Trong toán học, khoảng là một khái niệm liên quan đến dãy và tích thuộc về tập hợp của một hoặc nhiều số.
Giới thiệu trên số thực
Trên trường số thực, một khoảng là một tập hợp chứa mọi số thực nằm giữa hai số được cho trước, và có thể chứa cả hai số đó.
Ký hiệu khoảng là ký hiệu biểu diễn các giá trị nằm trong một khoảng. Ví dụ:
:5 < x < 9
Trong ký hiệu khoảng truyền thống, cặp ngoặc đơn, "()", có nghĩa là tập hợp khoảng không chứa hai điểm đầu mút, còn cặp ngoặc vuông, "[]", hàm ý chứa cả hai đầu mút. Ví dụ,
:(10,20)
ký hiệu tập hợp mọi số thực x nằm giữa 10 và 20 nhưng không bao gồm hai giá trị đầu và cuối của khoảng (10 và 20). Tức là
:10 < x < 20
Trong khi đó, khoảng
:[10,20]
bao gồm tất cả các số nằm giữa 10 và 20 và cả hai đầu mút 10 và 20. Tức là:
:10 ≤ x ≤ 20
Khoảng sử dụng cặp ngoặc vuông còn được gọi là đoạn, có ý nghĩa gần giống đoạn thẳng trong hình học.
Có thể kết hợp "[)" hay "(]":
:[10,20) tức là 10 ≤ x < 20
:(10,20] tức là 10 < x ≤ 20
Tổng quát
Định nghĩa tổng quát của khoảng được phát biểu như sau:
:Một khoảng là một tập con liên tục S của một tập thứ tự đầy đủ (totally ordered set) T có tính chất như sau: Với mọi phần tử x và y thuộc S và x<z<y thì z thuộc S.
Trường hợp ở mục trên tương ứng với T là tập hợp số thực.
Phân loại trên số thực
Các khoảng của trên tập hợp số thực thuộc một trong 11 loại sau:
chính là tập tất cả các số thực
tập rỗng
Với a và b là các số thực, và a < b; chúng được gọi là các đầu mút của khoảng.
Như vậy ngoặc vuông [ hoặc ] có nghĩa rằng đầu mút đó được bao hàm trong khoảng, trong khi ngoặc (hoặc) có nghĩa ngược lại. Để biết thêm thông tin về ký hiệu trên, xem lý thuyết tập hợp ngây thơ (Naive set theory).
Các khoảng thuộc các loại (1), (5), (7), (9) và (11) được gọi là các khoảng mở (vì chúng là các tập mở. Các khoảng thuộc các loại (2), (6), (8), (9), (10) và (11) được gọi là các khoảng đóng (vì chúng là các tập đóng. Các khoảng thuộc loại (3) và (4) đôi khi được gọi là các khoảng nửa-đóng (hoặc nửa-mở). Lưu ý rằng các khoảng (9) và (11) vừa mở vừa đóng, điều đó không giống với nửa-đóng và nửa-mở.
Các khoảng (1), (2), (3), (4), (10) và (11) được gọi là các khoảng bị chặn hay khoảng đóng, và các khoảng (5), (6), (7), (8) và (9) là các khoảng không bị chặn hay khoảng mở.
Độ dài của các khoảng đóng (1), (2), (3), (4) là tương ứng cho mỗi trường hợp.
Khoảng đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết về tích phân, vì chúng là các tập hợp đơn giản nhất với "kích thước", "độ đo" (measure) hay "độ dài" dễ định nghĩa. Khái niệm độ đo có thể được mở rộng cho các tập phức tạp hơn, dẫn đến độ đo Borel và cuối cùng là độ đo Lebesgue.
Trong tô pô học, thì khái niệm khoảng được mở rộng thành khái niệm tập mở. Khái niệm "tập mở" cũng là một trong những khái niệm nền tảng của tô pô học.
👁️
0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
Trong toán học, **khoảng** là một khái niệm liên quan đến dãy và tích thuộc về tập hợp của một hoặc nhiều số. ## Giới thiệu trên số thực Trên trường số thực, một **khoảng**
_Cuốn [[The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing_]] Từ _toán học_ có nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể
Toán học trong nghệ thuật: Bản khắc trên tấm đồng mang tên _[[Melencolia I_ (1514) của Albrecht Dürer. Những yếu tố liên quan đến toán học bao gồm com-pa đại diện cho hình học, hình
Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *
Sau đây là danh sách các nhà toán học người Iran bao gồm cả người thuộc các dân tộc Iran. ## A * Athir al-Din al-Abhari (?–1262/1265) * Abu Nasr-e Mansur (khoảng 960–1036) * Abū
**Toán học của thuyết tương đối rộng** là mô hình chứa đựng cấu trúc và kỹ thuật toán học được sử dụng để nghiên cứu và thiết lập lên thuyết tương đối rộng của Einstein.
nhỏ|274x274px|[[Srinivasa Ramanujan]] Niên đại của các nhà toán học Ấn Độ kéo dài từ thời kỳ Văn minh lưu vực sông Ấn đến Ấn Độ hiện đại. Các nhà toán học Ấn Độ đã có
thumb|Hai mặt phẳng giao nhau trong không gian ba chiều Trong toán học, _mặt phẳng_ là một mặt hai chiều phẳng kéo dài vô hạn. Một **mặt phẳng** là mô hình hai chiều tương tự
Danh sách các vấn đề mở trong toán học ## Danh sách các bài toán mở trong toán học nói chung Nhiều nha toán học và tổ chức đã xuất bản danh sách cái bài
**Ánh**, một khái niệm trong khoáng vật học, là cách ánh sáng tương tác và phản xạ với bề mặt của một tinh thể, đá, hoặc khoáng vật. Trong tiếng Anh và tiếng Tây Ban
**Lưu Huy** (
fl. CE thế kỷ thứ 3) là một nhà toán học Trung Quốc và nhà văn sống ở nước Tào Ngụy trong Tam Quốc giai đoạn (220-280) của Trung Quốc. Năm 263, ông
**Triết học toán học** là nhánh của triết học nghiên cứu các giả định, nền tảng và ý nghĩa của toán học, và các mục đích để đưa ra quan điểm về bản chất và
thumb|upright=1.5| Khoáng vật học là tập hợp của các ngành học liên quan đến [[hóa học, khoa học vật liệu, vật lý và địa chất.]] **Khoáng vật học** là môn học thuộc về địa chất
Toán học Việt Nam có khởi nguồn chậm phát triển từ thời phong kiến vốn chỉ phục vụ các mục đích đo đạc tính toán và bắt đầu hình thành nền móng hiện đại do
thumb|Hình mình họa cho chứng minh của Euclid về định lý Pythagoras. **Toán học Hy Lạp** là nền toán học được viết bằng tiếng Hy Lạp, phát triển từ thế kỷ 7 TCN đến thế
Đây là danh sách các nhà toán học nổi tiếng xếp theo thứ tự bảng chữ cái Latinh của chữ cái đầu tiên của họ. ## A 188x188px|Archimedes|thế=|phải|không_khung * Niels Henrik Abel - Na Uy
Trong toán học, **dãy** là một họ có thứ tự các đối tượng toán học và cho phép lặp lại các phần tử trong đó. Giống như tập hợp, nó chứa các phần tử (hay
**Phát biểu toán học của cơ học lượng tử** là các hình thức toán học cho phép mô tả chặt chẽ cơ học lượng tử. ## Các tiên đề #### Tiên đề 1 Nội dung
**Toán học Ai Cập cổ đại** là một nền toán học được phát triển và sử dụng tại Ai Cập cổ đại, từ khoảng 3000 TCN đến 300 TCN, từ Cựu Vương triều Ai Cập
thumb|Một tập _V_ trên [[mặt phẳng là một lân cận của điểm _p_ nếu nó chứa một đĩa tròn quanh _p_.]] Trong tô-pô và những nhánh liên quan của toán học, một **lân cận** là
Trong toán học, **một cấu trúc trên một tập hợp** (hoặc tổng quát hơn là trên một kiểu) là một hệ thống các đối tượng toán học được gắn kết với tập hợp đó theo
phải|nhỏ|260x260px|Một tiết dạy toán tại [[Trường Khoa học và Công nghệ Đại học Aalto]] Trong giáo dục đương đại, **giáo dục** **toán học** là thực hành dạy và học toán học, cùng với các nghiên
Sự phát triển của Toán học cả về mặt tổng thể lẫn các bài toán riêng lẻ là một chủ đề được bàn luận rộng rãi - nhiều dự đoán trong quá khứ về toán
**Viện Toán học Clay**, (tiếng Anh: **Clay Mathematics Institute**, viết tắt là **CMI**) là một tổ chức không vụ lợi do Quỹ tư nhân lập ra ở Cambridge, Massachusetts, Hoa Kỳ. Viện cống hiến cho
nhỏ|phải|Logo của ban tổ chức cuộc thi IMO (International Mathematical Olympiad) **Olympic Toán học Quốc tế** (tiếng Anh: _International Mathematical Olympiad_, thường được viết tắt là **IMO**) là một kì thi Toán học cấp quốc
Toán học không có định nghĩa được chấp nhận chung. Các trường phái tư tưởng khác nhau, đặc biệt là trong triết học, đã đưa ra các định nghĩa hoàn toàn khác nhau. Tất cả
nhỏ|Một bản tái hiện màu đen và trắng của Máy tính bảng Yale Babylonia của Bộ sưu tập YBC 7289 (khoảng 1800 Tam giác cân. Máy tính bảng cũng đưa ra một ví dụ trong
nhỏ|Khu vực hấp dẫn kỳ lạ phát sinh từ một [[phương trình vi phân. Phương trình vi phân là một lĩnh vực quan trọng của giải tích toán học với nhiều ứng dụng cho khoa
Trong toán học, **chuỗi** có thể được nói là, việc cộng lại vô hạn các số lại với nhau bất đầu từ số ban đầu. Chuỗi là phần quan trọng của vi tích phân và
**Trừu tượng hóa** trong toán học là quá trình rút ra bản chất cơ bản của một khái niệm toán học, loại bỏ bất kỳ sự phụ thuộc nào vào các đối tượng trong thế
**Toán học Ấn Độ** phát triển trên tiểu lục địa Ấn Độ từ 1200 TCN cho đến cuối thế kỷ 18. Trong thời kỳ cổ điển của toán học Ấn Độ (400 đến 1200), những
thumb|right|Một trang từ _[[Cuốn sách Súc tích về Tính toán bởi Hoàn thiên và Cân bằng_ của Al-Khwarizmi]] Toán học trong thời đại hoàng kim của Hồi giáo, đặc biệt là trong thế kỷ 9
**William Jones**, FRS (1675 - 3 tháng 7 năm 1749 [1]) là một trong những người của xứ Wales, tình yêu của họ 1 vòng vòng vì vậy Ông là bạn của Ngài Isaac Newton
thumb|right|Tấm đất sét [[YBC 7289 với những lời chú giải. Nó thể hiện giá trị xấp xỉ của căn bậc hai của 2 trong 4 số hệ đếm sáu mươi, 1 24 51 10, chính
**Giải Toán học Ruth Lyttle Satter** () hay **Giải Satter** () là một trong hai mươi mốt giải thưởng được trao bởi Hội Toán học Hoa Kỳ (AMS) và được trao hai năm một lần
nhỏ|250x250px| Vòng tròn đồng tâm ma thuật của Yang Hui – số trên mỗi vòng tròn và đường kính (bỏ qua đường giữa 9) tổng cộng là 138 **Vòng tròn ma thuật** được phát minh
**Hội Khoáng thạch học Việt Nam** là tổ chức xã hội - nghề nghiệp phi lợi nhuận của những người làm việc trong các lĩnh vực nghiên cứu điều tra và giảng dạy liên quan
phải|nhỏ|Kính hiển vi thạch học, là một loại [[kính hiển vi quang học được trang bị ống kính phân cực chéo, một ống kính nội soi, và bộ điều tiết (phổ biến là tấm vật
Bài viết này là **danh sách các thuật toán** cùng một mô tả ngắn cho mỗi thuật toán. ## Thuật toán tổ hợp ### Thuật toán tổ hợp tổng quát * Thuật toán Brent: tìm
phải|Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký hiệu bằng một biến với hai chỉ số ở dưới. Ví dụ, a2,1 biểu diễn phần tử ở hàng thứ hai và cột thứ nhất
**Khoảng cách** là đại lượng vật lý và toán học để tính độ lớn của đoạn thẳng nối giữa hai điểm nào đó. Trong đời sống thường ngày, người ta sử dụng thuật ngữ _khoảng
phải|nhỏ|[[Lưu đồ thuật toán (thuật toán Euclid) để tính ước số chung lớn nhất (ưcln) của hai số _a_ và _b_ ở các vị trí có tên A và B. Thuật toán tiến hành bằng
**Bản đồ học** hay **Đồ bản học** là khoa học nghiên cứu và phản ánh sự phân bố không gian, sự phối hợp mối liên hệ giữa các đối tượng, hiện tượng tự nhiên và
**Logic toán** là một ngành con của toán học có liên hệ gần gũi với cơ sở toán học, khoa học máy tính lý thuyết, logic triết học. Ngành này bao gồm hai phần: nghiên
nhỏ|Các bảng số học dành cho trẻ em, Lausanne, 1835 **Số học** là phân nhánh toán học lâu đời nhất và sơ cấp nhất, được hầu hết mọi người thường xuyên sử dụng từ những
**Chứng khó học toán** (**Dyscalculia**) là một dạng rối loạn gây khó khăn trong việc nhớ và hiểu để thao tác tính toán các con số và sự kiện toán học. Đây thường được coi
**Hipparchus xứ Nicaea** (; , _Hipparkhos_; TCN) là một nhà thiên văn học, nhà địa lý và nhà toán học người Hy Lạp. Ông được coi là người sáng lập ra lượng giác học, nhưng
**Nguyễn Cảnh Toàn** (28 tháng 9 năm 1926 – 8 tháng 2 năm 2017) là một Giáo sư Toán học Việt Nam, nguyên Hiệu trưởng trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Đại học Sư
Trong khoáng vật học, hình dạng và kích thước được sử dụng để mô tả cho các kiểu (còn gọi là dạng thường hay tập tính) phát triển của các tinh thể thường gặp nhất,
phải|nhỏ|Một loạt các khoáng vật. Hình ảnh lấy từ [http://volcanoes.usgs.gov/Products/Pglossary/mineral.html Cục Địa chất Hoa Kỳ] . **Khoáng vật** hoặc **khoáng chất, chất khoáng** là các hợp chất tự nhiên được hình thành trong quá trình