nhỏ|254x254px|Đồ thị của hàm số . là số duy nhất lớn hơn 1 sao cho diện tích phần được tô màu bằng 1.

Số **** là một hằng số toán học có giá trị gần bằng 2,71828 và có thể được biểu diễn theo nhiều cách khác nhau. Nó là cơ số của logarit tự nhiên, là số duy nhất sao cho logarit tự nhiên của nó bằng 1, và đồng thời là giới hạn của khi tiến về vô hạn, một biểu thức nảy sinh từ việc nghiên cứu lãi kép. Nó cũng bằng tổng của chuỗi vô hạn

: $e\; =\; \backslash sum\backslash limits\_\{n\; =\; 0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n!\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{1\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{1\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{1\backslash cdot\; 2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{1\backslash cdot\; 2\backslash cdot\; 3\}\; +\; \backslash cdots$

cũng được định nghĩa là số dương duy nhất sao cho đồ thị của hàm có hệ số góc bằng 1 tại .

Hàm mũ (tự nhiên) là hàm số duy nhất có đạo hàm bằng chính nó và có giá trị ban đầu là , và dễ thấy . Logarit tự nhiên, hay logarit cơ số , là hàm ngược của hàm mũ tự nhiên. Logarit tự nhiên của một số được định nghĩa là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm từ đến , khi đó là giá trị của sao cho diện tích đó bằng 1 (xem hình). còn có nhiều cách biểu diễn khác.

thỉnh thoảng còn được gọi là số Euler theo tên của nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler (không nên nhầm lẫn với hằng số Euler–Mascheroni , còn được gọi tắt là hằng số Euler), hoặc hằng số Napier. Tuy nhiên, ký hiệu của Euler được cho là đã được giữ lại để vinh danh ông. Hằng số này được tìm ra bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Jacob Bernoulli khi nghiên cứu về lãi kép.

Số có tầm quan trọng lớn trong toán học cùng với số 0, 1, và . Cả năm số này đều đóng vai trò không thể thiếu trong toán học và cùng xuất hiện trong một phương trình của đồng nhất thức Euler. Giống như hằng số , là một số vô tỉ (không thể biểu diễn thành tỉ số giữa hai số nguyên) và là số siêu việt (không phải là nghiệm của một phương trình đa thức khác không với hệ số hữu tỉ). Giá trị của đến 50 chữ số thập phân là:

Lịch sử

Hằng số được liên hệ lần đầu tiên vào năm 1618 ở bảng phụ lục trong công trình của John Napier về logarit, nhưng lại không nhắc đến trực tiếp về mà chỉ liệt kê danh sách các logarit được tính từ nó.

: $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash left(1\; +\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash right)^n.$

Hằng số này được sử dụng lần đầu tiên với ký hiệu là trong bức thư của Gottfried Leibniz gửi Christiaan Huygens vào năm 1690 và 1691. Leonhard Euler trong thư gửi Christian Goldbach vào ngày 25 tháng 11 năm 1731 đã gọi chữ cái là cơ số của logarit tự nhiên. Euler bắt đầu sử dụng chữ để ký hiệu cho hằng số vào khoảng 1727 hoặc 1728 trong một bài báo không được xuất bản về sức nổ của súng thần công, và chỉ xuất hiện trong xuất bản phẩm lần đầu vào năm 1736 trong cuốn Mechanica của ông. Dù một số nhà nghiên cứu sử dụng chữ trong những năm sau đó, nhưng chữ dần trở thành tiêu chuẩn về sau này.

Trong toán học, cách phổ biến nhất là viết hằng số thành chữ "" in nghiêng, nhưng tiêu chuẩn ISO 80000-2 khuyến nghị sắp chữ các hằng số theo kiểu thẳng đứng như các chữ cái thông thường.

Ứng dụng

Lãi kép

nhỏ|350x350px|Kết quả khi nhận lãi suất 20% mỗi năm trên khoản đầu tư 1.000 đô la theo nhiều chu kỳ tính lãi khác nhau Jacob Bernoulli tìm ra hằng số vào năm 1683 khi nghiên cứu một bài toán về lãi kép: (Ở đây là một số thực bằng với lãi suất phần trăm hằng năm, do đó với lãi suất 5% thì .)

Phép thử Bernoulli

nhỏ|300x300px|Biểu đồ xác suất P để một biến cố độc lập với xác suất xảy ra là 1/n không xảy ra sau n phép thử Bernoulli và so sánh 1 − P và n. Có thể thấy khi n tăng thì xác suất để một biến cố với xác suất xảy ra 1/n không xảy ra sau n lần thử tiệm cận rất nhanh về 1/e. Số cũng có ứng dụng trong lý thuyết xác suất, nảy sinh từ một vấn đề không liên quan rõ ràng với lũy thừa. Giả sử một người chơi một máy đánh bạc lần và xác suất để thắng là một phần . Với lớn (chẳng hạn như một triệu) thì xác suất để người đó thua mọi lần gần bằng . Với thì tỉ số này đã gần bằng 1/2,79.

Đó là một ví dụ về phép thử Bernoulli. Mỗi lần người đó chơi máy thì xác suất để thắng là một trên một triệu. Một triệu lần chơi như thế được mô hình hóa bằng phân phối nhị thức, vốn có liên hệ mật thiết với định lý nhị thức và tam giác Pascal. Xác suất để thắng lần trên một triệu lần chơi là

: $\backslash binom\{10^6\}\{k\}\; \backslash left(10^\{-6\}\backslash right)^k\backslash left(1\; -\; 10^\{-6\}\backslash right)^\{10^6-k\}.$

Đặc biệt, xác suất để người đó không thắng lần nào () là

: $\backslash left(1\; -\; \backslash frac\{1\}\{10^6\}\backslash right)^\{10^6\},$

rất gần với giới hạn

: $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{1\}\{n\}\backslash right)^n\; =\; \backslash frac\{1\}\{e\}.$

Phân phối chuẩn tắc

Phân phối chuẩn với trung bình bằng 0 và độ lệch chuẩn bằng 1 được gọi là phân phối chuẩn tắc và được cho bởi hàm mật độ xác suất

: $\backslash phi(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\; e^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\; x^2\}.$

Điều kiện phương sai bằng 1 (độ lệch chuẩn bằng 1) dẫn đến phân số trong số mũ, và điều kiện tổng diện tích dưới đường cong bằng 1 dẫn đến tỷ số $\backslash textstyle\; 1/\backslash sqrt\{2\backslash pi\}$. Hàm số này đối xứng quanh , tại đó nó đạt giá trị lớn nhất $\backslash textstyle\; 1/\backslash sqrt\{2\backslash pi\}$, và có các điểm uốn tại .

Hoán vị vô trật tự

Một ứng dụng khác của , vốn do Jacob Bernoulli và Pierre Raymond de Montmort tìm ra, nằm trong bài toán về hoán vị vô trật tự hay còn gọi là bài toán trả mũ. Có vị khách được mời đến một bữa tiệc và đều phải trả mũ của họ cho quản gia. Quản gia sẽ đặt số mũ này vào hộp, mỗi hộp được ghi tên của một vị khách duy nhất. Nhưng quản gia lại không hỏi trước tên của các vị khách nên việc xếp mũ vào hộp được thực hiện một cách ngẫu nhiên. Bài toán của de Montmort là tìm xác suất để không có chiếc mũ nào được đặt đúng vào hộp của vị khách đó. Câu trả lời là

: $p$n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} = \sum{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}. Khi số vị khách tiến đến vô hạn thì tiệm cận về . Hơn nữa, số cách xếp mũ vào hộp để biến cố trên xảy ra là (làm tròn đến hàng đơn vị) với là số dương.

Bài toán kế hoạch tối ưu

Một gậy chiều dài bị vỡ thành mảnh có độ dài bằng nhau. Giá trị của để tích các độ dài này lớn nhất là

: $n\; =\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{L\}\{e\}\; \backslash right\backslash rfloor$ hay $n\; =\; \backslash left\backslash lfloor\; \backslash frac\{L\}\{e\}\; \backslash right\backslash rfloor\; +\; 1,$

vì $x^\{-1\}\backslash ln\; x$ đạt giá trị lớn nhất tại $x\; =\; e$ (bài toán Steiner, xem dưới đây). Đại lượng $x^\{-1\}\backslash ln\; x$ là một độ đo lượng thông tin thu được từ một biến cố xảy ra với xác suất $1/x$, do đó phép chia tối ưu trên xuất hiện trong các bài toán kế hoạch tối ưu, chẳng hạn như bài toán thư ký.

Tiệm cận

Số xuất hiện khi liên hệ với nhiều bài toán liên quan đến tiệm cận. Một ví dụ là công thức Stirling về tiệm cận của hàm giai thừa có sự xuất hiện của cả hai số và : : $n!\; \backslash sim\; \backslash sqrt\{2\backslash pi\; n\}\; \backslash left(\backslash frac\{n\}\{e\}\backslash right)^n.$ Từ đó

: $e\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash frac\{n\}\{\backslash sqrt[n]\{n!.$

Trong vi tích phân

nhỏ|Đồ thị của hàm với (đường kẻ chấm), (đường màu xanh) và (đường nét đứt). Chúng đều đi qua điểm , nhưng đường màu đỏ (hệ số góc là ) chỉ là tiếp tuyến của hàm tại đó. phải|nhỏ|Logarit tự nhiên của số hay bằng Cơ sở chủ yếu cho sự ra đời của số , đặc biệt trong vi tích phân là từ các phép tính vi phân và tích phân với các hàm mũ và logarit. Tổng quát, hàm mũ có đạo hàm được cho bởi giới hạn:

: {h\to 0}\frac{a^{x+h} - a^x}{h} = \lim{h\to 0}\frac{a^x a^h - a^x}{h} \ &= a^x \cdot \left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h - 1}{h}\right). \end{align}

Giới hạn trong ngoặc ở vế phải độc lập với biến và chỉ phụ thuộc vào cơ số . Khi cơ số đó bằng thì giới hạn trên bằng nên được định nghĩa tượng trưng bởi phương trình:

: $\backslash frac\{d\}\{dx\}e^x\; =\; e^x.$

Do đó, hàm mũ cơ số rất phù hợp cho việc tính vi tích phân, vì nó giúp đơn giản hóa nhiều phép tính liên quan đến đạo hàm.

Một cách tiếp cận khác đến từ việc tính đạo hàm của logarit cơ số () với :

: $\backslash begin\{align\}\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash log$a x &= \lim{h\to 0}\frac{\log_a(x + h) - \loga(x)}{h} \ &= \lim{h\to 0}\frac{\log_a(1 + h/x)}{x\cdot h/x} \ &= \frac{1}{x}\loga\left(\lim{u\to 0}(1 + u)^\frac{1}{u}\right) \ &= \frac{1}{x}\log_a e, \end{align}

trong đó đặt . Logarit cơ số của bằng 1 nếu bằng , do đó

: $\backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash log\_e\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\}.$

Logarit với cơ số đặc biệt này được gọi là logarit tự nhiên và được ký hiệu là , giúp đơn giản hóa phép vi phân do không cần tìm các giới hạn chưa biết.

Như vậy, có hai cách để tìm một số đặc biệt như thế. Cách thứ nhất là cho đạo hàm của hàm mũ bằng với rồi giải phương trình để tìm . Cách thứ hai là cho đạo hàm của logarit cơ số bằng và giải tương tự. Cả hai nghiệm thu được thực chất là giống nhau và bằng số .

Các cách biểu diễn khác

nhỏ|Cả năm vùng được tô màu đều có diện tích bằng nhau và xác định đơn vị của [[góc hyperbol dọc theo hyperbol $xy=1$.]] Có nhiều cách biểu diễn số : giới hạn của một dãy, tổng của một chuỗi vô hạn hay các biểu thức liên quan đến giải tích tích phân. Trên đây, ta đã biết được hai tính chất:

là số thực dương duy nhất sao cho $\backslash frac\{d\}\{dt\}e^t\; =\; e^t$.

là số thực dương duy nhất sao cho $\backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash log\_e\; t\; =\; \backslash frac\{1\}\{t\}$.

Bốn cách biểu diễn sau cũng được chứng minh là tương tự như trên: | là tổng của chuỗi vô hạn : $e\; =\; \backslash sum\_\{n\; =\; 0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{1\}\{n!\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{0!\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{1!\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2!\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3!\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{4!\}\; +\; \backslash cdots,$

với là giai thừa của . (Theo quy ước, $\{0!\}\; =\; 1$.)| là số thực dương duy nhất sao cho :$\backslash int\_1^e\; \backslash frac\{1\}\{t\}\; \backslash ,\; dt\; =\; 1.$|Nếu là hàm mũ thì tỉ số $\backslash tau\; =\; f(t)/f\text{'}(t)$ là không đổi, thỉnh thoảng được gọi là hằng số thời gian (nghịch đảo của hằng số tăng trưởng theo cấp số nhân hoặc hằng số phân rã). Hằng số thời gian là thời gian để một hàm mũ tăng lần: $f(t+\backslash tau)\; =\; e\; f(t)$.|start=3

Tính chất

Vi tích phân

Hàm mũ rất quan trọng một phần do đây là hàm số duy nhất có đạo hàm bằng chính nó: : $\backslash frac\{d\}\{dx\}e^x\; =\; e^x$ và do đó cũng có nguyên hàm bằng chính nó: : $\backslash int\; e^x\backslash ,dx\; =\; e^x\; +\; C.$

Bất đẳng thức

nhỏ|Đồ thị của hàm mũ $y\; =\; 2^x$ và $y\; =\; 4^x$ cắt đường thẳng $y\; =\; x\; +\; 1$ lần lượt tại $x\; =\; 1$ và $x\; =\; -1/2$. Số $e$ là cơ số duy nhất của hàm mũ sao cho đồ thị $y\; =\; e^x$ cắt đường thẳng tại giao điểm duy nhất $x\; =\; 0$. Dễ thấy rằng giá trị của $e$ nằm giữa 2 và 4. là số thực duy nhất sao cho : với mọi số dương .

Đồng thời, ta cũng có bất đẳng thức : $e^x\; \backslash ge\; x\; +\; 1$ với mọi số thực , và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Hơn nữa, là cơ số duy nhất của hàm mũ để bất đẳng thức đúng với mọi . Đó là một trường hợp giới hạn của bất đẳng thức Bernoulli.

Hàm tựa mũ

liên kết=|thế=|nhỏ|250x250px|Giá trị lớn nhất của $\backslash sqrt[x]\{x\}$ đạt được tại . Bài toán Steiner yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của hàm số : $f(x)\; =\; x^\backslash frac\{1\}\{x\}.$ Giá trị lớn nhất này đạt được tại . Để chứng minh, từ bất đẳng thức $e^y\; \backslash ge\; y\; +\; 1$ ở trên, đặt $y\; =\; (x\; -\; e)/e$ rồi rút gọn thì ta có $e^\{x/e\}\; \backslash ge\; x$. Do đó $e^\{1/e\}\; \backslash ge\; x^\{1/x\}$ với mọi số dương .

Tương tự, là điểm để hàm số : $f(x)\; =\; x^x$ đạt giá trị nhỏ nhất với là số dương. Tổng quát hơn, hàm số

: $f(x)\; =\; x^\{x^n\}$

với là số dương đạt giá trị lớn nhất tại khi và đạt giá trị nhỏ nhất tại khi .

Tetration vô hạn

: $x^\{x^\{x^\{\backslash cdot^\{\backslash cdot^\{\backslash cdot\}$ hay $\{^\backslash infty\}x$

hội tụ khi và chỉ khi (hay nằm giữa 0,0660 và 1,4447) theo một định lý của Leonhard Euler.

Lý thuyết số

Số thực là một số vô tỉ. Euler chứng minh được điều này bằng cách cho thấy liên phân số của nó có thể được mở rộng ra vô hạn. Hơn nữa, theo định lý Lindemann–Weierstrass, là một số siêu việt, có nghĩa là nó không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức khác không với hệ số hữu tỉ. Charles Hermite chứng minh được điều này vào năm 1873.

Có phỏng đoán cho rằng là số bình thường, có nghĩa là khi được biểu diễn trên bất kỳ hệ đếm cơ số nào thì các chữ số trong hệ đếm đó được phân bố đồng đều nhau (xuất hiện với xác suất bằng nhau trong bất kỳ chuỗi nào với độ dài cho trước).

Số phức

Hàm mũ có thể được viết thành chuỗi Taylor:

: $e^\{x\}\; =\; 1\; +\; \{x\; \backslash over\; 1!\}\; +\; \{x^\{2\}\; \backslash over\; 2!\}\; +\; \{x^\{3\}\; \backslash over\; 3!\}\; +\; \backslash cdots\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{x^n\}\{n!\}$

Vì chuỗi trên hội tụ với bất kỳ giá trị phức nào của nên nó có thể được dùng để mở rộng khái niệm cho số phức. Cùng với chuỗi Taylor cho và , ta suy ra được công thức Euler đúng với mọi số phức :

: $e^\{ix\}\; =\; \backslash cos\; x\; +\; i\backslash sin\; x.$

Trường hợp đặc biệt với là đồng nhất thức Euler:

: $e^\{i\backslash pi\}\; +\; 1\; =\; 0,$

từ đó suy ra, trong nhánh chủ yếu của logarit,

: $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\backslash pi.$

Hơn nữa, áp dụng các công thức lũy thừa,

: $(\backslash cos\; x\; +\; i\backslash sin\; x)^n\; =\; \backslash left(e^\{ix\}\backslash right)^n\; =\; e^\{inx\}\; =\; \backslash cos\; (nx)\; +\; i\; \backslash sin\; (nx),$

đó chính là công thức de Moivre.

Biểu thức

: $\backslash cos\; x\; +\; i\; \backslash sin\; x$

còn được ký hiệu là .

Ta cũng suy ra được các biểu thức biểu diễn $\backslash sin\; x$ và $\backslash cos\; x$ theo các hàm mũ:

: $\backslash sin\; x\; =\; \backslash frac\{e^\{ix\}\; -\; e^\{-ix\{2i\},\; \backslash qquad\; \backslash cos\; x\; =\; \backslash frac\{e^\{ix\}\; +\; e^\{-ix\{2\}.$

Phương trình vi phân

Họ các hàm số

: $y(x)\; =\; Ce^x,$

với là số thực, là nghiệm của phương trình vi phân

: $y\text{'}\; =\; y.$

Biểu diễn

Số có thể được biểu diễn thành một số thực theo nhiều cách khác nhau: là một chuỗi vô hạn, một tích vô hạn, một liên phân số hay giới hạn của một dãy. Trong số đó, thông dụng nhất là giới hạn

: $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash left(1\; +\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash right)^n$

đã cho ở trên, và chuỗi

: $e\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n!\}$

có được bằng cách thay vào chuỗi lũy thừa cho hàm mũ ở trên.

Một dạng khác ít phổ biến hơn là liên phân số

: $e\; =\; [2;\; 1,\; 2,\; 1,\; 1,\; 4,\; 1,\; 1,\; 6,\; 1,...,\; 1,\; 2n,\; 1,...]$

hoặc được viết thành

: $e\; =\; 2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\; \{1\; +\; \backslash cfrac\{1\}\; \{2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\; \{1\; +\; \backslash cfrac\{1\}\; \{1\; +\; \backslash cfrac\{1\}\; \{4\; +\; \backslash cfrac\{1\}\; \{1\; +\; \backslash cfrac\{1\}\; \{1\; +\; \backslash ddots\}\; \}\; \}\; \}\; \}\; \}\; \}\; .$

Nhiều cách biểu diễn khác của dưới dạng chuỗi, dãy số, liên phân số và tích vô hạn cũng đã được tìm ra và phát triển.

Biểu diễn ngẫu nhiên

Cùng với các biểu thức giải tích chính xác, còn có thể được tính gần đúng thông qua các kỹ thuật ngẫu nhiên. Một cách tiếp cận như thế bắt đầu từ một dãy vô hạn các biến độc lập ngẫu nhiên , ,... trong một phân phối đều trên [0, 1]. Gọi là số nhỏ nhất để tổng của biến đầu tiên như vậy lớn hơn 1:

: $V\; =\; \backslash min\backslash left\{\; n\; \backslash mid\; X\_1\; +\; X\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; X\_n\; >\; 1\; \backslash right\}.$

Khi đó giá trị kỳ vọng của là hay .

Số chữ số đã biết

Số chữ số đã biết của đã gia tăng đáng kể trong vài thập kỷ trở lại đây do sự phát triển của máy tính và thuật toán nói chung.

Từ khoảng năm 2010, với sự ra đời của máy tính để bàn hiện đại tốc độ cao, việc tính toán hàng nghìn tỷ chữ số của trong một khoảng thời gian chấp nhận được là hoàn toàn khả thi. Tính đến ngày 5 tháng 12 năm 2020, đã được tính đến 31,4 nghìn tỷ chữ số thập phân.

Trong văn hóa máy tính

Trong sự xuất hiện của văn hóa Internet, nhiều tổ chức và cá nhân đã đôi lúc tỏ lòng kính trọng và tôn vinh số . Chẳng hạn, nhà khoa học máy tính Donald Knuth đã cho số phiên bản của phần mềm Metafont của ông tiến dần về số . Các phiên bản lần lượt là 2, 2.7, 2.71, 2.718,...

Trong đợt IPO của Google năm 2004, công ty đặt mục tiêu huy động được đúng 2.718.281.828 đô la Mỹ, tức là tỷ đô la làm tròn đến hàng đơn vị. Google cũng đã từng làm một biển quảng cáo đặt tại trung tâm thung lũng Silicon và sau đó tại Cambridge, Massachusetts, Seattle, Washington và Austin, Texas, trong đó có ghi "{first 10-digit prime found in consecutive digits of }.com" ("{số nguyên tố có 10 chữ số đầu tiên trong dãy chữ số liên tiếp của }.com"). Khi giải được bài toán này và truy cập vào trang web đã cho thì người giải được dẫn đến một bài toán khó hơn với cơ hội được vào Google Labs để làm một bản hồ sơ lý lịch trích ngang. Số nguyên tố có 10 chữ số đầu tiên trong là 7427466391, bắt đầu từ chữ số thứ 99.