✨Đồng dư thức của Kummer

Trong toán học, đồng dư thức của Kummer là một số đồng dư thức bao gồm cả số Bernoulli, được phát hiện bởi .

sử dụng đồng dư thức của Kummer để định nghĩa hàm zeta p-adic.

Phát biểu

Dạng đơn giản nhất của đồng dư thức Kummer phát biểu rằng :$\backslash frac\{B\_h\}\{h\}\backslash equiv\; \backslash frac\{B\_k\}\{k\}\; \backslash pmod\; p\; \backslash text\{\; khi\; \}\; h\backslash equiv\; k\; \backslash pmod\; \{p-1\}$ trong đó p là số nguyên tố, h và k là hai số nguyên dương chẵn không chia hết cho p−1 và các số B_h là số Bernoulli.

Tổng quát hơn, nếu h và k là số nguyên dương chẵn không chia hết cho p − 1, thì :$(1-p^\{h-1\})\backslash frac\{B\_h\}\{h\}\backslash equiv\; (1-p^\{k-1\})\backslash frac\{B\_k\}\{k\}\; \backslash pmod\; \{p^\{a+1$ mỗi khi :$h\backslash equiv\; k\backslash pmod\; \{\backslash varphi(p^\{a+1\})\}$

trong đó φ(p^a+1) là hàm phi Euler, được tính tại p^a+1 và a là số nguyên không âm. Tại a = 0, biểu thức lấy dạng đơn giản hơn ở trên. Hai vế của đồng dư thức là các giá trị của hàm zeta p-adic, và đồng dư thức Kummer chỉ ra rằng hàm zeta p-adic cho số nguyên âm có tính liên tục, do đó có thể mở rộng theo tính liên tục cho mọi số nguyên p-adic.