✨Cấu trúc toán học
Trong toán học, một cấu trúc trên một tập hợp (hoặc tổng quát hơn là trên một kiểu) là một hệ thống các đối tượng toán học được gắn kết với tập hợp đó theo một cách nhất định. Cấu trúc này giúp tập hợp trở nên dễ hình dung, thuận lợi hơn trong việc nghiên cứu, hoặc mang lại ý nghĩa và tầm quan trọng cụ thể cho tập hợp.
Danh sách các kiểu cấu trúc bao gồm độ đo, các cấu trúc đại số (các nhóm, các trường, v.v.), tô pô, không gian mêtric (hình học), tính thứ tự, tập hợp tương đương, và các cấu trúc vi phân.
Đôi khi, một tập được cung cấp đồng thời nhiều hơn một cấu trúc; điều này cho phép các nhà toán học nghiên cứu nó đầy đủ hơn. Ví dụ, một sắp thứ tự trên tô pô. Một ví dụ khác, nếu một tập hợp có một cấu trúc tô pô và là một nhóm, và hai cấu trúc này có quan hệ với nhau theo một cách nhất định nào đó, tập hợp này sẽ trở thành nhóm tô pô.
Đôi khi, một tập hợp có thể mang nhiều cấu trúc đồng thời, giúp các nhà toán học nghiên cứu nó một cách toàn diện hơn. Ví dụ, một sắp thứ tự trên một tô pô. Trong trường hợp khác, nếu một tập hợp có cấu trúc tô pô và là một nhóm, và hai cấu trúc này tương tác với nhau theo một cách cụ thể, thì tập hợp đó sẽ trở thành nhóm tô pô.
Các ánh xạ giữa các tập hợp bảo tồn tính cấu trúc đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học. Chúng mô tả sự tương ứng giữa các cấu trúc trong không gian và đảm bảo rằng cấu trúc trong một miền được ánh xạ đúng vào một cấu trúc tương ứng trong codomain. Ví dụ tiêu biểu gồm các phép đồng cấu trong đại số (bảo tồn cấu trúc đại số), các phép homeomorphisms trong topo học (bảo tồn cấu trúc không gian), và các vi phôi trong lý thuyết vi phân (bảo tồn cấu trúc vi phân).
Ví dụ các số thực
Tập hợp các số thực là một cấu trúc chuẩn với các đặc trưng rõ rệt trong nhiều lĩnh vực toán học, bao gồm thứ tự, đại số, độ đo, hình học và tô pô.
Tính thứ tự: Các số thực có tính thứ tự hoàn chỉnh, nghĩa là mỗi cặp số thực bất kỳ đều có quan hệ nhỏ hơn hoặc lớn hơn, tạo nên một trật tự tuyến tính.
Cấu trúc đại số: Các số thực tạo thành một trường, trong đó phép cộng và phép nhân thỏa mãn các tính chất đại số cơ bản như kết hợp, phân phối và có phần tử đơn vị (0 và 1).
Độ đo: Khoảng cách giữa hai số thực có thể được đo bằng các khái niệm như giá trị tuyệt đối. Mở rộng hơn, ta có thể dùng độ đo Lebesgue để đo lường các tập con trong không gian thực.
Hình học: Trên không gian các số thực, ta có thể trang bị một metric phẳng (chẳng hạn, khoảng cách Euclid) và cấu trúc vi phân, cho phép nghiên cứu các đối tượng hình học trong không gian thực.
Tô pô: Tập hợp các số thực được trang bị cấu trúc tô pô với các tập mở, cho phép nghiên cứu tính liên tục và các đặc tính hình học khác.
Mối quan hệ giữa các cấu trúc này là chặt chẽ:
- Cấu trúc thứ tự và cấu trúc độ đo cùng nhau cảm sinh ra cấu trúc tô pô của các số thực.
- Cấu trúc thứ tự và cấu trúc đại số tạo thành một trường có thứ tự, trong đó phép cộng và phép nhân tuân thủ trật tự.
- Cấu trúc đại số và cấu trúc tô pô kết hợp với nhau hình thành một nhóm Lie, một kiểu nhóm tô pô có cấu trúc vi phân đặc biệt.
Xem
Cấu trúc (Logic toán học) Đại số trừu tượng *Cấu trúc trừu tượng
👁️ 0 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
Trong toán học, **một cấu trúc trên một tập hợp** (hoặc tổng quát hơn là trên một kiểu) là một hệ thống các đối tượng toán học được gắn kết với tập hợp đó theo
thumb|right|Các thao tác bước xoay [[Rubik|khối lập phương Rubik tạo thành nhóm khối lập phương Rubik.]] Trong toán học, một **nhóm** (group) là một tập hợp các phần tử được trang bị một phép toán
**Triết học toán học** là nhánh của triết học nghiên cứu các giả định, nền tảng và ý nghĩa của toán học, và các mục đích để đưa ra quan điểm về bản chất và
Toán học trong nghệ thuật: Bản khắc trên tấm đồng mang tên _[[Melencolia I_ (1514) của Albrecht Dürer. Những yếu tố liên quan đến toán học bao gồm com-pa đại diện cho hình học, hình
**Toán học của thuyết tương đối rộng** là mô hình chứa đựng cấu trúc và kỹ thuật toán học được sử dụng để nghiên cứu và thiết lập lên thuyết tương đối rộng của Einstein.
Nói chung, **toán học thuần túy** là toán học nghiên cứu các khái niệm hoàn toàn trừu tượng. Đây là một loại hoạt động toán học có thể nhận biết được từ thế kỷ 19
Trong toán học, **dãy** là một họ có thứ tự các đối tượng toán học và cho phép lặp lại các phần tử trong đó. Giống như tập hợp, nó chứa các phần tử (hay
_Cuốn [[The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing_]] Từ _toán học_ có nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể
thumb|**Cấu trúc protein** từ cấu trúc bậc 1 tới cấu trúc bậc 4. **Protein** (Protid hay Đạm) là những đại phân tử được cấu tạo theo nguyên tắc đa phân mà các đơn phân là
thumb|Hai mặt phẳng giao nhau trong không gian ba chiều Trong toán học, _mặt phẳng_ là một mặt hai chiều phẳng kéo dài vô hạn. Một **mặt phẳng** là mô hình hai chiều tương tự
nhỏ|Cấu trúc của dãy [[ADN|DNA.]] **Cấu trúc** là sự sắp xếp và tổ chức các yếu tố bên trong của một vật hay hệ thống nào đó. Vật liệu cấu trúc bao gồm do con
khung|phải|Bản đồ Königsberg thời Euler, mô tả vị trí thực của bay cây cầu và sông Pregel. **Bài toán bảy cây cầu Euler**, còn gọi là **Bảy cầu ở Königsberg** là bài toán nảy sinh
nhỏ|250x250px| Vòng tròn đồng tâm ma thuật của Yang Hui – số trên mỗi vòng tròn và đường kính (bỏ qua đường giữa 9) tổng cộng là 138 **Vòng tròn ma thuật** được phát minh
phải|Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký hiệu bằng một biến với hai chỉ số ở dưới. Ví dụ, a2,1 biểu diễn phần tử ở hàng thứ hai và cột thứ nhất
Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *
phải|192|[[Cây nhị phân, một kiểu đơn giản của cấu trúc dữ liệu liên kết rẽ nhánh.]] thumb|right|Bảng băm Trong khoa học máy tính, **cấu trúc dữ liệu** là một cách lưu dữ liệu trong máy
Danh sách các vấn đề mở trong toán học ## Danh sách các bài toán mở trong toán học nói chung Nhiều nha toán học và tổ chức đã xuất bản danh sách cái bài
Sự phát triển của Toán học cả về mặt tổng thể lẫn các bài toán riêng lẻ là một chủ đề được bàn luận rộng rãi - nhiều dự đoán trong quá khứ về toán
Trong khoa học máy tính, **cấu trúc dữ liệu mảng** hoặc **mảng** là một cấu trúc dữ liệu bao gồm một nhóm các phần tử giá trị hoặc biến, mỗi phần tử được xác định
**N****gôn ngữ toán học** là hệ thống ngôn ngữ được sử dụng bởi các nhà toán học để truyền đạt ý tưởng toán học với nhau. Ngôn ngữ này bao gồm một nền tảng từ
Trong khoa học máy tính, **cấu trúc dữ liệu cho các tập hợp không giao nhau** là một cấu trúc dữ liệu để lưu trữ một tập hợp các phần tử được phân chia thành
thumb|Hình mình họa cho chứng minh của Euclid về định lý Pythagoras. **Toán học Hy Lạp** là nền toán học được viết bằng tiếng Hy Lạp, phát triển từ thế kỷ 7 TCN đến thế
Trong toán học, thuật ngữ **mầm** của một đối tượng trong/trên không gian tô pô là lớp tương đương của đối tượng đó và các đối tượng khác cùng loại và chúng đều có chung
Đề Ôn Tập Từ Vựng Và Cấu Trúc Tiếng Anh Lớp 5 Theo Chương Trình Giáo Dục Phổ Thông Mới Bộ sách Đề ôn tập từ vựng và cấu trúc Tiếng Anh là bộ sách
Trong khoa học máy tính, **đống** (tiếng Anh: _heap_) là một cấu trúc dữ liệu dựa trên cây thỏa mãn _tính chất đống_: nếu B là nút con của A thì khóa(A)≥khóa(B). Một hệ quả
Bộ sách Đề ôn tập từ vựng và cấu trúc Tiếng Anh là bộ sách dành riêng cho khối Tiểu học, với nội dung bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào
Bộ sách Đề ôn tập từ vựng và cấu trúc Tiếng Anh là bộ sách dành riêng cho khối Tiểu học, với nội dung bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào
Bộ sách Đề ôn tập từ vựng và cấu trúc Tiếng Anh là bộ sách dành riêng cho khối Tiểu học, với nội dung bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào
Bộ sách Đề ôn tập từ vựng và cấu trúc Tiếng Anh là bộ sách dành riêng cho khối Tiểu học, với nội dung bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào
Bộ sách Đề ôn tập từ vựng và cấu trúc Tiếng Anh là bộ sách dành riêng cho khối Tiểu học, với nội dung bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào
Mô hình cắt của Trái Đất từ trong nhân ra. Cấu trúc bên trong Trái Đất tương tự như ở bên ngoài cũng bao gồm các lớp. Các lớp này được xác định dựa trên
Trong toán học, và nhất là trong đại số trừu tượng, một **cấu trúc đại số** là một tập hợp (gọi là **tập hợp chứa** hoặc **tập hợp nền**) với một hoặc nhiều toán tử
nhỏ|254x254px|Một mô phỏng cho cấu trúc bậc ba của protein, đây là [[myoglobin]] **Cấu trúc bậc ba của protein** là hình dạng ba chiều của một protein. Cấu trúc bậc ba sẽ có một chuỗi
liên_kết=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Beta-meander1.png|thế=|nhỏ|Một dạng phiến gấp beta có mặt ở [[Protein A]] **Cấu trúc bậc hai của protein** là cấu trục ba chiều của các _phân đoạn địa phương_ (chứ không phải _toàn bộ_) của protein. Hai
Toán học không có định nghĩa được chấp nhận chung. Các trường phái tư tưởng khác nhau, đặc biệt là trong triết học, đã đưa ra các định nghĩa hoàn toàn khác nhau. Tất cả
Là một nhánh của toán học, đại số phát triển vào cuối thế kỷ 16 ở châu Âu với công trình của François Viète. Đại số được xem xét một cách đáng chú ý như
nhỏ|Một bản tái hiện màu đen và trắng của Máy tính bảng Yale Babylonia của Bộ sưu tập YBC 7289 (khoảng 1800 Tam giác cân. Máy tính bảng cũng đưa ra một ví dụ trong
phải|nhỏ|260x260px|Một tiết dạy toán tại [[Trường Khoa học và Công nghệ Đại học Aalto]] Trong giáo dục đương đại, **giáo dục** **toán học** là thực hành dạy và học toán học, cùng với các nghiên
thumb|Một tập _V_ trên [[mặt phẳng là một lân cận của điểm _p_ nếu nó chứa một đĩa tròn quanh _p_.]] Trong tô-pô và những nhánh liên quan của toán học, một **lân cận** là
Một **mô hình toán học** là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán để mô tả về một hệ thống. Mô hình toán được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học
:_Mục từ này nói về quan hệ trong toán học. Để xem các nghĩa khác, xem Quan hệ._ Trong toán học, **_quan hệ_** là một khái niệm khái quát hóa các quan hệ thường gặp,
**Viện Toán học** là cơ quan nghiên cứu chuyên sâu cơ bản về toán học trực thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam (VAST). Viện được thành lập năm 1969 theo Nghị định
**Toán học Ấn Độ** phát triển trên tiểu lục địa Ấn Độ từ 1200 TCN cho đến cuối thế kỷ 18. Trong thời kỳ cổ điển của toán học Ấn Độ (400 đến 1200), những
Đây là danh sách các nhà toán học Mỹ. ## Danh sách * James Waddell Alexander II (1888–1971) * Stephanie B. Alexander, được bầu vào năm 2014 với tư cách là thành viên của Hiệp
**Cấu trúc vi phân** trong hình học cho phép thực hiện các phép tính vi phân trên các đa tạp. Nó được xác định bởi đại số các hàm trơn trên đa tạp đó. Trên
phải|nhỏ|389x389px|[[Định lý Pythagoras|Định lý Pitago có ít nhất 370 cách chứng minh đã biết ]] Trong toán học và logic, một **định lý** là một mệnh đề phi hiển nhiên đã được chứng minh là
Trong toán học, **chuỗi** có thể được nói là, việc cộng lại vô hạn các số lại với nhau bất đầu từ số ban đầu. Chuỗi là phần quan trọng của vi tích phân và
Môn học **toán học vật lý** liên quan đến **toán học** có liên quan đến động lực vật lý và khác với vật lý toán học. _Tạp chí toán học vật lý_ là một tạp
**Nhà toán học** là người có tri thức rộng về toán học và sử dụng chúng trong công việc của mình, điển hình là giải quyết các vấn đề toán học. Đối tượng toán học
Một tập hợp hình đa giác trong một [[biểu đồ Euler]] Tập hợp các số thực (R), bao gồm các số hữu tỷ (Q), các số nguyên (Z), các số tự nhiên (N). Các số