✨Số hữu tỉ

nhỏ|285x285px|Các số hữu tỉ (ℚ) được bao gồm trong các [[số thực (ℝ), trong khi bản thân chúng bao gồm các số nguyên (ℤ), đến lượt nó bao gồm các số tự nhiên (ℕ)]] Trong toán học, số hữu tỉ là các số x có thể biểu diễn dưới dạng phân số $\backslash frac\{a\}\{b\}$, trong đó a và b là các số nguyên với b ≠ 0.

Tập hợp các số hữu tỉ, hay còn gọi là trường số hữu tỉ, ký hiệu là (chữ đậm) hoặc $\backslash mathbb\; Q$ (chữ viền), Unicode 𝐐/ℚ. Tên Q của tập hợp này được Giuseppe Peano sử dụng lần đầu tiên như là chữ viết tắt của quoziente, nghĩa là tỷ lệ, và xuất hiện lần đầu trong cuốn sách Algèbre của Bourbaki.

Khai triển thập phân của một số hữu tỉ kết thúc sau một số hữu hạn chữ số (ví dụ: hoặc thậm chí bắt đầu lặp lại một số hữu hạn cùng dãy các chữ số lặp đi lặp lại (ví dụ: ). Ngược lại, bất kỳ số thập phân lặp lại tuần hoàn hoặc kết thúc sau hữu hạn chữ số đều đại diện cho một số hữu tỉ. Các phát biểu này đúng trong cơ số 10 và trong mọi cơ số nguyên khác (ví dụ: nhị phân hoặc thập lục phân).

Một số thực không phải là số hữu tỉ được gọi là số vô tỉ. Một số ví dụ của số vô tỉ bao gồm $\backslash sqrt2$, , và . Khai triển thập phân của một số vô tỉ kéo dài mãi mà không lặp lại. Vì tập hợp các số hữu tỉ là đếm được và tập hợp các số thực là không đếm được nên hầu như tất cả các số thực đều là số vô tỉ.

Số hữu tỉ có thể được định nghĩa một cách chính tắc là các lớp tương đương của các cặp số nguyên với , sử dụng quan hệ tương đương được định nghĩa như sau:

Phân số khi đó biểu thị lớp tương đương của .

Số hữu tỉ cùng với phép cộng và phép nhân tạo thành một trường trong đó có chứa các số nguyên, và được chứa trong bất kỳ trường nào có chứa các số nguyên. Nói cách khác, trường số hữu tỉ là một trường nguyên tố và một trường có đặc trưng là 0 nếu và chỉ khi nó chứa các số hữu tỉ dưới dạng một trường con. Phần mở rộng hữu hạn của được gọi là trường số đại số và phần đóng đại số của là trường số đại số.

Trong giải tích toán học, các số hữu tỉ tạo thành một tập con trù mật của các số thực. Các số thực có thể được xây dựng từ các số hữu tỉ bằng cách hoàn thành, sử dụng chuỗi Cauchy, cắt Dedekind hoặc các số thập phân vô hạn (để biết thêm, xem Xây dựng các số thực).

Từ nguyên

Thuật ngữ hữu tỷ trong tên của tập hợp đề cập đến thực tế rằng một số hữu tỷ biểu thị một tỷ số của hai số nguyên. Tính từ hữu tỉ đôi khi có nghĩa là các hệ số là số hữu tỉ. Ví dụ, một điểm hữu tỉ là một điểm có toạ độ hữu tỉ (tức là một điểm có toạ độ là số hữu tỉ); một ma trận hữu tỉ là một ma trận của các số hữu tỉ; một đa thức hữu tỉ có thể là một đa thức với các hệ số hữu tỉ, mặc dù thuật ngữ "đa thức trên các số hữu tỉ" thường được ưu tiên hơn, để tránh nhầm lẫn giữa " biểu thức hữu tỉ " và " hàm hữu tỉ" (đa thức là một biểu thức hữu tỉ và định nghĩa một hàm hữu tỉ, ngay cả khi các hệ số của nó không phải là số hữu tỉ). Tuy nhiên, một đường cong hữu tỷ không phải là một đường cong được xác định trên các số hữu tỷ, mà là một đường cong có thể được tham số hóa bằng các hàm hữu tỷ.

Từ nguyên này tương tự như từ nguyên của số ảo và số thực.

Số học

Phân số tối giản

Mọi số hữu tỉ có thể được biểu diễn theo một cách duy nhất dưới dạng một phân số tối giản , trong đó và là các số nguyên tố cùng nhau và . Đây thường được gọi là dạng chính xác của số hữu tỉ.

Bắt đầu từ một số hữu tỉ , dạng chính xác của nó có thể nhận được bằng cách chia và cho ước chung lớn nhất của chúng, và nếu , thay đổi dấu của tử số và mẫu số.

Biểu diễn số nguyên

Mọi số nguyên có thể được biểu diễn dưới dạng số hữu tỉ , là dạng chính tắc của nó dưới dạng một số hữu tỉ.

Đẳng thức

Nếu cả hai phân số đều tối giản, thì:

Phép trừ

Hai số hữu tỷ được trừ như sau:

Nếu cả hai phân số đều tối giản, kết quả sẽ ở dạng chính tắc khi và chỉ khi và là các số nguyên tố cùng nhau.

Lũy thừa với số mũ nguyên

Nếu là một số nguyên không âm, thì

Kết quả ở dạng chuẩn tắc nếu ở dạng chuẩn tắc. Đặc biệt, nếu $a$ và $b$ đều khác 0 thì ta có

• $\backslash left(\backslash frac\{a\}\{b\}\backslash right)^0\; =\; 1.$
• $\backslash left(\backslash frac\{a\}\{b\}\backslash right)^\{-n\}\; =\; \backslash frac\{b^n\}\{a^n\}.$

Nếu như ở dạng chuẩn tắc, dạng chuẩn tắc của kết quả là nếu hoặc chẵn. Nếu không, dạng chuẩn tắc của kết quả là .

Biểu diễn

Biểu diễn trong hệ thập phân và các hệ cơ số khác

Khi biểu diễn số hữu tỉ theo hệ ghi số cơ số 10 (dạng thập phân), số hữu tỉ có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn và ngược lại.

Một phân số tối giản với mẫu dương và mẫu không có ước nguyên tố nào ngoài 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

VD: phân số $\backslash frac\{4\}\{25\}$ có mẫu số là $25=5^2$ không có ước nguyên tố nào khác 5 nên có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn $\backslash frac\{4\}\{25\}\; =\; 0,16$

Một phân số tối giản với mẫu dương và mẫu có ít nhất 1 ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 1: phân số $\backslash frac\{5\}\{7\}$ có mẫu số là 7 nên được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 2: phân số $\backslash frac\{24\}\{17\}$ có mẫu số là 17 nên được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn
$\backslash frac\{24\}\{17\}$$=\; 1,4117647058823529411764705882353...\backslash ,$$=\; 1,(4117647058823529)\backslash ,$

Dãy các chữ số lặp lại trong biểu diễn thập phân của các số thập phân vô hạn tuần hoàn được gọi là chu kỳ, và số các chữ số trong chu kỳ này có thể chứng minh được rằng không vượt quá |b|.

Một cách tổng quát, trong một hệ cơ số bất kỳ, các chữ số sau dấu phẩy của số hữu tỉ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

Biểu diễn bằng liên phân số

Một liên phân số hữu hạn là một biểu thức chẳng hạn như

trong đó là các số nguyên. Mọi số hữu tỉ có thể được biểu diễn dưới dạng một liên phân số hữu hạn, mà hệ số có thể được xác định bằng cách áp dụng thuật toán Euclide cho .

Xây dựng tập các số hữu tỉ từ tập số nguyên

phải|nhỏ|300x300px|Biểu đồ thể hiện sự biểu diễn các lớp tương đương của các cặp số nguyên Trong toán học hiện đại, người ta xây dựng tập hợp các số hữu tỉ như trường các thương của $\backslash mathbb\{Z\}$.

Xét tập tích Decaters: :$\backslash mathbb\{Q\}\backslash times\; \backslash mathbb\{Z\}^$=$\{(a;\; b)|\; a\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\},\; b\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}^$ }

Trên đó xác định một quan hệ tương đương: :: $\backslash left(a,\; b\backslash right)\; \backslash sim\; \backslash left(c,\; d\backslash right)\; \backslash Leftrightarrow\; ad\; =\; bc$

lớp tương đương của cặp (a, b) được ký hiệu là a/b và gọi là thương của a cho b: : $b/a\; =\; \{\backslash left\; [\; (a,b)\; \backslash right]\}\_\{\backslash sim\}$

Tập các lớp này (tập thương) được gọi là tập các số hữu tỷ và ký hiệu là $\backslash mathbb\; Q$. Trên tập $\backslash mathbb\{Z\}\backslash times\; \backslash mathbb\{Z\}^*$ định nghĩa các phép toán: : $\backslash left(a,\; b\backslash right)\; +\; \backslash left(c,\; d\backslash right)\; =\; \backslash left(ad\; +\; bc,\; bd\backslash right)$ : $\backslash left(a,\; b\backslash right)\; \backslash times\; \backslash left(c,\; d\backslash right)\; =\; \backslash left(ac,\; bd\backslash right)$

Khi đó nếu $\backslash left(a,\; b\; \backslash right)\backslash sim\; \backslash left(a\text{'},\; b\text{'}\backslash right)$ và $\backslash left(c,\; d\backslash right)\; \backslash sim\; \backslash left(c\text{'},\; d\text{'}\backslash right)$ :thì $\backslash left(a,\; b\; \backslash right)+\backslash left(c,\; d\backslash right)\; \backslash sim\; \backslash left(a\text{'},\; b\text{'}\backslash right)+\backslash left(c\text{'},\; d\text{'}\backslash right)$; :và $\backslash left(a,\; b\; \backslash right)\backslash times\; \backslash left(c,\; d\backslash right)\; \backslash sim\; \backslash left(a\text{'},\; b\text{'}\backslash right)\; \backslash times\; \backslash left(c\text{'},\; d\text{'}\backslash right)$.

Do đó các phép toán trên có thể được chuyển sang thành các phép toán trên tập các lớp tương đương nói trên, nghĩa là tập $\backslash mathbb\{Q\}$.

Để xem $\backslash mathbb\; Z$ là bộ phận của $\backslash mathbb\; Q$ ta nhúng $\backslash mathbb\; Z$ vào $\backslash mathbb\; Q$ nhờ đơn ánh cho mỗi số nguyên n ứng với lớp n/1 trong $\backslash mathbb\; Q$.\

Tính chất của các số hữu tỉ (tập hợp Q)

phải|nhỏ|200x200px|Minh họa về tính có thể đếm được của các số hữu tỷ dương Tập hợp Q của tất cả các số hữu tỉ, cùng với các phép toán cộng và nhân được trình bày ở trên, tạo thành một trường. Tính đóng đại số của , tức là trường của các nghiệm của các đa thức hữu tỷ, là trường của các số đại số.

Tập hợp tất cả các số hữu tỉ có thể đếm được (xem hình vẽ), trong khi tập hợp tất cả các số thực (cũng như tập hợp các số vô tỉ) là không đếm được. Có thể đếm được, tập hợp các số hữu tỉ là tập hợp rỗng, tức là hầu hết tất cả các số thực đều vô tỉ, theo nghĩa của độ đo Lebesgue.

Số hữu tỷ là một tập hợp có trật tự trù mật: giữa hai số hữu tỷ bất kỳ, có một số hữu tỷ khác, và do đó, có vô số số hữu tỷ khác giữa chúng.

Với số thực và tính chất pô

Số hữu tỉ là một tập con trù mật của các số thực: mọi số thực đều có các số hữu tỉ gần nó một cách tùy ý.

Không gian metric không hoàn chỉnh và phần hoàn thành của nó là trường số -adic . Định lý Ostrowski phát biểu rằng bất kỳ giá trị tuyệt đối không tầm thường nào trên số hữu tỉ đều tương đương với giá trị tuyệt đối thực thông thường hoặc giá trị tuyệt đối -adic.

Tập hợp số hữu tỉ ký hiệu $\backslash mathbb\{Q\}$.