✨Phát biểu toán học của cơ học lượng tử

Phát biểu toán học của cơ học lượng tử là các hình thức toán học cho phép mô tả chặt chẽ cơ học lượng tử.

Các tiên đề

Tiên đề 1

Nội dung của tiên đề 1 nói về các đại lượng quan sát được và các toán tử: :Mỗi đại lượng quan sát được, hay biến số động lực, A trong cơ học lượng tử tương ứng với một toán tử $\backslash hat\{A\}$ sao cho phép đo A thu được giá trị _a _là các giá trị riêng của $\backslash hat\{A\}$, nghĩa là các giá trị a là những giá trị mà phương trình trị riêng $\backslash hat\{A\}\; \backslash varphi\; =\; a\backslash varphi$ có nghiệm $\backslash varphi$; khi đó $\backslash varphi$ là hàm riêng của toán tử $\backslash hat\{A\}$ tương ứng với trị riêng a.

Ví dụ thứ nhất

Toán tử xung lượng $\backslash hat\{p\}$ là $\backslash hat\{p\}\; =\; -i\; \backslash hbar\; \backslash nabla\; \backslash ,!$. Xét hạt chuyển động một chiều trên trục $x$. Khi đó

:$\backslash hat\; p\_x\; =\; -i\; \backslash hbar\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}$

và phương trình trị riêng của toán tử xung lượng là

:$-i\; \backslash hbar\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}\; \backslash varphi\; =\; p\_x\; \backslash varphi$,

trong đó $p$x là các giá trị khả dĩ mà ta sẽ thu được khi đo thành phần trên trục $x$ _của xung lượng; hàm sóng $\backslash varphi\; (x)$ tương ứng với một giá trị xác định của xung lượng $(p\_x)$ là hàm mà $|\backslash varphi(x)|^2\; dx$ là xác suất tìm thấy hạt với xung lượng $p\_x$ trong khoảng $[x,\; x\; +\; dx]$.

Giả sử hạt tự do (không có điều kiện biên) khi đó ta có nghiệm

:$\backslash varphi(x)\; =\; Ae^\{\backslash frac\{i\; p\_x\; x\}\{\backslash hbar\; =\; Ae^\{i\; k\; x\}$,

trong đó số sóng $k\; =\; \backslash frac\{p\}\; \{\backslash hbar\}$, như vậy $\backslash varphi(x)$ là hàm tuần hoàn theo $x$.

Ta hãy tìm bước sóng $\backslash lambda$:

:$e^\{ikx\}\; =\; e^\{ik(x+\backslash lambda)\}\; =\; cos(kx)+isin(kx)$

:$\backslash Rightarrow$ $\backslash left\{\backslash begin\{matrix\}\; cos(k\backslash lambda)\; =\; 1\; \backslash \; sin(k\backslash lambda)\; =\; 0\; \backslash end\{matrix\}\backslash right.$ $\backslash Rightarrow$ $k\backslash lambda\; =\; 2\backslash pi$,

tức là $\backslash frac\{p\}\{\backslash hbar\}\backslash lambda\; =\; 2\backslash pi\; \backslash Rightarrow\; p\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\backslash hbar\}\{\backslash lambda\}=\; \backslash frac\{h\}\{\backslash lambda\}$

(hệ thức De Broglie $\backslash varepsilon\; =\; \backslash hbar\backslash omega;\; \backslash vec\{p\}\; =\; \backslash hbar\backslash vec\{k\}$, trong đó tần số góc $\backslash omega$, vector sóng $\backslash vec\{k\}$, mỗi phôton có năng lượng $\backslash varepsilon$ và xung lượng $\backslash vec\{p\}$)

Ta thấy rằng hàm riêng của toán tử xung lượng tương ứng với trị riêng $p$ có bước sóng là bước sóng De Broglie $\backslash frac\{h\}\{\backslash lambda\}$.

Vậy hàm riêng và trị riêng của toán tử xung lượng là $\backslash varphi(x)\; =\; Ae^\{ikx\};\; p\; =\; \backslash hbar\; k$

Ví dụ thứ hai

Toán tử tương ứng với năng lượng là toán tử năng lượng hay toán tử Hamilton $\backslash hat\{H\}$, trong đó $\backslash vec\{p\}$ được thay bởi $\backslash hat\{\backslash vec\{p$.

Toán tử năng lượng của hạt có khối lượng $m$ trong trường thế $V(\backslash vec\{r\})$ là

:$\backslash hat\{H\}=\; \backslash frac\{\backslash hat\{p\}^2\}\{2m\}+V(\backslash vec\{r\})=-\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2m\}\backslash nabla^2\; +\; V(\backslash vec\{r\})$

Phương trình trị riêng có dạng

:$\backslash hat\{H\}\backslash varphi(\backslash vec\{r\})\; =\; E\backslash varphi(\backslash vec\{r\})$

Đây chính là phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian.

Xét hạt tự do: $\backslash hat\{H\}\; =\; \backslash frac\{\backslash hat\{p\}^2\}\{2m\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2m\}\backslash nabla^2$

Đối với hạt tự do một chiều, ta có phương trình trị riêng

:$-\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2m\}\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}\backslash varphi(x)\; =\; E\backslash varphi(x)$

Đặt $k^2\; =\backslash frac\{2mE\}\{\backslash hbar^2\}$ ($k$ được gọi là số sóng), ta có phương trình

:$\backslash varphi(x)\text{'}\text{'}\; +\; k^2\backslash varphi(x)\; =\; 0$

Do không có điều kiện ban đầu nên

:$\backslash varphi(x)=Ae^\{ikx\}+Be^\{-ikx\}$

:$\backslash varphi(x)$ là hàm riêng của toán tử $\backslash hat\{H\}$ tương ứng với trị riêng năng lượng $E=\backslash frac\{\backslash hbar^2k^2\}\{2m\}$.

Ta nhận thấy rằng hàm $\backslash varphi(x)=Ae^\{ikx\}+Be^\{-ikx\}$ ứng với $B\; =\; 0$ cũng là hàm riêng của toán tử xung lượng $\backslash hat\{\backslash vec\{p$.

Việc hai toán tử $\backslash hat\{H\}$ và $\backslash hat\{p\}$ của một hạt tự do có chung hàm riêng là một trường hợp đặc biệt của một định lý tổng quát hơn.

Tiếp theo ta hãy chứng minh rằng nếu $\backslash varphi$ là hàm riêng của $\backslash hat\{\backslash vec\{p$ thì $\backslash varphi$ cũng là hàm riêng của $\backslash hat\{H\}$.

Do $\backslash varphi$ là hàm riêng của $\backslash hat\{\backslash vec\{p$ nên ta có:

:$\backslash hat\{\backslash vec\{p\backslash varphi\; =\; \backslash hbar\; k\; \backslash varphi$

Do đó $\backslash hat\{H\}\backslash varphi=\backslash frac\{\backslash hat\{\backslash vec\{p\}\{2m\}(\backslash hat\{\backslash vec\{p\backslash varphi)=\backslash frac\{\backslash hat\{\backslash vec\{p\}\{2m\}(\backslash hbar\; k\backslash varphi)=\backslash frac\{\backslash hbar\; k\}\{2m\}(\backslash hat\{\backslash vec\{p\backslash varphi)=\backslash frac\{(\backslash hbar\; k)^2\}\{2m\}\backslash varphi$

tức là $\backslash varphi$ cũng là hàm riêng của $\backslash hat\{H\}$.

Cả năng lượng và xung lượng của hạt tự do có các giá trị liên tục

:$E=\backslash frac\{\backslash hbar^2\; k^2\}\{2m\};\; p\; =\; \backslash hbar\; k;$

nghĩa là chúng là trị riêng của bất cứ số sóng $k$ nào.

Hàm riêng tương ứng là

:$\backslash varphi\_k(x)\; =\; Ae^\{ikx\}$

Nếu hạt tự do ở trạng thái này thì phép đo xung lượng chắc chắn được giá trị $\backslash hbar\; k$, phép đo năng lượng chắc chắn được giá trị $\backslash frac\{\backslash hbar^2\; k^2\}\{2m\}$.

Giả sử ta đo vị trí $x$ của hạt. Hạt sẽ ở đâu?

Theo Born, khi hạt ở trạng thái được mô tả bởi hàm sóng $\backslash varphi\_k(x)\; =\; Ae^\{ikx\}$ thì mật độ xác suất liên quan tới xác suất tìm thấy hạt trong khoảng $[x,\; x\; +\; dx]$ là $|\backslash varphi\_k|^2=|A|^2=const$. Mật độ xác suất cùng bằng một hằng số cho mọi $x$. Vậy xác suất tìm thấy hạt ở bất cứ vị trí nào là như nhau.

Tiên đề 2

Nội dung của tiên đề 2 nói về phép đo trong cơ học lượng tử: :Phép đo biến số động lực $A$ thu được giá trị $a$ đưa hệ về trạng thái $\backslash varphi\_a$, trong đó $\backslash varphi\_a$ là hàm riêng của toán tử $\backslash hat\{A\}$ tương ứng với trị riêng $a$.

Ví dụ:

Hạt tự do chuyển động một chiều. Ta không biết hạt đang ở trong trạng thái nào, ở một thời điểm bất kỳ ta đo xung lượng của hạt và đạt được giá trị $p\; =\; \backslash hbar\; k$. Phép đo này đưa hệ về trạng thái $\backslash varphi\_k$, phép đo xung lượng sau đó chắc chắn thu được giá trị $p\; =\; \backslash hbar\; k$.

Giả sử, ta đo vị trí của một hạt tự do và đo được vị trí $x\; =\; x\text{'}$. Từ 2 tiên đề suy ra

(1) Có một toán tử $\backslash hat\{x\}$ tương ứng với phép đo được vị trí $x$.

(2) Đo $x$ được giá trị $x\text{'}$ đưa hạt về hàm riêng của toán tử $\backslash hat\{x\}$ tương ứng với trị riêng $x\text{'}$.

Ta có phương trình trị riêng

Tiên đề 3

(Thiết lập sự tồn tại của hàm trạng thái và mối liên hệ của nó với các tính chất của một hệ)

Nội dung:

Trạng thái của hệ ở một thời điểm bất kỳ được biểu diễn bởi một hàm trạng thái hay hàm sóng $\backslash psi$ liên tục và khả tích. Tất cả thông tin liên quan đến trạng thái của hệ được chứa đựng trong hàm sóng.

Cụ thể, nếu hệ ở trạng thái $\backslash psi(\backslash vec\{r\},\; t)$ thì giá trị trung bình của biến số động lực $C$ bất kỳ liên quan tới thời điểm $t$ là

:$\backslash left\; \backslash langle\; C\; \backslash right\; \backslash rangle=\backslash int\backslash psi^*\; \backslash hat\{C\}\backslash psi\; d\backslash vec\{r\}$

trong đó $d\backslash vec\{r\}$ là vi phân thể tích, $\backslash left\; \backslash langle\; C\; \backslash right\; \backslash rangle$ là giá trị kỳ vọng của biến số động lực $C$.

Ý nghĩa vật lý của giá trị trung bình biến số động lực $C$:

Biến số động lực $C$ được đo trong một thí nghiệm xác định $X$. Người ta chuẩn bị một số lượng $N$ rất lớn các phép lặp của $X$, các trạng thái đầu $\backslash psi(\backslash vec\{r\},\; 0)$ của mọi phép lặp đều như nhau. Ở thời điểm $t$, đo $C$ trong tất cả các thí nghiệm lặp và thu được tập giá trị $C\_1,\; C\_2,...,\; C\_N$. Suy ra

:$\backslash left\; \backslash langle\; C\; \backslash right\; \backslash rangle=\backslash frac\{1\}\{N\}\backslash sum\_\{i=1\}^\{N\}C\_i$

Tiên đề 3 nói rằng giá trị trung bình tính được trong thí nghiệm bằng giá trị trung bình cho bởi tích phân.

Tiên đề 4

Nội dung của tiên đề 4 là về sự tiến triển theo thời gian của hàm trạng thái: :Hàm trạng thái $\backslash psi(\backslash vec\{r\},\; t)$ của một hệ tiến triển theo thời gian theo phương trình

::$i\backslash hbar\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\backslash psi(\backslash vec\{r\},\; t)\; =\; \backslash hat\{H\}\backslash psi(\backslash vec\{r\},\; t)$

Đây chính là phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian.

Toán tử năng lượng của hạt có khối lượng $m$ trong trường thế $V(\backslash vec\{r\})$ là

:$\backslash hat\{H\}\; =\; \backslash frac\{\backslash hat\{p\}^2\}\{2m\}+V(\backslash vec\{r\})=-\backslash frac\{\backslash hbar^2\}\{2m\}\backslash nabla^2+V(\backslash vec\{r\})$

Giả sử $\backslash hat\{H\}$ không phụ thuộc $t$: $\backslash hat\{H\}\; =\; \backslash hat\{H\}(\backslash vec\{r\})$

Trong trường hợp này ta có thể tìm nghiệm của phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian nhờ kỹ thuật tách biến:

:$\backslash psi(\backslash vec\{r\},\; t)\; =\; \backslash psi(\backslash vec\{r\})T(t)$

Kết quả ta tìm được phần phụ thuộc thời gian

:$T(t)\; =\; Ae^\{-\backslash frac\{iEt\}\{\backslash hbar$

Giả sử phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian, thu được các hàm riêng $\backslash psi\_n$ và trị riêng $E\_n$:

:$\backslash hat\{H\}\backslash psi\_n=E\_n\backslash psi\_n$

Với mỗi nghiệm riêng như thế có một nghiệm riêng tương ứng với phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian

:$\backslash psi\_n(\backslash vec\{r\},\; t)\; =\; A\backslash psi\_n(\backslash vec\{r\})e^\{-\backslash frac\{i\; E\_n\; t\}\{\backslash hbar,\; n=1,2,3...$

điều này phù hợp khi $\backslash left\; \{\backslash psi\_n\; \backslash right\; \}$ gián đoạn.

Trong trường hợp $\backslash left\; \{\backslash psi\_n\; \backslash right\; \}$ liên tục, ví dụ như hạt tự do chuyển động một chiều, từ phương trìng Schrodinger không phụ thuộc thời gian

:$\backslash hat\{H\}\backslash psi\_k=E\_k\backslash psi\_k$

ta đã thu được hàm riêng $\backslash psi\_k(x)\; =\; Ae^\{ikx\}$ và trị riêng $E\_k\; =\; \backslash frac\{\backslash hbar^2\; k^2\}\{2m\}$.

Với mỗi nghiệm không phụ thuộc thời gian ta có một nghiệm phụ thuộc thời gian tương ứng

:$\backslash psi\_k(x,\; t)\; =\; Ae^\{i(kx\; -\; \backslash omega\; t)\}$, trong đó $\backslash hbar\backslash omega\; =\; E\_k$