✨Quan hệ bắc cầu

Trong toán học, một quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X được gọi là có tính bắc cầu (hay còn đựoc gọi là tính chuyển tiếp, tính truyền ứng) khi và chỉ khi điều kiện sau đây được thỏa mãn: nếu một phần tử a có quan hệ với một phần tử b, và phần tử b có quan hệ với phần tử c; thì phần tử a có quan hệ với phần tử c.

Định nghĩa

Quan hệ thuần nhất trên tập hợp là quan hệ bắc cầu nếu: :với mọi , nếu và , thì . Nếu viết theo ngôn ngữ logic bậc nhất thì: :$\backslash forall\; a,b,c\; \backslash in\; X:\; (aRb\; \backslash wedge\; bRc)\; \backslash Rightarrow\; aRc$,

Các ví dụ

Ví dụ không dùng toán học sau: quan hệ "là tổ tiên của" là quan hệ bắc cầu. Ví dụ, nếu An là tổ tiên của Bình, và Bình là tổ tiên của Cường, thì An cũng là tổ tiên của Cường.

Mặt khác, "là người đẻ ra" không phải là quan hệ bắc cầu, vì kể cả An đẻ ra Bình, Bình đẻ ra Cường, thì không có nghĩa An là người đẻ ra Bình. Hơn nữa, tính chất này còn được gọi là phản bắc cầu bởi An sẽ không bao giờ đẻ ra Cường.

Các quan hệ "lớn hơn", "lớn hơn hoặc bằng", và "bằng với" là các quan hệ bắc cầu trên rất nhiều tập, trong đó bao gồm tập số thực và số hữu tỉ:

: nếu x > y và y > z, thì x > z : nếu x ≥ y và y ≥ z, thì x ≥ z : nếu x = y và y = z, thì x = z.

Các ví dụ khác về tính bắc cầu:

• "là tập con của" (trên tập của các tập hợp)
• "chia hết" (tính chia hết trên tập các số tự nhiên)
• "suy ra" (phép kéo theo, ký hiệu bởi "⇒", là quan hệ trên các mệnh đề)

Các ví dụ của quan hệ không bắc cầu là:

• "là số tiếp theo của" (trên tập các số tự nhiên)
• "là phần tử của tập" (ký hiệu bởi "∈")
• "vuông góc với" (quan hệ trên các đường thẳng trong hình học Euclid)

Quan hệ rỗng trên bất cứ tập $X$ đều có tính bắc cầu bởi không có 3 phần tử $a,b,c\; \backslash in\; X$ sao cho $aRb$ và $bRc$. Quan hệ chỉ chứa duy nhất một cặp được sắp cũng được coi là có tính bắc cầu bởi: nếu cặp đó có dạng $(x,\; x)$ với $x\; \backslash in\; X$ thì chỉ có đúng một bộ $a,b,c\; \backslash in\; X$ có quan hệ là $a=b=c=x$, và do vậy $aRc$, nếu cặp đó không có dạng $(x,\; x)$ thì không có bộ $a,b,c\; \backslash in\; X$ sao cho $aRb$ và $bRc$, do vậy quan hệ đó vẫn được coi là tính bắc cầu vì chưa đủ số phần tử để xét.

Tính chất

Tính bao đóng

• Quan hệ ngược (hay nghịch đảo) của quan hệ bắc cầu là quan hệ bắc cầu. Áp dụng ví du, bởi quan hệ "là tập con của" có tính bắc cầu và quan hệ "là tập mẹ của" là ngược của nó, nên ta có thể kết luận quan hệ sau cũng có tính bắc cầu.
• Giao của hai quan hệ bắc cầu thì cũng bắc cầu. Quan hệ "sinh trước" và "cùng tên với" có tính bắc cầu, nên quan hệ "sinh trước và có cùng tên" cũng có tính bắc cầu.
• Hợp của hai quan hệ bắc cầu không nhất thiết phải bắc cầu. Ví dụ chẳng hạn, "sinh trước hoặc có cùng tên" không có tính bắc cầu, (Herbert Hoover có quan hệ với Franklin D. Roosevelt, và Franklin D.Roosevelt có quan hệ với Franklin Pierce, nhưng Hoover thì không có quan hệ gì với Franklin Pierce.
• Bù của quan hệ bắc cầu không nhất thiết phải bắc cầu. Ví dụ chẳng hạn, mặc dù "bằng với" là quan hệ bắc cầu, "không bằng với" chỉ bắc cầu trên các tập có tối đa một phần tử.

Các tính chất khác

Quan hệ bắc cầu bất đối xứng khi và chỉ khi nó hoàn toàn không phản xạ.

Quan hệ bắc cầu không nhất thiết phải phản xạ. Nhưng khi nó có, thì nó được gọi là tiền thứ tự. Ví dụ chẳng hạn, trên tập X = {1,2,3}:

• R = (1,1), (2,2), (3,3), (1,3), (3,2)} có tính phản xạ nhưng không bắc cầu, bởi thiếu tập (1,2),
• R = (1,1), (2,2), (3,3), (1,3)} vừa phản xạ vừa bắc cầu nên nó là tiền thứ tự,
• R = (1,1), (2,2), (3,3)} vừa phản xạ vừa bắc cầu nên nó là tiền thứ tự.

Mở rộng bắc cầu và bao đóng bắc cầu

Gọi là quan hệ hai ngôi trên tập hợp . Mở rộng bắc cầu của , được ký hiệu là , là quan hệ hai ngôi nhỏ nhất trên sao cho chứa , và nếu và thì . Lấy ví dụ sau, giả sử là tập hợp các xã được nối với nhau bởi các đường đi. Gọi là quan hệ nếu có đường đi giữa xã và xã . Quan hệ này không nhất thiết phải bắc cầu, mở rộng bắc cầu của nó được định nghĩa như sau: nếu ta có từ di chuyển từ xã sang xã tối đa hai đường. Mở rộng này không nhất thiết phải bắc cầu.

Nếu quan hệ có tính bắc cầu thì mở rộng bắc cầu của nó là chính nó, nghĩa là, nếu là quan hệ bắc cầu thì .

Mở rộng bắc cầu của sẽ là , và cứ tiếp tục như vậy, mở rộng bắc cầu của sẽ là . Bao đóng bắc cầu của , ký hiệu bởi hay là hợp của các tập , , , ... .

Bao đóng bắc cầu của quan hệ luôn có tính bắc cầu. Tuy nhiên, có các công thức có thể đếm số quan hệ vừa phản xạ, đối xứng và bắc cầu, hay nói cách khác đếm số quan hệ tương đương – , và đếm số quan hệ đối xứng và bắc cầu, số quan hệ đối xứng, bắc cầu toàn phần, bắc cầu và phản đối xứng.Pfeiffer là người tiến bộ nhiều nhất theo hướng này bằng cách biểu diễn các quan hệ trên tổ hợp các tính chất bằng các phần tử của mỗi tính chất đó, song việc tìm ra công thức để tính ra chúng vẫn còn nhiều trở ngại. Xem thêm cả Brinkmann và McKay (2005). Mala đã chứng minh rằng không có đa thức hệ số nguyên có thể biểu diễn thành công thức đếm số quan hệ bắc cầu trên một tập hợp , và tìm một số hàm đệ quy cho biết cận dưới của số đó.