:Mục từ này nói về quan hệ trong toán học. Để xem các nghĩa khác, xem Quan hệ.

Trong toán học, quan hệ là một khái niệm khái quát hóa các quan hệ thường gặp, ví dụ như các quan hệ bằng, nhỏ hơn, lớn hơn, đồng dư giữa các số, hay các quan hệ bằng nhau, đồng dạng giữa các hình tam giác. Tất cả các ví dụ này đều là các quan hệ hai ngôi.

Khái niệm

Định nghĩa

• Cho hai tập hợp A,B. Mỗi tập con $\backslash mathcal\; R$ của tích Descartes A x B được gọi là quan hệ hai ngôi từ A vào B. Nếu $\backslash mathcal\; R$ là quan hệ từ A vào B và cặp (a,b)$\backslash in\; \backslash mathcal\; R$ thì ta ký hiệu $a\; \backslash mathcal\; R\; b$.
• Nếu A = B thì một tập con $\backslash mathcal\; R$ của tích Descartes AxA được gọi là quan hệ trên A.
• Mở rộng của quan hệ hai ngôi là quan hệ n ngôi dẫn đến cấu trúc bảng trong cơ sở dữ liệu quan hệ.
• Lưu ý rằng tập tích Descarter là tập các cặp có thứ tự nên quan hệ định nghĩa ở đây là quan hệ có hướng từ A vào B. Ta hình dung như các phần tử thuộc tập A là các phần tử "chủ động" trong quan hệ, còn các phần tử của B (nếu có mặt trong quan hệ) là các phần tử "bị động". Điều lưu ý này rất hữu ích cho các quan hệ xã hội như quý và được quý, hâm mộ và bị hâm mộ, hay trong quan hệ bao hàm:chứa và được chứa trong...

Ví dụ

• Các quan hệ trong đời sống xã hội đều là các quan hệ theo nghĩa toán học: quan hệ hôn nhân (khác giới) là quan hệ từ tập người là nam vào tập người là nữ, quan hệ bạn bè, quan hệ đồng nghiệp, đồng hương, quan hệ chống đối... đều là các quan hệ giữa các tập người.
• Các quan hệ trong toán như quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn giữa các số thực, quan hệ chia hết giữa các số tự nhiên....
• Các quan hệ tuỳ ý giữa các tập hữu hạn có thể dẫn ra làm ví dụ rất nhiều, chẳng hạn cho A = {a, b, c, d}; B= {1, 2, 3}.

Quan hệ $\backslash mathcal\; R$={ (a,1), (a, 2), (b, 2), (c, 2)}.

Để biểu diễn quan hệ (trên các tập hữu hạn), nhất là khi phải giải quyết các bài toán về quan hệ trên máy tính, ta có biểu diễn bằng ma trận logic hoặc bằng đồ thị

Ma trận logic của quan hệ hai ngôi

Cho tập A có m phần tử :::A = {a₁,a₂,...,a_m} và tập B có n phần tử :::B = {b₁,b₂,...,b_n} Ma trận logic của quan hệ $\backslash mathcal\; R$ $\backslash subset$ A x B là ma trận cấp m $\backslash times$ n với các phần tử r _i,j xác định như sau: ::: j \end{cases} Ví dụ ma trận biểu diễn quan hệ $\backslash mathcal\; R$ ở trên là ::: $M${\mathcal R}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 \0& 1 & 0\0& 0 & 0\ \end{pmatrix}

Quan hệ n ngôi

Một quan hệ $n$ ngôi giữa các tập hợp $A\_1,\backslash dots,\; A\_n$ là một tập hợp con của tích Descartes $A\_1\backslash times\backslash dots\backslash times\; A\_n$.

Quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự

Một số tính chất của quan hệ trên một tập

Cho $\backslash mathcal\; R$ là một quan hệ trên tập A:

• $\backslash mathcal\; R$ được gọi là quan hệ có tính chất phản xạ nếu $\backslash forall\; a\backslash in\; A$:$a\backslash mathcal\; R\; a$
• $\backslash mathcal\; R$ được gọi là quan hệ có tính chất đối xứng nếu $\backslash forall\; a,b\backslash in\; A$:nếu $a\backslash mathcal\; R\; b$ thì $b\backslash mathcal\; R\; a$
• $\backslash mathcal\; R$ được gọi là quan hệ có tính chất bắc cầu nếu $\backslash forall\; a,b,c\backslash in\; A$:nếu $a\backslash mathcal\; R\; b$ và $b\backslash mathcal\; R\; c$ thì $a\backslash mathcal\; R\; c$.

Cho $a,b\; \backslash in\; A$ và quan hệ tương đương $\backslash mathcal\; R$. Khi đó

$\{[a]\}$\mathcal R \ne \emptyset ,$\{[b]\}$\mathcal R \ne \emptyset

hoặc $\{[a]\}$\mathcal R \cap {[b]}{\mathcal R} = \emptyset,hoặc $\{[a]\}${\mathcal R} = {[b]}{\mathcal R}.

Từ đó tập các lớp tương đương của $\backslash mathcal\; R$ tạo thành một phân hoạch (hay một sự chia lớp) của tập A.

Một ví dụ minh hoạ cho quan hệ tương đương là quan hệ đồng dư theo môđun m trên tập hợp các số nguyên $\backslash mathbb\; Z$(m là số tự nhiên lớn hơn 1), mỗi lớp tương đương là tập các số nguyên có cùng số dư theo môđun m. Trong số học nó còn được gọi là các lớp thặng dư theo môdun m.

Quan hệ thứ tự

• Quan hệ $\backslash mathcal\; R$ trên tập A được gọi là quan hệ thứ tự trên A nếu nó có ba tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. : Ví dụ về các quan hệ thứ tự là các quan hệ "≤", "≥" trên các tập hợp số. Một ví dụ khác là quan hệ chia hết "\" trên tập số tự nhiên, quan hệ bao hàm "$\backslash subset$" (quan hệ tập con) trong các tập hợp cũng là các quan hệ thứ tự.
• Sau đây ta dùng ký hiệu $\backslash sqsubseteq$ để chỉ một quan hệ thứ tự trong trường hợp tổng quát.
• Quan hệ thứ tự $\backslash sqsubseteq$ được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần trên tập A nếu với hai phần tử bất kỳ $a,\; b\backslash in\; A$ một trong hai quan hệ $a\; \backslash sqsubseteq\; b$ hoặc $b\; \backslash sqsubseteq\; a$ sẽ xảy ra. Trong trường hợp ngược lại nó được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận. Khi đó, tương ứng ta nói tập A được sắp thứ tự toàn phần/bộ phận. Khi không muốn nói vào chi tiết ta đơn giản gọi chúng là tập được sắp. Các quan hệ "≤" và "≥" trên tập số thực là quan hệ thứ tự toàn phần. Quan hệ chia hết trên tập số nguyên, quan hệ bao hàm trên các tập hợp là các quan hệ thứ tự bộ phận.

Các phần tử đặc biệt trong tập được sắp

• Trong tập A được sắp theo quan hệ $\backslash sqsubseteq$, một phần tử m được gọi là nhỏ nhất nếu $m\; \backslash sqsubseteq\; a$ với mọi $a\backslash in\; A$. Ví dụ như phần tử nhỏ nhất của tập các số tự nhiên dương là 1, phần tử nhỏ nhất theo quan hệ bao hàm trên các tập hợp là tập rỗng, theo quan hệ chia hết trên tập các số tự nhiên phần tử nhỏ nhất là số 1.
• Cho S là tập con của tập được sắp A theo quan hệ $m\; \backslash sqsubseteq\; a$. Phần tử m (nếu có) được gọi là infimum của S, ký hiệu là inf(S) hay ^S, nếu $m\; \backslash sqsubseteq\; a$ với mọi $a\; \backslash in\; S$ và nếu $\backslash forall\; a\; \backslash in\; S:\; n\; \backslash sqsubseteq\; a$ thì $n\; \backslash sqsubseteq\; m$.
• Nếu S= {a, b} $\backslash subset\; A$ thì inf({x,y}) được ký hiệu là x^y. Trong quan hệ chia hết trên tập các số tự nhiên, x^y chính là ƯCNN(x,y), còn theo quan hệ bao hàm giữa các tập hợp, A^B chính là tập $A\backslash cap\; B$.
• Khái niệm tương tự theo chiều ngược lại là khái niệm supremum, ký hiệu là sub(S)

Tích các quan hệ và bao đóng bắc cầu

Quan hệ tích

Cho quan hệ $\backslash mathcal\; R$ từ tập A vào tập B và quan hệ $\backslash mathcal\; S$ từ B vào C. Quan hệ tích $(\backslash mathcal\; \{RS\})$ là quan hệ từ A vào C, xác định bởi $a(\backslash mathcal\; \{RS\})\; c$ khi và chỉ khi tồn tại $b\backslash in\; B$ sao cho $a\; \backslash mathcal\; R\; b$ và $b\backslash mathcal\; S\; c$

Tính chất của quan hệ bắc cầu

• Quan hệ $\backslash mathcal\; R$ là quan hệ có tính chất bắc cầu khi và chỉ khi ::$\backslash mathcal\; \{RR\}$=$\backslash mathcal\; \{R\}^2\; \backslash subset\; \backslash mathcal\; R$.
• Quan hệ $\backslash mathcal\; S$ nhỏ nhất có tính chất bắc cầu chứa quan hệ $\backslash mathcal\; R$ được gọi là bao đóng bắc cầu (một số người gọi là bao đóng truyền ứng) của quan hệ $\backslash mathcal\; R$ ký hiệu là $[\backslash mathcal\; R]$.
• Nếu tập A hữu hạn gồm n phần tử thì ::$[\backslash mathcal\; R]=\; \backslash mathcal\; R\backslash cup\backslash mathcal\; \{R\}^2\backslash cup\backslash mathcal\; \{R\}^3...\backslash cup\backslash mathcal\; \{R\}^n$

Biểu diễn đồ thị của quan hệ hai ngôi

Ta có thể biểu diễn quan hệ $\backslash mathcal\; R$ từ tập X và tập Y bằng một đồ thị có hướng như hình bên. Nếu A $\backslash cap\; B$ = $\backslash emptyset$ thì đồ thị biểu diễn $\backslash mathcal\; R$ là đồ thị hai phía.

Trong hình bên phần tử A có thể "chủ động" quan hệ với ba phần tử 1, 2, 5 của Y, còn B chủ động không quan hệ với phần tử nào. Về phía Y, phần tử 2 và 5 bị hai phần tử cùng quan tâm, còn 3, 4 không được phần tử nào của X quan hệ tới.

Quan hệ và ánh xạ

Từ biểu diễn đồ thị của quan hệ $\backslash mathcal\; R$ và biểu diễn ánh xạ, có thể nhận ra rằng ánh xạ (hay hàm) là một quan hệ đặc biệt, mà ta gọi là quan hệ hàm. :Ánh xạ f : A $\backslash to$ B là một quan hệ từ A vào B thoả mãn điều kiện sau: ::Mỗi phần tử a $\backslash in$ A đều có quan hệ f với đúng một phần tử b $\backslash in$ B. Chú ý rằng trong định nghĩa này không loại trừ khả năng hai (hoặc nhiều hơn) phần tử của A cùng có quan hệ f với một phần tử $b\backslash in\; B$

Quan hệ như là cấu xạ

Trong phạm trù các quan hệ Rel, một quan hệ cũng là một cấu xạ giữa các tập hợp.