✨Số p-adic

Trong toán học, hệ số -adic cho bất kỳ số nguyên tố  mở rộng số học thông thường của số hữu tỉ theo cách khác biệt so với tính mở rộng của hệ số phù hợp với các hệ số thực và số phức.

Số p-adic và hình học Diophantine

Số p-adic

Nhà toán học người Đức Kurt Hensel sử dụng một ý tưởng tương tự như khi xét các hàm số trên một đường cong áp dụng vào lý thuyết số để xây dựng nên số p-adic. Trước hết định nghĩa số p-adic bằng một chuỗi vô hạn hình thức có dạng: :$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_np^n$ với p là một số nguyên cho trước và các hệ số của chuỗi trên a_i thỏa mãn 0 ≤ a_i < p. Tổng quát hơn, có thể xét chuỗi vô hạn hình thức có dạng: :$\backslash sum\_\{n=-m\}^\backslash infty\; a\_np^n$ với mọi m ∈ Z và giá trị của các hệ số a_i nằm trong tập hợp }. Một chuỗi vô hạn hình thức có dạng như vậy được gọi là số p-adic. Cho a là một số hữu tỉ bất kì, luôn có thể viết $\backslash textstyle\; a=\backslash frac\{b\}\{c\}\backslash times\; p^\{-m\}$, b,c là các số nguyên sao cho tích của chúng không có ước chung với p, i.e. (bc,p) = 1. Mặt khác số hữu tỉ có dạng b/c sao cho p không chia hết cho c nằm trong cái gọi là địa phương hóa tại ideal nguyên tố (p) của vành Z và luôn biểu diễn dưới dạng chuỗi p-adic là một số nguyên p-adic nên có thể tương ứng a với một chuỗi có dạng: :$a\_0p^\{-m\}+a\_1p^\{-m+1\}+...+a$m+a{m+1}p+...

Do đó tồn tại một phép nhúng từ Q vào Q_p $(\backslash mathbb\{Q\}\backslash hookrightarrow\backslash mathbb\{Q\}\_p).$ Trước hết ta có thể quan sát số nguyên p-adic thông qua đại số sơ cấp. Có một hệ ngược như sau: :$\backslash mathbb\{Z\}/p\backslash leftarrow\backslash mathbb\{Z\}/p^2\backslash leftarrow\backslash mathbb\{Z\}/p^3\backslash leftarrow...,$ trong đó các ánh xạ đơn giản là phép chiếu chính tắc, cụ thể hơn có thể viết: :$\backslash mathbb\{Z\}/p^\{n+1\}\backslash twoheadrightarrow(\backslash mathbb\{Z\}/p^\{n+1\})/p^n(\backslash mathbb\{Z\}/p^\{n+1\})\backslash cong\backslash mathbb\{Z\}/p^n.$ Nếu lấy giới hạn xạ ảnh của hệ trên, tức là tập con của $\backslash textstyle\backslash prod\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash mathbb\{Z\}/p^n$ bao gồm các dãy a_n với n ∈ N sao cho dãy đó là ảnh dưới phép chiếu chính tắc của a_n-1. Bây giờ nếu có một số nguyên p-adic $\backslash textstyle\; a=\backslash sum\_\{i=0\}^\backslash infty\; a$ip^i, có thể tương ứng với một dãy các phần tử thặng dư $(\backslash textstyle\backslash sum${i=0}^{n-1}a_ip^i)\mbox{ mod }p^n, tức là một phần tử thuộc Z/pⁿ, bằng cách đó có thể đồng nhất các số nguyên p-adic với giới hạn xạ ảnh trên, i.e.: :$\backslash textstyle\backslash mathbb\{Z\}\_p\backslash simeq\; \backslash varprojlim\_n\; \backslash mathbb\{Z\}/p^n.$

Hình học Diophantine

Chẳng hạn có 1 phương trình đa thức $f(x\_1,\backslash cdots,x\_n)=0$ với f là một đa thức với hệ số nguyên. Liệu phương trình trên có tồn tại nghiệm nguyên. Dùng định lý thặng dư Trung Hoa cổ, có thể giản ước độ khó của câu hỏi bằng cách quy về xét đồng dư thức: :$f(x\_1,...,x\_n)\backslash equiv\; 0\backslash mbox\{\; mod\; \}p^i$ giải được với i tùy ý nếu và chỉ nếu phương trình đó có thể giải được trong Z_p. Đây chính là vấn đề trọng yếu. Hình dung rằng, phương trình của một đa thức sau khi thuần nhất hóa thì không gì khác hơn là một siêu mặt $X\; =\; \{f\; =\; 0\; \}\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{P\}^n$ trong một không gian xạ ảnh. Hình học đại số cho phép nói tới một cấu xạ (proper) thực và phẳng $\backslash mathfrak\{X\}\; \backslash rightarrow\; \backslash mbox\{Spec\}(\backslash mathbb\{Z\}\_p)$, người ta thường gọi là mẫu của X. Nếu cấu xạ này trơn (ví dụ nếu xét 1 lược đồ trơn xạ ảnh X trên trường hữu hạn $k\; =\; \backslash mathbb\{F\}\_p$ và có 1 phép nâng lên vành Witt $\backslash mathfrak\{X\}\; \backslash to\; \backslash mbox\{Spec\}(W(k))\; =\; \backslash mbox\{Spec\}\; (\backslash mathbb\{Z\}\_p)$), vậy thì bổ đề Hensel nói với rằng mỗi nghiệm của phương trình thặng dư sẽ được nâng lên thành 1 nghiệm của phương trình với hệ số trên Q_p, nhưng do cấu xạ là thực, mỗi nghiệm này sẽ là 1 nghiệm trong Z_p. Nói cách khác hình học đại số trừu tượng là công cụ hiện đại không thể thiếu để phát biểu và nghiên cứu các bài toán Diophantine sơ cấp.