✨Liên phân số

Liên phân số (tiếng Anh: continued fraction) còn gọi là phân số liên tục là một dạng biểu diễn các số thực dương, cả hữu tỷ và vô tỷ, dưới dạng một phân số nhiều tầng. Ví dụ:

$\backslash frac\; 9\; 7\; =\; 1+\; \backslash cfrac\; \{1\}\; \{3+\backslash cfrac\; \{1\}\{2$

Liên phân số đóng vai trò rất lớn trong việc nghiên cứu lý thuyết số.

Định nghĩa

Liên phân số ở dạng chính tắc là biểu thức có dạng :$x\; =\; a\_0\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{a\_1\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{a\_2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{a\_3+\backslash ,\backslash ddots\}$

trong đó a₀ là một số nguyên không âm và tất cả các số a_n là số nguyên dương.

Liên phân số có thể biểu diễn chính xác các số thực.

Dạng tổng quát hơn là: :$x\; =\; a\_0\; +\; \backslash cfrac\{b\_1\}\{a\_1\; +\; \backslash cfrac\{b\_2\}\{a\_2\; +\; \backslash cfrac\{b\_3\}\{a\_3+\backslash ,\backslash ddots\}$ trong đó b_n là số nguyên dương.

Chúng ta thường quen với biểu diễn thập phân của số thực: :$r\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^\backslash infty\; a\_i\; 10^\{-i\}$

trong đó a₀, là số nguyên bất kỳ, còn mỗi số a_i là một phần tử của {0, 1, 2,..., 9}. Trong cách biểu diễn này, số Pi biểu diễn bởi dãy {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2,...}.

Tuy thế, theo cách biểu này có một số giới hạn. Một trong các vấn đề đó là sự tùy ý của cơ số 10. Tại sao là 10? Phải chăng là từ các yếu tố sinh học chứ không phải toán học (mỗi người chúng ta có 10 ngón tay); thay vì cơ số 10 ta có thể dùng cơ số 8 hoặc 2. Một vấn đề khác biểu diễn của các số hữu tỷ $\backslash frac\; \{p\}\{q\}$ với q lớn hơn 1, trong hệ thập phân là vô hạn, chẳng hạn số ⅓ được biểu diễn bởi dãy vô hạn {0, 3, 3, 3, 3,....}. Vấn đề thứ ba là các biểu diễn của một số là không duy nhất; chẳng hạn, số 1 có thể biểu diễn bằng cách khác 0.999...=1.

Liên phân số đưa ra một cách biểu diễn số thực giải quyết cả ba vấn đề trên. Chẳng hạn, xét số 415/93, phần nguyên của phân số này là 4, phần lẻ của nó là số $\backslash frac\; \{43\}\; \{93\}$ xấp xỉ với $\backslash frac\; 1\; 2$, ta muốn giữ nguyên tử số 1 thay mẫu số 2 bằng một số khác, chính xác hơn là $2+\backslash frac\; 7\; \{43\}$, khi đó có thể viết :$\backslash frac\; \{415\}\; \{93\}=4+\backslash frac\; \{43\}\; \{93\}=4+\backslash cfrac\; 1\; \{\backslash cfrac\; \{93\}\; \{43=4+\; \backslash cfrac\; 1\; \{2+\backslash cfrac\; \{7\}\; \{43=4+\backslash cfrac\; 1\; \{2+\backslash cfrac\; 1\; \{\backslash cfrac\; \{43\}\; \{7\}=4+\backslash cfrac\; 1\; \{2+\backslash cfrac\; 1\; \{6+\backslash cfrac\; \{1\}\; \{7\}$.

:Thay cho cách viết cồng kềnh trên ta quy ước viết ::$\backslash frac\; \{415\}\{93\}=\; 4+\; \backslash frac\; 1\; \{2+\}+\backslash frac\; 1\; \{6+\}\; +\backslash frac\; 1\; \{7\}$ :hay đơn giản là 415/93= 4+1/(2+1/(6+1/7)), :hay đơn giản hơn nữa 415/93= [4; 2, 6, 7].

Có thể chứng minh rằng: Dạng liên phân số của một số là hữu hạn khi và chi khi số đó là hữu tỷ. Và dạng liên phân số của một số là vô hạn khi và chỉ khi số đó là vô tỷ.

Thuật toán biểu diễn số thực bằng liên phân số chính tắc

Thuật toán sau là một cách đơn giản để biểu diễn số thực bất kì dưới dạng liên phân số chính tắc:

Cho số thực r, ký hiệu i là phần nguyên của r, f là phần thập phân của r. Biểu diễn liên phân số của r là [i; a₁, a₂,...], trong đó [a₁; a₂,...] là dạng biểu diễn liên phân số của 1/f. Nếu như f=0 thì thuật toán dừng lại, trong trường hợp f khác 0, ta lặp lại các bước trên với r thay bằng 1/f.

Ví dụ cho r= 4,345. Như vậy i= 4, f= 0,345. Bảng sau mô tả các bước tìm biểu diễn liên phân số của r.

Số 4,345 là một số hữu tỉ, do đó biểu diễn liên phân số của nó hữu hạn.

Liên phân số hữu hạn

Liên phân số hữu hạn biểu diễn số hữu tỉ. Ngược lại, một số hữu tỉ bất kì có thể biểu diễn bằng liên phân số hữu hạn theo 2 cách:

Cách thứ nhất, bằng thuật toán nêu ở phần thuật toán biểu diễn số thực bằng liên phân số, ta được liên phân số :$[a${0}; a{1}, a{2}, \,\ldots, a{n-1}, a_{n}].

Cách thứ hai, từ biểu diễn ở cách thứ nhất, ta bớt đi 1 đơn vị ở thành phần cuối, và thêm vào sau nó một thành phần đúng bằng 1. :$[a${0}; a{1}, a{2}, \,\ldots, a{n-1}, a_{n}-1, 1].

Hai cách biểu diễn trên là tương đương nhau vì:

:$x\; =\; a\_0\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{a\_1\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{a\_2\; +\; \backslash cfrac\{1\}\{a$3+\,\cfrac{1}{\ddots +\cfrac{1}{a{n-1} + \frac{1}{a_n = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a3+\,\cfrac{1}{\ddots +\cfrac{1}{a{n-1} + \frac{1}{(a_n-1)+\frac{1}{1}

Ví dụ: :$2.25\; =\; 2\; +\; 1/4\; =\; [2;\; 4]\; =\; [2;\; 3,\; 1],\; \backslash ;$ :$-4.2\; =\; -5\; +\; 4/5\; =\; [-5;\; 1,\; 4]\; =\; [-5;\; 1,\; 3,\; 1].\; \backslash ;$

Liên phân số vô hạn

Liên phân số vô hạn là số vô tỉ. Và mọi số vô tỉ đều được biểu diễn dưới dạng liên phân số vô hạn.

Liên phân số vô hạn tuần hoàn

Trong đó, đáng chú ý là các liên phân số vô hạn tuần hoàn, tức là các thành phần lập lại theo một cách tuần hoàn.

Ví dụ:

[1;2,2,2,2,2,2,...] với các số 2 lặp lại tuần hoàn;

[0;2,3,4,2,3,4,2,3,4,...]với 2,3,4 lặp lại tuần hoàn.

Các liên phân số tuần hoàn chính là nghiệm của 1 đa thức bậc hai nào đó với các hệ số nguyên.

Ví dụ:

$[1;2,2,2,...]=\; \backslash sqrt\; 2$ là nghiệm của đa thức bậc hai $x^2-2$. $[0;2,3,4,2,3,4,2,3,4,...]\; =\; \{-27\; \backslash over\; 14\}\; +\; \{1\; \backslash over\; 14\}\backslash sqrt\; 1093$ là nghiệm của đa thức bậc hai $7x^2+27x-13.$

Dãy giản phân của số thực

Cho số thực r có dạng liên phân số là:$[a${0}; a{1}, a{2}, \,\ldots, a{n-1}, a_{n}, \,\ldots,] (có thể hữu hạn hoặc vô hạn).

Từ công thức biểu diễn trên, có thể xây dựng một dãy số hữu tỉ (hữu hạn hoặc vô hạn) hội tụ đến r, dãy này gọi là dãy giản phân:

$\backslash frac\; \{h\_\{0\; \{k\_\{0\; =\; \backslash frac\; \{a\_\{0\{1\};$ $\backslash frac\; \{h\_\{1\; \{k\_\{1\; =\; [a\_\{0\};a\_\{1\}]\; =\; a\_\{0\}\; +\; \backslash frac\; \{1\}\{a\_\{1\; =\; \backslash frac\; \{a\_\{0\}a\_\{1\}+1\}\; \{a\_\{1;$ $\backslash frac\; \{h\_\{2\; \{k\_\{2\; =\; \backslash frac\{\; a\_2(a\_1a\_0+1)+a\_0\}\{a\_2a\_1+1\};$ $\backslash frac\; \{h\_\{3\; \{k\_\{3\; =\; \backslash frac\{a\_3(a\_2(a\_1a\_0+1)+a\_0)+(a\_1a\_0+1)\}\{a\_3(a\_2a\_1+1)+a\_1\};$

...

$\backslash frac\; \{h\_\{n\; \{k\_\{n\; =\; [a\_\{0\};\; a\_\{1\},\; a\_\{2\},\; \backslash ,\backslash ldots,\; a\_\{n-1\},\; a\_\{n\}];$ (*)

...

Đặt $\{r${n = \frac {h{n {k_{n.

Ví dụ, dãy giản phân của 0,84375 (dạng liên phân số là [0;1,5,2,2]):

:

Dãy giản phân {$\backslash frac\; \{h${n {k{n} có các tính chất sau:

Tính hội tụ của dãy

Dãy {$\backslash frac\; \{h${n {k{n} hội tụ, và giới hạn của nó là r.

Công thức truy hồi

Trước hết ta xét 1 tính chất khá lý thú:

Với số thực bất kì $x\backslash in\backslash mathbb\{R\}$

:$\backslash left[a\_0;\; a$1, \,\dots, a{n-1}, x \right]= \frac{x h{n-1}+h{n-2 {x k{n-1}+k{n-2.

Từ tính chất trên có thể tính $\{h${n, {k{n theo công thức tổng quát (*), hoặc theo công thức truy hồi sau (chứng minh xem bằng quy nạp rất đơn giản):

Liên hệ giữa tử số và mẫu số

Nếu giản phân thứ n là $h\_n/k\_n$, thì :$k$nh{n-1}-k_{n-1}h_n=(-1)^n.\,

Hệ quả: $\backslash frac\; \{h${n {k{n là phân số tối giản.

:$\backslash frac\{h\_n\}\{k$n}-\frac{h{n-1{k_{n-1 = \frac{hnk{n-1}-knh{n-1{knk{n-1= \frac{-(-1)^n}{knk{n-1.

Khoảng cách trong dãy giản phân xây dựng bởi liên phân số của r

Nếu mà chỉ số với s < t < n thì: :$\backslash left|\; r\_s\; -\; r\_n\; \backslash right|\; >\; \backslash left|\; r\_t\; -\; r\_n\; \backslash right|$.

Sự biến thiên của dãy

Các phân số ở vị trí chẵn ($\backslash frac\; \{h${0 {k{0, $\backslash frac\; \{h${2 {k{2,...) luôn bé hơn r, và tăng dần:

$\backslash frac\; \{h\_\{0\; \{k\_\{0$ < $\backslash frac\; \{h\_\{2\; \{k\_\{2$ < $\backslash frac\; \{h\_\{4\; \{k\_\{4$ <...< r.

Các phân số ở vị trí lẻ ($\backslash frac\; \{h${1 {k{1, $\backslash frac\; \{h${3 {k{3,...) luôn lớn hơn r, và giảm dần:

$\backslash frac\; \{h\_\{1\; \{k\_\{1$ > $\backslash frac\; \{h\_\{3\; \{k\_\{3$ > $\backslash frac\; \{h\_\{5\; \{k\_\{5$ >... > r.

Độ xấp xỉ của các giản phân so với số thực mà chúng xấp xỉ

Các tính chất ở trên cho phép ta đánh giá độ sai số của các giản phân trong chuỗi so với số thực ban đầu :$\backslash frac\{1\}\{k$n(k{n+1}+k_n)}< \left|r-\frac{h_n}{k_n}\right|< \frac{1}{knk{n+1.

Chứng minh vế phải của bất đẳng thức (chứng minh này được trích dẫn từ ):

(**)

Với :$\backslash frac\{h${n{k{n = a{0} + Σ_i=0→(n-1) $\backslash frac\{(-1)^\{i\{k${i}.k_{i+1

:$|z-\backslash frac\{h${n{k{n| = | Σ_i=n→+∞ $\backslash frac\{(-1)^\{i\{k${i}.k{i+1 |.

Từ công thức: :$k${i+2} = a{i+2}.k{i+1} + k{i} > k{i+1}, suy ra :$\backslash frac\{1\}\{k${i}.k{i+1 > \frac{1}{k{i+1}.k_{i+2 với mọi i ≥ 0. (***)

Áp dụng (***): :$|$ Σ_i=n→+∞ $\backslash frac\{(-1)^i\}\; \{k${i}.k{i+1 |

:$=\; \{\backslash frac\{1\}\{k${n}.k{n+1 - \frac{1}{k{n+1}.k{n+2} + {\frac{1}{k{n+2}.k{n+3 - \frac{1}{k{n+3}.k{n+4} + \ldots + {\frac{1}{k{n+2i}k{n+2i+1 - \frac{1}{k{n+2i+1}.k{n+2i+2} + \ldots

:{n}.k{n+1 - \frac{1}{k{n+1}.k{n+2} + ({\frac{1}{k{n+1}k{n+2 - \frac{1}{k{n+2}k{n+3}) + {\frac{1}{k{n+2}.k{n+3 - \frac{1}{k{n+3}.k{n+4} + ({\frac{1}{k{n+3}k{n+4 - \frac{1}{k{n+4}k{n+5}) + \ldots + {\frac{1}{k{n+2i}k{n+2i+1 - \frac{1}{k{n+2i+1}.k{n+2i+2} + ({\frac{1}{k{n+2i+1}k{n+2i+2 - \frac{1}{k{n+2i+2}k{n+2i+3}) +\ldots

:$=\; \backslash frac\{1\}\{k${n}.k{n+1 +(- \frac{1}{k{n+1}.k{n+2 + \frac{1}{k{n+1}k{n+2)+(- \frac{1}{k{n+2}k{n+3 + \frac{1}{k{n+2}.k{n+3) +(- \frac{1}{k{n+3}.k{n+4 + \frac{1}{k{n+3}k{n+4)+ (- \frac{1}{k{n+4}k{n+5 + \frac{1}{k{n+4}k{n+5)+\ldots +(- \frac{1}{k{n+2i+1}.k{n+2i+2 + \frac{1}{k{n+2i+1}k{n+2i+2)+\ldots

:$=\; \backslash frac\{1\}\{k${n}.k{n+1 + 0 + 0 + 0 + 0 + \ldots. + 0 + 0+ \ldots

:$=\; \backslash frac\{1\}\{k${n}.k{n+1.

Suy ra (**) đúng.

Liên phân số của Nghịch đảo

Cho số thực dương r, nếu biết dạng liên phân số của nó là :$[a${0}; a{1}, a{2}, a{3}, \,\ldots, a{n-1}, a{n}] yêu cầu đặt ra là tìm dạng liên phân số của nghịch đảo 1/r.

Xét 2 trường hợp:

• nếu r>1, tức là $a$0 > 1 thì liên phân số của 1/r là: :$[0;\; a${0}, a{1}, a{2}, a{3}, \,\ldots, a{n-1}, a_{n}];

• nếu 0<r<1, tức là $a$0 = 0 thì liên phân số của 1/r là: :$[a${1}; a{2}, a{3}, \,\ldots, a{n-1}, a{n}].

Ví dụ:

:$2.25\; =\; \backslash frac\{9\}\{4\}\; =\; [2;4]$, $\backslash frac\{1\}\{2.25\}\; =\; \backslash frac\{4\}\{9\}\; =\; [0;2,4]$;

:$\backslash frac\{15\}\{17\}\; =\; [0;1,7,2]$, $\backslash frac\{17\}\{15\}\; =\; [1;7,2]$.

Biểu diễn liên phân số của các số thực đặc biệt

=== Biểu diễn liên phân số của số '''$\backslash pi$

''' === Biểu diễn liên phân số chính tắc của số $\backslash pi$:

:$\backslash pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\backslash cdots]$

.

:$\backslash pi=3+\backslash cfrac\{1\}\{7+\backslash cfrac\{1\}\{15+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{292+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{2+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{3+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{14+\backslash cfrac\{1\}\{2+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash cfrac\{1\}\{1+\backslash ddots\}$

Từ biểu diễn đó, ta tìm ra được các số hữu tỉ gần đúng với π là:

:$\backslash frac\{3\}\{1\},\; \backslash frac\{22\}\{7\},\; \backslash frac\{333\}\{106\},\; \backslash frac\{355\}\{113\},\; \backslash ,\backslash ldots$.

Các thành phần trong liên phân số chính tắc (với các tử số bằng 1) của số π, không hề tuân theo một quy luật nào.

Tuy vậy các cách biểu diễn liên phân số khác (không chính tắc) của π lại có quy luật:

:$\backslash pi=\backslash cfrac\{4\}\{1+\backslash cfrac\{1^2\}\{2+\backslash cfrac\{3^2\}\{2+\backslash cfrac\{5^2\}\{2+\backslash cfrac\{7^2\}\{2+\backslash cfrac\{9^2\}\{2+\backslash ddots=\; 3+\backslash cfrac\{1^2\}\{6+\backslash cfrac\{3^2\}\{6+\backslash cfrac\{5^2\}\{6+\backslash cfrac\{7^2\}\{6+\backslash cfrac\{9^2\}\{6+\backslash ddots\}=\; \backslash cfrac\{4\}\{1+\backslash cfrac\{1^2\}\{3+\backslash cfrac\{2^2\}\{5+\backslash cfrac\{3^2\}\{7+\backslash cfrac\{4^2\}\{9+\backslash ddots\}$

Biểu diễn liên phân số của số e và các dạng khác của nó

Trong khi dạng liên phân số đơn giản của π không có quy luật, điều này lại không đúng với trường hợp của e:

:$e\; =\; e^1\; =\; [2;\; 1,\; 2,\; 1,\; 1,\; 4,\; 1,\; 1,\; 6,\; 1,\; 1,\; 8,\; 1,\; 1,\; 10,\; 1,\; 1,\; 12,\; 1,\; 1,\; \backslash dots]\; \backslash ,!,$

tổng quát hơn,:

:$e^\{1/n\}\; =\; [1;\; n-1,\; 1,\; 1,\; 3n-1,\; 1,\; 1,\; 5n-1,\; 1,\; 1,\; 7n-1,\; 1,\; 1,\; \backslash dots]\; \backslash ,!.$

và:

:$e^\{2/n\}\; =\; \backslash left[1;\; \backslash frac\{n-1\}\{2\},\; 6n,\; \backslash frac\{5n-1\}\{2\},\; 1,\; 1,\; \backslash frac\{7n-1\}\{2\},\; 18n,\; \backslash frac\{11n-1\}\{2\},\; 1,\; 1,\; \backslash frac\{13n-1\}\{2\},\; 30n,\; \backslash frac\{17n-1\}\{2\},\; 1,\; 1,\; \backslash dots\; \backslash right]\; \backslash ,!,$

với n = 1:

:$e^2\; =\; [7;\; 2,\; 1,\; 1,\; 3,\; 18,\; 5,\; 1,\; 1,\; 6,\; 30,\; 8,\; 1,\; 1,\; 9,\; 42,\; 11,\; 1,\; 1,\; 12,\; 54,\; 14,\; 1,\; 1\; \backslash dots,\; 3k,\; 12k+6,\; 3k+2,\; 1,\; 1\; \backslash dots]\; \backslash ,!.$

Các số thực khác

:$\backslash tan(1/n)\; =\; [0;\; n,\; 3n,\; 5n,\; 7n,\; 9n,\; 11n,\; 13n,\; 15n,\; 17n,\; 19n,\; \backslash dots]\; \backslash ,!$

với n là số nguyên dương.

:$\backslash tan(1/n)\; =\; [0;\; n-1,\; 1,\; 3n-2,\; 1,\; 5n-2,\; 1,\; 7n-2,\; 1,\; 9n-2,\; 1,\; \backslash dots]\backslash ,!,$

trường hợp riêng n = 1:

:$\backslash tan(1)\; =\; [1;\; 1,\; 1,\; 3,\; 1,\; 5,\; 1,\; 7,\; 1,\; 9,\; 1,\; 11,\; 1,\; 13,\; 1,\; 15,\; 1,\; 17,\; 1,\; 19,\; 1,\; \backslash dots]\backslash ,!.$

Một số định lý và bài toán ứng dụng liên phân số

Phương trình Pell

Xem phần ứng dụng dùng liên phân số để giải phương trình Pell ở bài phương trình Pell.