✨Đường thẳng Euler

[[Hình:Triangle.EulerLine.svg|thumb|

]]

Trong hình học, đường thẳng Euler (tiếng Anh: Euler line), được đặt tên theo nhà toán học Leonhard Euler là một đường thẳng được xác định từ bất kỳ tam giác nào không đều. Đường thẳng này đi qua các điểm quan trọng trong tam giác như trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, và tâm của đường tròn chín điểm.

Đường thẳng Euler trong tam giác cũng giúp người ta định nghĩa đường thẳng Euler cho các hình khác, ví dụ như tứ giác hay tứ diện.

Đường thẳng Euler trong tam giác

Tính thẳng hàng

Năm 1765, Euler đã chứng mình rằng trong tam giác, các điểm như trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, và tâm đường tròn chín điểm cùng nằm trên một đường thẳng. Trong tam giác đều, bốn điểm này trùng nhau, nhưng trong các trường hợp còn lại thì không, và chỉ cần hai điểm trong số bốn điểm có thể xác định được đường thẳng Euler.

Các điểm đặc biệt đáng chú ý khác nằm trên đường thẳng Euler bao gồm điểm de Longchamps, điểm Schiffler, và điểm Exeter.

Chứng minh

Chứng minh sử dụng vecto

Trong chứng minh này, tam giác ABC được xét tới có tâm đường tròn ngoại tiếp $O$, trọng tâm $G$ và trực tâm $H$. Chứng minh này dựa trên tính chất của vecto, khi trước hết điểm $G$ thỏa mãn đẳng thức

:$\backslash vec\{GA\}+\backslash vec\{GB\}+\backslash vec\{GC\}=0.$

Tiếp đó, dựa theo bài toán tam giác của Sylvester, hai điểm $O$ và $H$ cùng nhau thỏa mãn đẳng thức

:$\backslash vec\{OH\}=\backslash vec\{OA\}+\backslash vec\{OB\}+\backslash vec\{OC\}.$

Sử dụng tính chất phép cộng các vecto, ta có

:$\backslash vec\{GO\}=\backslash vec\{GA\}+\backslash vec\{AO\}\backslash ,,\backslash ,\backslash vec\{GO\}=\backslash vec\{GB\}+\backslash vec\{BO\}\backslash ,,\backslash ,\backslash vec\{GO\}=\backslash vec\{GC\}+\backslash vec\{CO\}\backslash ,\{\}.$

Kết hợp các đẳng thức trên vế theo vế, ta thu được

:$3\backslash cdot\backslash vec\{GO\}=\backslash left(\backslash sum\backslash limits${\scriptstyle\rm cyclic}\vec{GA}\right)+\left(\sum\limits{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{AO}\right)=0-\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{OA}\right)=-\vec{OH}.

Từ đó, ta suy ra $3\backslash cdot\backslash vec\{OG\}=\backslash vec\{OH\}$, dẫn tới việc ba điểm $O$, $G$ và $H$ (theo thứ tự trên) thẳng hàng.

Chứng minh sử dụng hình học thuần túy

[[Tập_tin:Hình_vẽ_chứng_minh_đường_thẳng_Euler.png|thumb|

]]

_Tóm tắt đề bài: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn_ $(O)$ _có trực tâm_ $H$ _và trọng tâm_ $G$_. Chứng minh $H$_, $G$, $O$ thẳng hàng và $\backslash overline\{GH\}\; =\; -2\backslash overline\{GO\}$

• Lấy $M$ làm trung điểm $BC$, kẻ đường kính $AA\text{'}$ của đường tròn $(O)$.
• Do $H$ là trực tâm tam giác ABC, ta có $BH$ vuông góc với $AC$. Do $AA\text{'}$ là đường kính của $(O)$, suy ra $A\text{'}C$ vuông góc với $AC$. Hai đường thẳng $BH$ và $A\text{'}C$ cùng vuông góc với $AC$, từ đó ta thu được $BH\; \backslash parallel\; A\text{'}C$, kéo theo đó tứ giác $BHCA\text{'}$ là một hình bình hành.
• Do $M$ là trung điểm $BC$, nên theo tính chất của hình bình hành, $M$ đồng thời là trung điểm $A\text{'}H$. Ta thấy $O$ là trung điểm $AA\text{'}$, $M$ là trung điểm $A\text{'}H$, từ đó $OM$ là đường trung bình của tam giác $AA\text{'}H$.
• Xét tứ giác $AHMO$, ta thấy $AH\; =\; 2\; MO$, $AG\; =\; 2GM$, nên theo định lý Thales, ba điểm $O$, $G$, $H$ thẳng hàng và $\backslash overline\{GH\}\; =\; -2\backslash overline\{GO\}$.

Biểu diễn

Cho $A,\; B,\; C$ là tên của ba đỉnh tam giác bất kỳ, và cho $x:\; y:\; z$ điểm bất kỳ có tọa độ tam tuyến; hệ thức của đường thẳng Euler là:

:$\backslash sin\; 2A\; \backslash sin(B\; -\; C)x\; +\; \backslash sin\; 2B\; \backslash sin(C\; -\; A)y\; +\; \backslash sin\; 2C\; \backslash sin(A\; -\; B)z\; =\; 0.\backslash ,$

Một cách hữu hiệu khác để biểu diễn cho đường thẳng Euler là dùng tham số $t$. Bắt đầu với tâm đường tròn ngoại tiếp (với tọa độ là $\backslash cos\; A:\; \backslash cos\; B:\; \backslash cos\; C$) và trực tâm (với tọa độ là $\backslash sec\; A:\; \backslash sec\; B:\; \backslash sec\; C\; =\; \backslash cos\; B\; \backslash cos\; C:\; \backslash cos\; C\; \backslash cos\; A:\; \backslash cos\; A\; \backslash cos\; B)$, bất cứ điểm này trên đường thẳng Euler có thể được biểu diễn dưới một hệ thức như sau

:$\backslash cos\; A\; +\; t\; \backslash cos\; B\; \backslash cos\; C:\; \backslash cos\; B\; +\; t\; \backslash cos\; C\; \backslash cos\; A:\; \backslash cos\; C\; +\; t\; \backslash cos\; A\; \backslash cos\; B\backslash ,$

úng mới một giá trị t' nhất định.

Ví dụ:

• Trọng tâm = $\backslash cos\; A\; +\; \backslash cos\; B\; \backslash cos\; C:\; \backslash cos\; B\; +\; \backslash cos\; C\; \backslash cos\; A:\; \backslash cos\; C\; +\; \backslash cos\; A\; \backslash cos\; B$
• Tâm đường tròn chín điểm = $\backslash cos\; A\; +\; 2\; \backslash cos\; B\; \backslash cos\; C:\; \backslash cos\; B\; +\; 2\; \backslash cos\; C\; \backslash cos\; A:\; \backslash cos\; C\; +\; 2\; \backslash cos\; A\; \backslash cos\; B$
• Điểm de Longchamps = $\backslash cos\; A\; -\; \backslash cos\; B\; \backslash cos\; C:\; \backslash cos\; B\; -\; \backslash cos\; C\; \backslash cos\; A:\; \backslash cos\; C\; -\; \backslash cos\; A\; \backslash cos\; B$
• Điểm vô cực Euler = $\backslash cos\; A\; -\; 2\; \backslash cos\; B\; \backslash cos\; C:\; \backslash cos\; B\; -\; 2\; \backslash cos\; C\; \backslash cos\; A:\; \backslash cos\; C\; -\; 2\; \backslash cos\; A\; \backslash cos\; B$

  Đường thẳng Euler đồng quy

• Tam giác $ABC$ với hai điểm Fermat $F\_1$ and $F\_2$. Khi đó đường thẳng Euler tạo bởi 10 tam giác tạo bởi các đỉnh $A,\; B,\; C,\; F\_1,\; F\_2$ sẽ đồng quy tại trọng tâm tam giác $ABC$.
• Định lý Thebault IV: Cho tam giác $ABC$ với các đường cao $AA\text{'},\; BB\text{'},\; CC\text{'}$. Các đường thẳng Euler của các tam giác $AB\text{'}C\text{'},\; BC\text{'}A\text{'},CA\text{'}B\text{'}$ sẽ đồng quy trên đường tròn Euler của tam giác $ABC$ tại một điểm $P$ thoả mãn moả một trong các khoảng cách $PA\text{'},\; PB\text{'},\; PC\text{'}$ bằng tổng 2 khoảng cách còn lại. Điểm đồng quy này được biết đến là Tâm Jerabek, ký hiệu $X\_\{125\}$, là tâm của Hyperbol Jerabek.
• Định lý Schiffler: Cho tam giác $ABC$ với $I$ tâm đường tròn nội tiếp bốn đường thẳng Euler của bốn tam giác $BCI,\; CAI,\; ABI$ và $ABC$ đồng quy. Điểm đồng quy này gọi là điểm Schiffler (ký hiệu $X${21})_ của tam giác $ABC$.
• Điểm đánh số $X\_\{4240\}$ trong bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác là điểm đồng quy của 12 đường thẳng Euler, điểm này gọi là điểm Đào 12 đường thẳng Euler đồng quy.
• Cho tam giác $ABC$ không đều. Tập hợp các điểm $P$ thỏa mãn đường thẳng Euler các tam giác $PBC,\; PCA,\; PAB$ đồng quy là đường cong bậc ba Neuberg. Đặc biệt khi tam giác đều, tập hợp các điểm thỏa mãn tính chất này là toàn mặt phẳng.

  Đường thẳng Euler trong đa giác

  Trong tứ giác lồi, đường thẳng Euler tồn tại và nối các điểm quasi-trực tâm, trọng tâm, quasi-tâm đường tròn ngoại tiếp và quasi-tâm đường tròn chín điểm.