✨Chứng minh e là số vô tỉ

Số e được Jacob Bernoulli giới thiệu vào năm 1683. Hơn nửa thế kỷ sau, Euler, người từng là học trò của em trai Jacob, Johann, đã chứng minh rằng e là số vô tỉ; nghĩa là nó không thể được biểu thị bằng thương số của hai số nguyên.

Trong toán học, dạng khai triển số e của Euler

: $e\; =\; \backslash sum\_\{n\; =\; 0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n!\}!$ được dùng để chứng minh rằng e là số vô tỉ. Dưới đây là phép chứng minh bằng phản chứng của Joseph Fourier.

Chứng minh

Giả sử rằng e là số hữu tỉ. Khi đó tồn tại các số tự nhiên a và b sao cho e = a/b.

Đặt

:$x\; =\; b!\backslash ,\backslash biggl(e\; -\; \backslash sum\_\{n\; =\; 0\}^\{b\}\; \backslash frac\{1\}\{n!\}\backslash biggr)!$

Thay e = a/b vào biểu thức bên trên ta được

:$x\; =\; b!\backslash ,\backslash biggl(\backslash frac\{a\}\{b\}\; -\; \backslash sum${n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\biggr) = a(b - 1)! - \sum{n = 0}^{b} \frac{b!}{n!}\,.

Số hạng đầu tiên là số nguyên, các số hạng tiếp theo nguyên bởi vì n ≤ b, vậy nên x là số nguyên.

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng 0 < x < 1. Thật vậy, thay e bằng dạng khai triển Euler ta được:

:$x\; =\; \backslash sum\_\{n\; =\; b+1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{b!\}\{n!\}>0\backslash ,.!$

Với mọi n ≥ b + 1 ta có ước lượng bên dưới :$\backslash frac\{b!\}\{n!\}\; =\backslash frac1\{(b+1)(b+2)\backslash cdots(b+(n-b))\}\; \backslash le\backslash frac1\{(b+1)^\{n-b\backslash ,,!$

Vậy 0 < x < 1, mà không có số nguyên nào giữa 0 và 1, mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai, vậy e phải là số vô tỉ.