các số xác định lên vị trí của điểm. Chú ý rằng hệ cơ sở và hệ cơ sở đối ngẫu không trùng nhau trừ khi hệ là cơ sở trực giao.]] Chúng ta có thể kết hợp các định nghĩa trên đây để đi đến một miêu tả thống nhất về vectơ phản biến và vectơ hiệp biến. Đặc biệt, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa gradien dọc một đường cong () và viết lại thành : do đó vectơ phản biến $\backslash mathbf\; V$ có thể được coi như là một đối tượng hình học tiếp tuyến với đường cong có tham số $\backslash lambda$ và đo tỉ số $\{d\; \backslash phi\}/\{d\; \backslash lambda\}$ cho một hàm vô hướng bất kỳ $\backslash phi$ dọc đường cong. Theo cách này, có thể coi vectơ là đại lượng độc lập với hệ tọa độ, và xác định lên, ít nhất trong một miền lân cận nhất định, đường cong mà nó tiếp xúc. Thành phần phản biến $V^\backslash mu$ của nó cho phép đo sự thay đổi của hệ tọa độ dọc theo đường cong đó và những thứ này có mối liên hệ chặt với cách lựa chọn hệ tọa độ; một hệ tọa độ khác sẽ dẫn tới những thành phần tọa độ khác, cũng như hàm gradien $(\backslash tilde\; d\; \backslash phi)\_\backslash mu$ khác.

Tenxơ

Định nghĩa của vectơ và đối vectơ đã giới thiệu ở phần trước là cơ sở cho nội dung của phần này. Chúng đã được giới thiệu để xác định các đối tượng hình học độc lập với bất kỳ hệ tọa độ nào và chúng ta đã học được rằng khi đưa ra một hệ tọa độ và chuyển đổi sang hệ tọa độ khác, các vectơ phản biến và vectơ hiệp biến biến đổi theo những quy tắc đơn giản trong () và ().

Nhất quán với cách tiếp cận này, chúng ta định nghĩa một tenxơ phản biến hạng hai là một đối tượng hình học $\backslash mathbb\; T$, mà các thành phần biến đổi tuân theo quy tắc sau khi chuyển từ hệ tọa độ $\{\; x^\backslash mu\; \}$ sang hệ mới $\{\; x^\{\backslash mu\text{'}\}\; \}$ :{\partial x^\mu} \dfrac{\partial x^{\nu'{\partial x^\nu} T^{\mu \nu} = \Lambda^{\mu'}{}\mu \Lambda^{\nu'}{}\nu T^{\mu \nu}| Tương tự chúng ta có thể định nghĩa tenxơ hiệp biến hạng hai là một đối tượng hình học $\backslash mathbb\; T$, mà các thành phần biến đổi tuân theo quy tắc sau khi chuyển từ hệ tọa độ $\{\; x^\backslash mu\; \}$ sang hệ $\{\; x^\{\backslash mu\text{'}\}\; \}$ :{\partial x^{\mu' \dfrac{\partial x^{\nu{\partial x^{\nu' T{\mu \nu} = \Lambda^\mu{}{\mu'} \Lambda^\nu{}{\nu'} T{\mu \nu}|

Từ hai ví dụ trên sẽ không khó để hình dung ra cách xây dựng một tenxơ với số thành phần phản biến và hiệp biến là bất kỳ. Chúng ta có thể xây dựng lên không gian vectơ $\backslash mathbf\; V^m\{\}$n là tập hợp mọi tenxơ kiểu (m, n), ví dụ $R^\{\backslash alpha\; \backslash beta\; \backslash gamma\; \backslash delta\}\{\}${\mu \nu} \in \mathbf V^4{}_2.

Nói chung, nếu một tenxơ có N chỉ số xác định trên đa tạp có D chiều, thì nó sẽ có $D^N$ thành phần. Do vậy, trong đa tạp bốn chiều mà chúng ta quan tâm, chúng ta có thể coi tenxơ là những ma trận có 4, 16, 64, 256 thành phần tương ứng với các ten xơ có 1, 2, 3, và 4 chỉ số. Có thể xảy ra trường hợp những thành phần này không độc lập hoàn toàn với nhau, như sẽ nêu ở phần dưới.

Tóm lược lại phần này: : - $V^\backslash mu$: là vectơ phản biến hay vectơ, hoặc là tenxơ phản biến hạng 1, hoặc tenxơ kiểu (1, 0) hoặc $1\; \backslash choose\; 0$. : - $V$\mu: là vectơ hiệp biến hay đối vectơ, hoặc dạng một, hoặc là tenxơ hiệp biến hạng 1, hoặc tenxơ kiểu (0, 1) hoặc $0\; \backslash choose\; 1$. : - $V${\mu \nu}: là là tenxơ hiệp biến hạng 2, hoặc tenxơ kiểu (0, 2) hoặc $0\; \backslash choose\; 2$. : - $V^\{\backslash mu\; \backslash nu\}\{\}\_\{\backslash alpha\; \backslash beta\; \backslash gamma\; \backslash delta\}$: là là tenxơ hỗn hợp hiệp biến hạng 4 phản biến hạng 2, hoặc tenxơ kiểu (2, 4) hoặc $2\; \backslash choose\; 4$.

Đại số tenxơ

Khi sử dụng thuyết tương đối rộng không thể tránh gặp phải những tính toán với sự có mặt của tenxơ và do vậy việc làm quen với các tính toán cơ bản của đại số tenxơ là điều cần thiết, và cuối cùng chúng ta đi tới giải tích tenxơ trong phần Không thời gian cong trong thuyết tương đối rộng. Bên cạnh những tính chất tuyến tính đã gặp ở đối vectơ hay dạng một (covector, one form) trong () mà đã được mở rộng thông thường khi coi vectơ $\backslash boldsymbol\; V$ và dạng một $\backslash boldsymbol\; \backslash tilde\; d\; \backslash phi$ là những tenxơ. Chúng ta liệt kê dưới đây một số tính chất quan trọng nhất của tenxơ cũng như các phép toán liên quan: :# Tenxơ không: Nếu một ten xơ mà mọi thành phần của nó bằng 0 trong một hệ tọa độ, thì nó là tenxơ không và các thành phần của nó sẽ bằng 0 trong mọi hệ tọa độ. :# Tenxơ đồng nhất bằng nhau: Nếu hai ten xơ cùng loại mà mọi thành phần của chúng tương ứng bằng nhau trong một hệ tọa độ, thì chúng được nói là đồng nhất bằng nhau, và các thành phần sẽ tương ứng bằng nhau trong mọi hệ tọa độ. :# Hàm vô hướng: Tích của một trường vô hướng φ với một tenxơ có kiểu cho trước sẽ thu được một tenxơ có cùng kiểu, tức là nếu $\backslash boldsymbol\; X\; \backslash in\; \backslash boldsymbol\; V^m\_n$ và $\backslash boldsymbol\; Y:=\; \backslash boldsymbol\; X\; \backslash phi$ thì $\backslash boldsymbol\; Y\; \backslash in\; \backslash boldsymbol\; V^m\_n$. :# Phép cộng: Khi cộng hai tenxơ cùng kiểu sẽ thu được một tenxơ cùng kiểu, nếu $\backslash boldsymbol\; \{X,\; Y\}\; \backslash in\; \backslash boldsymbol\; V^m\_n$ thì $\backslash boldsymbol\; \{Z:=\; X\; +\; Y\}\; \backslash in\; \backslash boldsymbol\; V^m\_n$. :# Phép nhân: Khi nhân hai tenxơ có kiểu bất kỳ sẽ thu được một tenxơ có kiểu bằng tổng các kiểu tương ứng (tức là tổng các chỉ số phản biến và hiệp biến), hay còn gọi là tích ngoài của tenxơ, nếu $\backslash boldsymbol\; X\; \backslash in\; \backslash boldsymbol\; V^m\_n$ và $\backslash boldsymbol\; Y\; \backslash in\; \backslash boldsymbol\; V^p$q thì $\backslash boldsymbol\; Z:\; =\; \backslash boldsymbol\; X\; \backslash otimes\; \backslash boldsymbol\; Y$ khi đó $\backslash boldsymbol\; Z\; \backslash in\; \backslash boldsymbol\; V^\{m+p\}${n+q}. Sử dụng ký hiệu thành phần, với m=q=2 và n=p=1 thì $Z^\{\backslash alpha\; \backslash beta\; \backslash gamma\}\{\}${\lambda \mu \nu} = X^{\alpha \beta}{}\lambda Y^{\gamma}{}_{\mu \nu}. :# Rút gọn tenxơ: Thực hiện thu gọn một cặp chỉ số của tenxơ kiểu (m, n) thu được tenxơ kiểu mới (m-1, n-1) tức là $Z^\{\backslash alpha\; \backslash beta\; \backslash gamma\}\{\}${\gamma \mu \nu} = Z^{\alpha \beta}{}{\mu \nu}. :# Tenxơ đối xứng và phản xứng: Một tenxơ kiểu (m, n) được nói là đối xứng trên một cặp chỉ số bất kỳ p và q (hoặc là hiệp biến hoặc là phản biến) nếu các thành phần của nó không thay đổi khi thay đổi hai chỉ số này cho nhau. Ngược lại, ten xơ là phản xứng nếu nó đổi dấu khi thay đổi hai cặp chỉ số này cho nhau. Ví dụ đối với m = 0 và n = 2, ::: :::

Tenxơ quan trọng nhất: Tenxơ metric

Ba biểu thức trên biểu diễn cùng một khoảng cách (tức là chúng thu được cùng một số) và xuất hiện trông khác nhau bởi vì chúng được viết ra trong ba hệ tọa độ khác nhau, lần lượt là hệ tọa độ Descartes $(x,\; y,\; z)$; hệ tọa độ trụ $(\backslash rho,\; \backslash phi,\; z)$ và hệ tọa độ cầu $(r,\; \backslash theta,\; \backslash phi)$. Rõ ràng đối với mỗi hệ tọa độ, tenxơ metric sẽ có dạng lần lượt $g${ij} = diag(1,1,1) \quad;\quad g{ij} = diag(1, \rho^2, 1) \quad;\quad g{ij} = diag(1, r^2, r^2 sin^2 \theta). Chúng ta cũng thấy rằng hệ tọa độ Descartes có metric dạng đơn giản nhất và viết tương đương thành $g${\mu \nu} = \delta_{\mu \nu}.

Hay nói cách khác, các thành phần của metric trong một hệ tọa độ biểu diễn tích vô hướng của các vectơ cơ sở của hệ đó. Đặc biệt, nếu hệ vectơ cơ sở thỏa mãn $|\backslash boldsymbol\; e$\mu. \boldsymbol e\nu| = \delta_{\mu \nu} thì hệ cơ sở này được gọi là hệ cơ sở trực chuẩn.

Tách một tenxơ thông qua vectơ

Một tính chất hữu ích của đại số tenxơ mà có thể áp dụng cho các phương trình vật lý đó là chúng ta có thể tách một tenxơ hạng 2 theo hướng song song và vuông góc với một vectơ. Xét một trường vec tơ U mà có trực chuẩn U.U = -1 và định nghĩa toán tử chiếu (hay tenxơ chiếu) h trực giao với U như là một tenxơ với các thành phần

: mà nó thỏa mãn những đẳng thức sau đây

: Với toán tử này chúng ta có thể tách một trường vectơ V thành các phần song song với U và trực giao với U, nghĩa là

: với số hạng $A\; =\; -U\_\backslash mu\; V^\backslash mu$ là thành phần của V dọc theo U, trong khi số hạng $B^\backslash mu\; =\; h^\backslash mu\{\}\_\backslash nu\; V^\backslash nu$ là thành phần của V trong không gian trực giao với U. Tương tự, có thể tách một tenxơ hiệp biến hạng 2 W bằng cách sử dụng tenxơ chiếu trên từng thành phần c]ủa nó, nhận được

: với

Có thể phân tích $Z\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}$ thành các phần đối xứng và phản đối xứng như trong biểu thức () và có

với $W\_\{\backslash langle\; \backslash alpha\; \backslash beta\; \backslash rangle\}$ trong phương trình () là thành phần không gian, đối xứng và vết tự do của tenxơ W, tức là:

:

Mặc dù chúng ta vẫn chưa giới thiệu ra công cụ toán học cần thiết để tính đạo hàm theo cách không bị phụ thuộc vào hệ tọa độ (theo nghĩa hiệp biến), chúng ta vẫn có đủ công cụ toán học để miêu tả không thời gian bốn chiều đơn giản nhất, không thời gian phẳng.

Không thời gian phẳng: Thuyết tương đối hẹp

Xét hai hệ quy chiếu quán tính $\backslash mathcal\; O$ và $\backslash mathcal\; O\text{'}$ chuyển động tương đối so với nhau với tốc độ hằng. Bởi vì tốc độ này là thuần túy thuộc về không gian và do vậy là vectơ-3, chúng ta sẽ ký hiệu nó là vận tốc-3 $\backslash overrightarrow\; \{\backslash boldsymbol\; V\}$ với các thành phần được tính bằng

:

:

Mêtric này còn gọi là mêtric không thời gian phẳng do độ cong hình học tương ứng của không gian bằng 0 ở khắp nơi (xem Tenxơ Riemann). Nguyên tố đoạn () viết theo metric () được viết thành

:

Rõ ràng là, trong cùng một không thời gian phẳng, một hệ tọa độ khác - ví dụ hệ tọa độ cầu, sẽ cho tenxơ mêtric khác với dạng của (). Tuy nhiên có một định lý quan trọng đối với không thời gian phẳng đó là: độc lập với hệ tọa độ dùng để bao phủ đa tạp không thời gian phẳng, luôn luôn có một biến đổi tọa độ toàn cục để đưa tenxơ mêtric của hệ tọa độ đó về dạng ().

trong đó

: = \frac{1}{\sqrt{1 - V^2,|

là hệ số Lorentz có giá trị bằng 1 (khi V = 0) và tiến tới $\backslash infty$ khi V $\backslash rightarrow$ 1. Sử dụng (), dạng ma trận cho biến đổi vectơ giữa các hệ tọa độ trong thuyết tương đối hẹp - hay ma trận biến đổi Lorentz (xem phần Vectơ tiếp tuyến)

:

mà cần nhấn mạnh một lần nữa đó là biến đổi tọa độ này tương đương với sự chuyển đổi giữa các hệ quy chiếu quán tính. Chú ý rằng ma trận biến đổi () có dạng đối xứng, và vì vậy nó bằng ma trận chuyển vị của nó, ma trận có định thức bằng 1 vì ma trận nghịch đảo có thể nhận được bằng cách tha