✨Tích phân từng phần

Trong vi tích phân nói riêng, và trong giải tích toán học nói chung, tích phân từng phần là quá trình tìm tích phân của tích các hàm dựa trên tích phân các đạo hàm và nguyên hàm của chúng. Nó thường được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm thành một nguyên hàm mà đáp án có thể được tìm thấy dễ dàng hơn. Quy tắc có thể suy ra bằng cách tích hợp quy tắc nhân của đạo hàm.

Nếu   và  , trong đó   và  , thì tích phân từng phần phát biểu rằng: : $\{\backslash displaystyle\; \{\backslash begin\{aligned\}\backslash int${a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&=[u(x)v(x)]{a}^{b}-\int {a}^{b}u'(x)v(x)dx\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int {a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\end{aligned} hay gọn hơn: : $\backslash int\; u\; \backslash ,\; dv=uv-\backslash int\; v\; \backslash ,\; du.!$ Có các công thức tổng quát hơn của tích phân từng phần cho tích phân Riemann-Stieltjes và tích phân Lebesgue-Stieltjes. Chuỗi số cũng có mô hình rời rạc tương tự gọi là tổng từng phần.

Định lý

Tích của hai hàm

Định lý có thể được suy ra như sau. Giả sử u(x) và v(x) là hai hàm khả vi liên tục. Quy tắc nhân phát biểu rằng (theo ký hiệu của Leibniz): : $\backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash Big(u(x)v(x)\backslash Big)\; =\; v(x)\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash left(u(x)\backslash right)\; +\; u(x)\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash left(v(x)\backslash right).!$ Tích phân cả hai vế đối với x, : $\backslash int\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash left(u(x)v(x)\backslash right)\backslash ,dx\; =\; \backslash int\; u\text{'}(x)v(x)\backslash ,dx\; +\; \backslash int\; u(x)v\text{'}(x)\backslash ,dx$ sau đó áp dụng định nghĩa của nguyên hàm, : $u(x)v(x)\; =\; \backslash int\; u\text{'}(x)v(x)\backslash ,dx\; +\; \backslash int\; u(x)v\text{'}(x)\backslash ,dx$ : $\backslash int\; u(x)v\text{'}(x)\backslash ,dx\; =\; u(x)v(x)\; -\; \backslash int\; u\text{'}(x)v(x)\backslash ,dx$ cho ta công thức tích phân từng phần.

Bởi vì du và dv là các vi phân của một hàm một biến x, : $du=u\text{'}(x)dx\; \backslash quad\; dv=v\text{'}(x)dx$ : $\backslash int\; u(x)\backslash ,dv\; =\; u(x)v(x)\; -\; \backslash int\; v(x)\backslash ,du$ Tích phân gốc ∫uv′ dx chứa v′ (đạo hàm của v); để áp dụng định lý, phải tim nguyên hàm v (của v′), và tính tích phân ∫vu′ dx.

Mở rộng cho các trường hợp khác

Điều kiện u và v khả vi liên tục là không thực cần thiết. Tích phân từng phần chỉ được áp dụng nếu u là liên tục tuyệt đối và hàm được chọn ' phải khả tích Lebesgue (nhưng không nhất thiết là liên tục). (Nếu _v có một điểm gián đoạn thì nguyên hàm _v'' của nó có thể không có đạo hàm tại điểm đó.)

Nếu khoảng tích phân không phải là không gian compact thì u không cần thiết phải hoàn toàn liên tục trong toàn khoảng hoặc v ' không cần thiết phải là khả tích Lebesgue trong khoảng, như một vài ví dụ sẽ cho thấy, trong đó u và v là liên tục và khả vi liên tục. Ví dụ nếu : $u(x)=\backslash exp(x)/x^2,\backslash ,v\text{'}(x)=\backslash exp(-x)$ u không liên tục hoàn toàn trên khoảng [1, +∞), tuy nhiên : $\backslash int\_1^\backslash infty\; u(x)v\text{'}(x)\backslash ,dx\; =\; \backslash left[u(x)v(x)\backslash right]\_1^\backslash infty\; -\; \backslash int\_1^\backslash infty\; u\text{'}(x)v(x)\backslash ,dx$ miễn là $\backslash left[u(x)v(x)\backslash right]\_1^\backslash infty$ có nghĩa là giới hạn $u(L)v(L)-u(1)v(1)$ khi$L\backslash to\backslash infty$ và miễn là hai số hạng ở vế phải hữu hạn. Điều này chỉ đúng khi chúng ta chọn $v(x)=-\backslash exp(-x).$ Tương tự, nếu : $u(x)=\backslash exp(-x),\backslash ,v\text{'}(x)=x^\{-1\}\backslash sin(x)$ v' không khả vi Lebesgue trên khoảng [1, +∞), tuy nhiên : $\backslash int\_1^\backslash infty\; u(x)v\text{'}(x)\backslash ,dx\; =\; \backslash left[u(x)v(x)\backslash right]\_1^\backslash infty\; -\; \backslash int\_1^\backslash infty\; u\text{'}(x)v(x)\backslash ,dx$ với giải thích tương tự.

Người ta cũng có thể dễ dàng đưa ra những ví dụ như thế này nhưng trong đó u và v không khả vi liên tục.

Tích của nhiều hàm

Áp dụng quy tắc tích để tìm tích phần cho ba hàm nhân nhau, u(x), v(x), w(x), cho kết quả tương tự: : $\backslash int$a^b u v \, dw = [u v w]^{b}{a} - \int_a^b u w \, dv - \int_a^b v w \, du. Tổng quát với n thừa số : $\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash left(\backslash prod\_\{i=1\}^n\; u$i(x) \right)= \sum{j=1}^n \prod_{i\neq j}^n u_i(x) \frac{duj(x)}{dx}, dẫn đến : $\backslash Bigl[\; \backslash prod${i=1}^n u_i(x) \Bigr]a^b = \sum{j=1}^n \inta^b \prod{i\neq j}^n u_i(x) \, du_j(x), trong đó tích thuộc tất cả các hàm ngoại trừ một hàm được lấy đạo hàm trong cùng số hạng.

Sự hình dung

thumb|280x280px|Giải thích bằng đồ họa của định lý. Đường cong trong hình được tham số hoá bởi biến t. Xem xét đường cong tham số bởi (x, y) = (f(t), g(t)). Giả sử rằng đường cong là đơn ánh cục bộ và khả tích cục bộ, ta định nghĩa : $x(y)\; =\; f(g^\{-1\}(y))$ : $y(x)\; =\; g(f^\{-1\}(x))$ Diện tích vùng màu xanh là : $A$1=\int{y_1}^{y_2}x(y)dy Tương tự như vậy, diện tích của vùng màu đỏ là : $A$2=\int{x_1}^{x_2}y(x)dx Tổng diện tích A₁ + A₂ bằng diện tích của hình chữ nhật lớn hơn, x₂y₂, trừ đi diện tích của hình chữ nhật nhỏ hơn, x₁y₁: : $\backslash overbrace\{\backslash int\_\{y\_1\}^\{y\_2\}x(y)dy\}^\{A$1}+\overbrace{\int{x_1}^{x_2}y(x)dx}^{A2}=\biggl.x. y(x)\biggl|{x1}^{x2} = \biggl.y. x(y)\biggl|_{y1}^{y2} Hoặc theo tham số t

Hoặc biễu diễn theo nguyên hàm: : $\backslash int\; xdy\; +\; \backslash int\; y\; dx\; =\; xy$ Chỉnh lại: : $\backslash int\; xdy\; =\; xy\; -\; \backslash int\; y\; dx$ Từ đó tích phân từng phần có thể coi là diện tích của vùng màu xanh trong tổng diện tích và diện tích của vùng đỏ.

Sự hình dung này cũng lý giải việc tích phân từng phần có thể tính tích phân của hàm nghịch đảo f⁻¹(x) khi đã biết tích phân của f(x). Thật vậy, nếu hàm x(y) và y(x) là nghịch đảo của nhau thì có thể tìm tích phân ∫x dy khi đã biết tích phân ∫y dx. Cụ thể, điều này giải thích việc kết hợp sử dụng tích phân từng phần với hàm logarithm và hàm lượng giác nghịch đảo.

Ứng dụng để tìm nguyên hàm

Kịch bản

Tích phân từng phần là một quá trình suy nghiệm hơn là một quá trình máy móc thuần tuý để tính toán tích phân; cho một hàm đơn để tích phân, các chiến lược điển hình là cẩn thận tách nó thành tích của hai hàm u(x)v(x) sao cho tích phân được tạo bởi công thức tích phân từng phần dễ tính toán hơn so với tích phân gốc. Công thức sau minh họa kịch bản trường hợp tốt nhất: : $\backslash int\; uv\backslash \; dx\; =\; u\; \backslash int\; v\backslash \; dx\; -\; \backslash int\backslash left(u\text{'}\; \backslash int\; v\backslash \; dx\; \backslash right)\backslash \; dx.$ Lưu ý rằng ở vế phải, u được lấy đạo hàm và v được lấy tích phân; do đó sẽ hữu ích khi chọn u là một hàm có thể giản hóa khi lấy đạo hàm, hoặc khi chọn v là hàm đơn giản hóa được khi được lấy tích phân. Xét ví dụ đơn giản sau: : $\{\backslash displaystyle\; \backslash int\; \{\backslash frac\; \{\backslash ln(x)\}\{x^\{2\}\backslash \; dx\backslash \; .\}$ Do đạo hàm của ln(x) là , ta chọn (ln(x)) là u; do nguyên hàm của là -, chọn dx làm dv. Từ đó ta có: : $\{\backslash displaystyle\; \backslash int\; \{\backslash frac\; \{\backslash ln(x)\}\{x^\{2\}\backslash \; dx=-\{\backslash frac\; \{\backslash ln(x)\}\{x-\backslash int\; \{\backslash biggl\; (\}\{\backslash frac\; \{1\}\{x\{\backslash biggr\; )\}\{\backslash biggl\; (\}-\{\backslash frac\; \{1\}\{x\{\backslash biggr\; )\}\backslash \; dx\backslash \; .\}$ Nguyên hàm của $-\backslash frac1\{x^2\}$ có thể được tìm thấy bằng quy tắc luỹ thừa và bằng $\backslash frac\; 1x$.

Ngoài ra, người ta có thể chọn u và v sao cho tích u' (∫v dx) triệt tiêu nhau. Ví dụ, giả sử ta muốn tích phân: : $\backslash int\backslash sec^2(x)\backslash cdot\backslash ln\backslash Big(\backslash bigl|\backslash sin(x)\backslash bigr|\backslash Big)\backslash \; dx.$ Nếu chúng ta chọn u(x) = ln(|sin(x)|) và v(x) = sec²x, thì u được lấy vi phân tới 1/ tan x bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi và v được lấy tích phân tan x; do đó công thức cho: : $\{\backslash displaystyle\; \backslash int\; \backslash sec\; ^\{2\}(x)\backslash cdot\; \backslash ln\; \{\backslash Big\; (\}\{\backslash bigl\; |\}\backslash sin(x)\{\backslash bigr\; |\}\{\backslash Big\; )\}\backslash \; dx=\backslash tan(x)\backslash cdot\; \backslash ln\; \{\backslash Big\; (\}\{\backslash bigl\; |\}\backslash sin(x)\{\backslash bigr\; |\}\{\backslash Big\; )\}-\backslash int\; \backslash tan(x)\backslash cdot\; \{\backslash frac\; \{1\}\{\backslash tan(x)dx\backslash \; .\}\; \{\backslash displaystyle\; \backslash int\; \backslash sec\; ^\{2\}(x)\backslash cdot\; \backslash ln\; \{\backslash Big\; (\}\{\backslash bigl\; |\}\backslash sin(x)\{\backslash bigr\; |\}\{\backslash Big\; )\}\backslash \; dx=\backslash tan(x)\backslash cdot\; \backslash ln\; \{\backslash Big\; (\}\{\backslash bigl\; |\}\backslash sin(x)\{\backslash bigr\; |\}\{\backslash Big\; )\}-\backslash int\; \backslash tan(x)\backslash cdot\; \{\backslash frac\; \{1\}\{\backslash tan(x)dx\backslash \; .\}$ Hàm lấy tích phân trở thành 1 và có nguyên hàm là x. Tìm ra sự kết hợp co thể giản hóa thường cần thử sai.

Trong một số trường hợp, không đảm bảo rằng tích phân tạo bởi tích phân từng phần sẽ có dạng đơn giản; Ví dụ, trong giải tích số, ta có thể chấp nhận khi chỉ tạo ra một số sai sót nhỏ. Một số kỹ thuật đặc biệt khác được chứng minh trong các ví dụ dưới đây. ; Hàm đa thức và hàm lượng giác Để tính : $I=\backslash int\; x\backslash cos(x)\backslash \; dx\backslash ,$ đặt: : $u\; =\; x\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; du\; =\; dx$ : $dv\; =\; \backslash cos(x)\backslash \; dx\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; v\; =\; \backslash int\backslash cos(x)\backslash \; dx\; =\; \backslash sin(x)$ thì: : với C là hằng số tích phân.

Đối với bậc cao hơn của x trong dạng : $\backslash int\; x^n\; e^x\backslash \; dx,\backslash \; \backslash int\; x^n\backslash sin(x)\backslash \; dx,\backslash \; \backslash int\; x^n\backslash cos(x)\backslash \; dx\backslash ,$ sử dụng nhiều lần tích phân từng phần có thể tính các tích phân thuộc loại này; mỗi lần sử dụng sẽ giảm một bậc của x. ; Hàm mũ và hàm lượng giác Một ví dụ thường dùng để tính tích phân từng phần là : $I=\backslash int\; e^x\backslash cos(x)\backslash \; dx.$ Ở đây, ta thực hiện tích phân từng phần hai lần. Đầu tiên đặt : $u\; =\; \backslash cos(x)\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; du\; =\; -\backslash sin(x)\backslash \; dx$ : $dv\; =\; e^x\backslash \; dx\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; v\; =\; \backslash int\; e^x\backslash \; dx\; =\; e^x$ thì: : $\backslash int\; e^x\backslash cos(x)\backslash \; dx\; =\; e^x\backslash cos(x)\; +\; \backslash int\; e^x\backslash sin(x)\backslash \; dx.$ Giờ, để tính tích phân còn lại, chúng ta sử dụng tích phân từng phần một lần nữa, với: : $u\; =\; \backslash sin(x)\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; du\; =\; \backslash cos(x)\backslash \; dx$ : $dv\; =\; e^x\backslash \; dx\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; v\; =\; \backslash int\; e^x\backslash \; dx\; =\; e^x.$ thì: : $\backslash int\; e^x\backslash sin(x)\backslash \; dx\; =\; e^x\backslash sin(x)\; -\; \backslash int\; e^x\backslash cos(x)\backslash \; dx.$ Kết hợp lại, : $\backslash int\; e^x\backslash cos(x)\backslash \; dx\; =\; e^x\backslash cos(x)\; +\; e^x\backslash sin(x)\; -\; \backslash int\; e^x\backslash cos(x)\backslash \; dx.$ Tích phân giống nhau xuất hiện trên cả hai vế của phương trình này. Thêm tích phân cần tính vào 2 vế, ta có : $2\backslash int\; e^x\backslash cos(x)\backslash \; dx\; =\; e^x\backslash bigl(\backslash sin(x)+\backslash cos(x)\backslash bigr)\; +\; C$ mà trở thành: : $\backslash int\; e^x\backslash cos(x)\backslash \; dx\; =\; \backslash frac\{e^x\backslash bigl(\backslash sin(x)+\backslash cos(x)\backslash bigr)\}\{2\}\; +\; C\text{'}$ trong đó C (và C' = C/2) là các hằng số tích phân.

Phương pháp tương tự được sử dụng để tìm tích phân của hàm sec bậc ba. ; Các hàm được nhân với phần tử đơn vị Hai ví dụ nổi tiếng khác khi áp dụng tích phân từng phần cho một hàm được biểu diễn là tích của 1 và chính nó. Có thể tính tích phân này nếu biết đạo hàm của hàm đó và tích phân của đạo hàm này nhân x.

Ví dụ đầu tiên là ∫ ln(x) dx. Chúng ta viết tích phân này như: : $\{\backslash displaystyle\; I=\backslash int\; \backslash ln(x)\backslash cdot\; 1\backslash \; dx\backslash \; .\}$ Đặt: : $u\; =\; \backslash ln(x)\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; du\; =\; \backslash frac\{dx\}\{x\}$ : $dv\; =\; dx\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; v\; =\; x$ thì: :

Ví dụ thứ hai là hàm tan nghịch arctan(x): : $I=\backslash int\backslash arctan(x)\backslash \; dx.$ Viết lại : $\backslash int\backslash arctan(x)\backslash cdot\; 1\backslash \; dx.$ Đặt: : $u\; =\; \backslash arctan(x)\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; du\; =\; \backslash frac\{dx\}\{1+x^2\}$

: $dv\; =\; dx\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; v\; =\; x$ thì :

Quy tắc LIATE

Ứng dụng trong toán học thuần tuý

Tích phân từng phần thường được sử dụng như một công cụ để chứng minh các định lý trong giải tích toán học. Phần này đưa ra vài ví dụ.

Dùng trong các hàm đặc biệt

Dùng trong giải tích điều hòa

; Biến đổi Fourier của đạo hàm

; Phân rã của biến đổi Fourier

Dùng trong lý thuyết toán tử

Các ứng dụng khác

• Để xác định điều kiện biên trong lý thuyết Sturm-Liouville
• Đạo hàm của phương trình Euler-Lagrange trong giải tích của biến thể

Tích phân đệ quy từng phần

Bảng tích phân từng phần

Các chiều cao hơn