✨Tích phân bội

Tích phân bội

Tích phân bội là một loại tích phân xác định được mở rộng cho các hàm có nhiều hơn một biến thực, ví dụ, ƒ(x, y) hoặc ƒ(x, y, z). Các tích phân của một hàm hai biến trên một vùng trong không gian ℝ² được gọi là tích phân kép, và tích phân của hàm ba biến trên một miền của R³ được gọi là tích phân bội ba.

Giới thiệu

Tích phân xác định của một hàm số dương có 1 biến là một diện tích nằm giữa đồ thị của hàm số đó và trục x, tích phân kép của một hàm số dương 2 biến là thể tích được xác định bởi bề mặt tạo ra bởi hàm số đó (mặt phẳng trong tọa độ 3 chiều z = ƒ(x, y)) và mặt phẳng chứa tập xác định của nó. (Cùng một thể tích có thể thu được thông qua tích phân bội ba—tích phân của một hàm ba biến—của hàm liên tục f(x, y, z) = 1 trong những miền nói trên giữa bề mặt và mặt phẳng.) Nếu có nhiều biến hơn thì phép tính tích phân sẽ tạo ra các siêu thể tích của các hàm đa chiều.

Tích phân của một hàm n biến: f(x₁, x₂,..., x_n) trên một tập xác định D thường được biểu diễn bằng nhiều ký hiệu tích phân lồng nhau và được tính theo tứ tự từ trong ra ngoài (từ phải sang trái). Miền tích phân hoặc được biểu diễn dạng ký hiệu đối với từng dấu tích phân, hoặc được viết ngắn gọn bằng một biến phía trên của ký hiệu tích phân tận cùng bên phải:

: $\int \cdots \int_\mathbf{D}\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \;dx_1 !\cdots dx_n$

Vì khái niệm nguyên hàm chỉ được xác định đối với các hàm số có một biến thực, nên định nghĩa thông thường của tích phân bất định không mở rộng cho tích phân nhiều biến.

Định nghĩa

Cho n > 1, tập xác định T gồm n đoạn nửa mở được định nghĩa là:

: $T=\left [ a_1, b_1 \right) \times \left [ a_2, b_2 \right) \times \cdots \times \left [ a_n, b_n \right) \subseteq \mathbb R^n.$

Chia mỗi đoạn [a_j, b_j) thành một tập I_j các khoảng nhỏ không trùng nhau i_{j_α}, trong đó các khoảng nhỏ này đóng bên trái và mở bên phải.

Sau đó, một tập hợp phần tử hữu hạn C được xác lập

: $C=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n$

là một tập con của T; trong đó C_k là các phần không trùng nhau và tập hợp của chúng là T.

Cho một hàm f: T → R xác định trên T, trong đó tập con C của T được xác định như trên, như vậy C là một tập có m phần tử C_m và

: $T=C_1\cup C_2\cup \cdots \cup C_m$

Chúng ta có thể tính gần đúng thể tích tổng thứ n-chiều được giới hạn bên dưới bởi T và bên trên bởi f theo tổng Riemann:

: $\sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}(C_k)$

với P_k là điểm ở C_k và m(C_k) là tích của số đoạn C_k.

Đường kính của một đoạn con C_k là chiều dài lớn nhất trong các khoảng mà tích Descartes bằng C_k. Đường kính của một phân vùng cho trước T được định nghĩa là đường kính lớn nhất của các đoạn con trong phân vùng đó. Bằng trực giác, khi đường kính của phân vùng C được giới hạn càng ngày càng nhỏ, số lượng các đoạn con m càng lớn, và số đo m(C_k) của mỗi đoạn con lại càng nhỏ. Hàm f được gọi là khả tích Riemann của f trên T nếu tồn tại giới hạn

S=\lim_{\delta \to 0} \sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}\, (C_k)

, khi giới hạn tiếp nhận tất cả các phân vùng có thể có của T với đường kính tối đa là δ.

Nếu f khả tích Riemann thì S được gọi là tích phân Riemann của f trên T và được ký hiệu là

: $\int \cdots \int_T\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \;dx_1 !\cdots dx_n$

Có thể viết ngắn gọn là $\ell = \iiint_T f(x,y,z)\, dx\, dy\, dz$

: $\int_T!f(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}.$

với x là số biến (x₁,... x_n) và dⁿx là vi phân thể tích n-chiều.

Tích phân Riemann của một hàm được xác định trên một tập n-chiều bị chặn tùy ý mà có thể được định nghĩa bằng cách mở rộng hàm đó thành một hàm được xác định trên một đoạn nửa mở có giá trị là zero bên ngoài miền của hàm ban đầu. Thì tích phân của hàm ban đầu trên miền gốc được xác định là tích phân của hàm mở rộng trên miền chữ nhật của nó, nếu nó tồn tại.

Trong phần tiếp theo tích phân Riemann trong không gian n-chiều sẽ được gọi tích phân bội.

Tính chất

Tích phân bội có nhiều tính chất chung với các tích phân của các hàm một biến (tuyến tính, giao hoán, đơn điệu, vv.). Một tính chất quan trọng của tích phân bội là giá trị của một tích phân độc lập với thứ tự của các hàm lấy tích phân dưới những điều kiện nhất định. Tính chất phổ biến này được gọi là định lý Fubini.

Các trường hợp đặc biệt

Trong trường hợp T ⊆ R², tích phân

\ell = \iint_T f(x,y)\, dx\, dy

là tích phân kép của f trên T, và nếu T ⊆ R³ thì tích phân

\ell = \iiint_T f(x,y,z)\, dx\, dy\, dz

là tích phân bội ba của f trên T.

Theo quy ước, tích phân kép có hai dấu tích phân, và tích phân bội ba có ba dấu; đây là một quy ước ký hiệu cực kỳ tiện lợi khi tính toán một tích phân bội như là tính một tích phân được lặp, mà sẽ được chứng minh sau trong bài viết này.

Các phương pháp lấy tích phân

Trong hầu hết các trường hợp việc giải các bài toán liên quan đến tích phân bội bao gồm việc tìm kiếm một cách để giảm tích phân bội thành một tích phân lặp, một loạt các tích phân một biến, từng cái được giải quyết một cách trực tiếp. Đối với các hàm số liên tục, điều này được chứng minh bằng định lý Fubini. Đôi khi, có thể thu được kết quả lấy tích phân bằng cách kiểm tra trực tiếp mà không cần tính toán.

Sau đây là một số phương pháp đơn giản lấy tích phân:

Lấy tích phân các hàm liên tục

Khi hàm lấy tích phân là một hàm hằng c, tích phân bằng với tích của c và các số đo các miền của cách lấy tích phân. Nếu c = 1 và miền là một tiểu vùng của R², tích phân cho diện tích của vùng, trong khi nếu miền là một tiểu vùng của R³, tích phân cho thể tích của vùng.

Ví dụ: Đặt f(x, y) = 2 và

$D = { (x,y) \in \mathbf{R}^2\ | \ 2 \le x \le 4 \, \ 3 \le y \le 6 }$

trong trường hợp

$\int_3^6 \int_2^4 \ 2 \ dx\, dy =2\int_3^6 \int_2^4 \ 1 \ dx\, dy= 2\cdot\mbox{area}(D) = (2 \cdot 3) \cdot 2 = 12$ ,

từ định nghĩa ta có:

$\int_3^6 \int_2^4 \ 1 \ dx\, dy=\mbox{area}(D).$

Sử dụng tính đối xứng

Khi miền của phép lấy tích phân đối xứng về nguồn gốc với ít nhất một trong các biến lấy tích phân và hàm lấy tích phân là hàm lẻ liên quan đến biến này, tích phân bằng không, bởi vì tích phân trong hai nửa của các miền có giá trị tuyệt đối như nhau nhưng trái dấu. Khi hàm lấy tích phân là hàm chẵn đối với biến này, tích phân bằng hai lần tích phân trên một nửa miền, bởi vì tích phân trên hai phần của miền đều bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho $f(x,y) = 2 \sin(x)-3y^3+5$ có tích phân trên miền

$T=\left { (x,y) \in \mathbf{R}^2 \ | \ x^2+y^2\le 1 \right },$

một hình tròn với bán kính 1 có tâm tại gốc bao luôn biên.

Sử dụng tính chất tuyến tính, tích phân có thể phân tích thành ba phần:

$\iint_T (2\sin x - 3y^3 + 5) \, dx \, dy = \iint_T 2 \sin x \, dx \, dy - \iint_T 3y^3 \, dx \, dy + \iint_T 5 \, dx \, dy$

Hàm $2\sin(x)$ là hàm lẻ trong biến $x$ và hình tròn $T$ đối xứng với trục y, do đó giá trị của tích phân đầu là 0. Tương tự, hàm 3y³ là hàm lẻ của y, và T đối xứng với trục x, và do đó tích phân thứ ba sẽ ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng. Do đó, tích phân gốc bằng diện tích của hình tròn nhân 5, hay 5π.

Ví dụ 2: Cho f(x, y, z) = x exp(y² + z²) và vùng tích phân là hình cầu bán kính 2 với tâm tại gốc,

$T = \left { (x,y, z) \in \mathbf{R}^3\ | \ x^2+y^2+z^2 \le 4 \right }.$

"Khối cầu" đối xứng về cả ba trục, nhưng ta chỉ cần để lấy tích phân trên trục x để chứng minh rằng tích phân bằng 0, vì hàm đã cho là hàm lẻ của biến đó.

Các miền thông thường trên R²

_Xem thêm_: _Thứ tự lấy tích phân_

Phương pháp này được áp dụng cho bất kỳ miền _D_ mà: * phép chiếu của _D_ vào một trong hai trục _x_ hoặc _y_ có biên là 2 giá trị _a_ và _b_ * bất kỳ đường thẳng nào vuông góc với trục này mà đi qua hai giá trị giao với miền trong một khoảng mà các điểm cuối được cho bởi đồ thị của hai hàm, α và β. Trong tất cả các trường hợp, hàm được tính tích phân phải liên tục trên miền.

Trục x

Nếu miền D bình thường với trục x, và f: D → R là một hàm liên tục; thì α(x) và β(x) (được xác định trên đoạn [a, b]) là hai hàm số xác định D. Khi đó:

\iint_D f(x,y)\ dx\, dy = \int_a^b dx \int_{ \alpha (x)}^{ \beta (x)} f(x,y)\, dy.

Trục y

Nếu miền D bình thường với trục y, và f: D → R là một hàm liên tục; thì α(y) và β(y) (được xác định trên đoạn [a, b]) là hai hàm số xác định D. Khi đó:

\iint_D f(x,y)\ dx\, dy = \int_a^b dy \int_{\alpha (y)}^{ \beta (y)} f(x,y)\, dx.

Ví dụ

thumb|Ví dụ: tích phân kép trên miền bình thường D Cho miền (Xin xem ảnh trong phần ví dụ):

D = \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2:  x \ge 0, y \le 1, y \ge x^2 \}

Tính

\iint_D (x+y) \, dx \, dy.

Miền này bình thường với cả trục x và y. Để áp dụng các công thức bắt buộc phải tìm ra các hàm xác định D và các khoảng trên đó đều các hàm này xác định. Trong trường hợp này, hai hàm số này là:

\alpha (x) = x^2\text{ and }\beta (x) = 1

lúc này khoảng được cho bởi các giao điểm của các hàm với đường thẳng x = 0, từ đó [a, b] = [0, 1] là khoảng cần tìm (bình thường ta chọn trục x để hình dung tốt hơn).

Bây giờ có thể áp dụng công thức:

\iint_D (x+y) \, dx \, dy = \int_0^1 dx \int_{x^2}^1 (x+y) \, dy = \int_0^1 dx \ \left[xy + \frac{y^2}{2} \right]^1_{x^2}

(Lúc đầu tích phân thứ hai được tính bằng cách coi x là hằng số). Các hoạt động còn lại bao gồm việc áp dụng các kỹ thuật cơ bản để lấy tích phân:

\int_0^1 \left[xy + \frac{y^2}{2}\right]^1_{x^2} \, dx = \int_0^1 \left(x + \frac{1}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2} \right) dx = \cdots = \frac{13}{20}.

Nếu chọn chuẩn tắc với trục y, ta có thể tính

\int_0^1 dy \int_0^{\sqrt{y (x+y) \, dx.

và đạt được cùng 1 kết quả.

Các miền chuẩn tắc trên R³

Việc mở rộng các công thức tích phân bội ba cần được rõ ràng:

nếu T là một miền tiêu chuẩn với mặt phẳng xy và được xác định bởi các hàm α(x, y) và β(x, y), thì

\iiint_T f(x,y,z) \ dx\, dy\, dz = \iint_D \int_{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)} f(x,y,z) \, dz dx dy

(Định nghĩa này tương tự cho năm trường hợp chuẩn hoá khác trên R³).

Đổi biến

Các giới hạn của phép lấy tích phân thường không dễ thay đổi được (mà không chuẩn tắc hoặc với công thức phức tạp để tính tích phân). Đổi biến là viết lại tích phân một miền "thuận tiện" hơn, tích phân có thể được mô tả theo công thức đơn giản hơn. Để làm như vậy, hàm số phải được điều chỉnh cho tọa độ mới.

Ví dụ 1a: Cho hàm $f(x, y) = (x-1)^2 +\sqrt y$ ; nếu đặt $x' = x-1, \ y'= y$ thì $x = x' + 1, \ y=y'$ ta có hàm mới $f_2(x,y) = (x')^2 +\sqrt y.$

Tương tự cho miền vì nó bị giới hạn bởi các biến gốc mà đã được biến đổi (x và y trong ví dụ).
các vi phân dx và dy chuyển đổi qua giá trị tuyệt đối của định thức ma trận Jacobian chứa các đạo hàm riêng của những biến đổi liên quan đến biến mới (ví dụ như chuyển đổi vi phân trong tọa độ cực). Tồn tại ba "loại" cách đổi biến chính (một cách trong R², hai cách trong R³); tuy nhiên, phép thế tổng quát hơn có thể thực hiện bằng cách sử dụng cùng một nguyên tắc.

Toạ độ cực

thumb|Chuyển đổi từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực. Trong R² nếu miền có đối xứng tâm và hàm có một số tính chất đặc biệt mà ta có thể áp dụng việc chuyển đổi thành toạ độ cực (xem ví dụ trong hình) nghĩa là các điểm chung P(x, y) trong tọa độ Descartes chuyển sang các điểm tương ứng trong tọa độ cực. Điều đó cho phép thay đổi hình dạng miền và đơn giản hóa các phép toán.

Mối quan hệ căn bản để thực hiện phép chuyển đổi như sau:

f(x,y) \rightarrow f(\rho \cos \phi,\rho \sin \phi).

**Ví dụ 2a**: Hàm $f(x,y) = x + y$ , áp dụng phép biến đổi ta được:

$f(\rho, \phi) = \rho \cos \phi + \rho \sin \phi = \rho(\cos \phi + \sin \phi).$

**Ví dụ 2b.** Hàm $f(x,y) = x^2 + y^2$ , trong trường hợp này ta có:

$f(\rho, \phi) = \rho^2 (\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = \rho^2$

bằng cách sử dụng đồng nhất thức lượng giác Pythagore (rất hữu ích để đơn giản hóa phép toán này).

Việc chuyển đổi miền được thực hiện bằng cách xác định chiều dài lớn nhất của bán kính và độ phương vị của các góc được mô tả để tìm khoảng ρ, φ từ _x, y_. thumb|Ví dụ về một phép biến đổi miền từ toạ độ Descartes đến toạ độ cực.

**Ví dụ 2c.** Miền $D = \{ x^2 + y^2 \le 4 \}$ , đó là một đường tròn bán kính 2; hiển nhiên rằng các góc bị phủ là góc tròn, do đó φ thay đổi từ 0 đến 2π, trong khi bán kính dao động từ 0 đến 2.

**Ví dụ 2d.** Miền $D = \{ x^2 + y^2 \le 9, \ x^2 + y^2 \ge 4, \ y \ge 0 \}$ đó là chóp tròn trong nửa mặt phẳng y dương (xin xem hình ảnh trong ví dụ); φ mô tả một góc mặt phẳng trong khi ρ thay đổi từ 2 đến 3. Do đó miền được biến đổi sẽ là hình chữ nhật sau:

$T = \{ 2 \le \rho \le 3, \ 0 \le \phi \le \pi \}.$

Định thức Jacobian của phép biến đổi đó như sau:

$\frac{\partial (x,y)}{\partial (\rho, \phi)} =
\begin{vmatrix}
\cos \phi & - \rho \sin \phi \\
\sin \phi & \rho \cos \phi
\end{vmatrix} = \rho$

mà có được chính bằng cách chèn các đạo hàm riêng của $x=\rho\cos(\phi)$ , $y=\rho\sin{\phi}$ trong cột đầu tiên cho $\rho$ và trong cột thứ hai cho $\phi$ , do đó vi phân $dx\, dy$ trong phép biến đổi này trở thành $\rho\, d\phi \, d\rho$ .

Khi các hàm số được biến đổi và miền được đánh giá, có thể xác định công thức đổi biến trong tọa độ cực:

$\iint_D f(x,y) \ dx\, dy = \iint_T f(\rho \cos \phi, \rho \sin \phi) \rho \, d \rho\, d \phi.$

$\phi$ có giá trị trong khoảng $[0,\ 2\pi]$ trong khi $\rho$ , một số đo của chiều dài, chỉ có thể có có giá trị dương.

**Ví dụ 2e.** Cho hàm $f(x,y) = x$ và miền giống như Ví dụ 2d_._ Từ các phân tích trước đó của _D_ chúng ta biết được các khoảng ρ (từ 2 lên 3) và φ (từ 0 đến π). Bây giờ hãy thay đổi các hàm:

$f(x,y) = x \longrightarrow f(\rho,\phi) = \rho \cos \phi.$

cuối cùng áp dụng công thức tích phân

$\iint_D x \, dx\, dy = \iint_T \rho \cos \phi \rho \, d\rho\, d\phi.$

Vì các khoảng đã được biết, ta được:

$\int_0^\pi \int_2^3 \rho^2 \cos \phi \, d \rho \, d \phi = \int_0^\pi \cos \phi \ d \phi \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_2^3 = \left[ \sin \phi \right]_0^\pi \ \left(9 - \frac{8}{3} \right) = 0.$

Tọa độ hình trụ

Tọa độ cầu

Ví dụ

Tích phân kép

Tính thể tích

Tích phân bội suy rộng

Tích phân bội và tích phân lặp

Một số ứng dụng thực tế

👁️ 3 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Tích phân bội

**Tích phân bội** là một loại tích phân xác định được mở rộng cho các hàm có nhiều hơn một biến thực, ví dụ, _ƒ_(_x_, _y_) hoặc _ƒ_(_x_, _y_, _z_). Các tích phân của một

💫 Trật tự của phép lấy tích phân

Trong vi tích phân, hoán vị **trật tự của phép lấy tích phân** là một phương pháp luận biến đổi tích phân lặp (hoặc tích phân bội bằng việc sử dụng định lý Fubini) của

💫 Tích phân lặp

Trong giải tích, một **tích phân lặp** là kết quả của việc áp dụng tích phân cho hàm nhiều hơn một biến (ví dụ _

f(x,y)

_ hoặc _

f(x,y,z)

_) theo cách mỗi tích phân xem xét một

💫 Tích phân

Tích phân xác định được định nghĩa như diện tích _S_ được giới hạn bởi đường cong _y_=_f_(_x_) và trục hoành, với _x_ chạy từ _a_ đến _b_ **Tích phân** (Tiếng Anh: _integral_) là một

💫 Vi tích phân

thumb | 220x124px | right | [[Tích phân là một nhánh con quan trọng của vi tích phân]] **Vi tích phân** (đầy đủ là **vi tích phân của vô cùng nhỏ**, tiếng Anh: _Calculus -

💫 Hằng số tích phân

Trong giải tích, tích phân bất định của một hàm cho trước (hay là tập tất cả nguyên hàm) trên miền liên thông chỉ được định nghĩa bằng cách thêm một hằng số cộng, gọi

💫 Phan Bội Châu

**Phan Bội Châu** (chữ Hán: 潘佩珠; 1867 – 1940) là một danh sĩ và là nhà cách mạng Việt Nam, hoạt động trong thời kỳ Pháp thuộc. ## Tên gọi Phan Bội Châu vốn tên

💫 Quy tắc tích phân Leibniz

Trong vi tích phân, **quy tắc Leibniz** cho đạo hàm dưới dấu tích phân, đặt tên theo nhà toán học Gottfried Leibniz, phát biểu rằng với một tích phân với dạng :

\ \int\limits_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\,dt

với

💫 Tích phân đường

Trong toán học, **tích phân đường** là một phép tính tích phân khi hàm số được tích phân theo một đường. ## Giải tích vectơ Tích phân đường của trường vô hướng. Một tích phân

💫 Biến đổi tích phân

Trong toán học, một **biến đổi tích phân** là biến đổi _T_ có dạng sau: :

(Tf)(u) = \int \limits_{t_1}^{t_2} K(t, u)\, f(t)\, dt.

Đầu vào của biến đổi là một hàm _f_, và đầu

💫 Tích phân vectơ

**Giải tích vectơ**, hay **tích phân vectơ**, liên quan đến vi phân và tích phân các trường vectơ, chủ yếu trong không gian Euclide 3 chiều

\mathbb{R}^3.

Thuật ngữ "tích phân véctơ" đôi khi được

💫 Tích phân Wallis

Trong toán học, và chính xác hơn là trong giải tích, tích phân **Wallis** là một tích phân liên quan đến một lũy thừa nguyên của hàm sin. Các tích phân Wallis được John Wallis

💫 Tích phân mặt

Trong toán học, **tích phân mặt** là một tích phân xác định được tính trên một bề mặt (có thể là tập hợp các đường cong trong không gian); nó có thể được xem là

💫 Danh sách tích phân

**Tích phân** là một trong hai phép toán cơ bản của toán học vi tích phân, phép toán kia là vi phân. Bài viết này liệt kê những tích phân bất định (nguyên hàm) thường

💫 Tích phân từng phần

Trong vi tích phân nói riêng, và trong giải tích toán học nói chung, **tích phân từng phần** là quá trình tìm tích phân của tích các hàm dựa trên tích phân các đạo hàm

💫 Combo Bộ Sách Toán Cao Cấp Tập 3 Bài Tập Toán Cao Cấp Tập 3 Phép Tính Giải Tích Nhiều Biến Số

Bộ Sách Toán Cao Cấp Tập 3 Bài Tập Toán Cao Cấp Tập 3 Phép Tính Giải Tích Nhiều Biến Số Nội dung gồm có Chương 1. Hàm số nhiều biến số Chương 2. Ứng

💫 Toán Học Cao Cấp - Tập 3 - Phép Tính Giải Tích Nhiều Biến Số

Nội dung gồm có Chương 1. Hàm số nhiều biến số Chương 2. Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học Chương 3. Tích phân bội Chương 4. Tích phân đường, tích phân

💫 Tích phân suy rộng

💫 Phan Bội Châu (phường)

**Phan Bội Châu** là một phường cũ từng thuộc quận Hồng Bàng, thành phố Hải Phòng, Việt Nam. ## Địa lý Phường Phan Bội Châu nằm ở phía đông nam quận Hồng Bàng, có vị

💫 Vi phân

nhỏ|200x200px| Biểu đồ của một hàm, được vẽ bằng màu đen và một đường tiếp tuyến của hàm đó, được vẽ bằng màu đỏ. Độ dốc của đường tiếp tuyến bằng với đạo hàm của

💫 Phan Bôi

**Phan Bôi** (1911 - 1947), tức **Hoàng Hữu Nam**, là nhà hoạt động cách mạng, Thứ trưởng Bộ Nội vụ, Chánh Văn phòng Phủ Chủ tịch, Đại biểu Quốc hội Việt Nam khóa I. ##

💫 Phân Loại Phân Tích Và Phương Pháp Giải Hàm Số Mũ Và Logarit, Tích Phân, Số Phức

Phân Loại Phân Tích Và Phương Pháp Giải Hàm Số Mũ Và Logarit, Tích Phân, Số Phức Với việc học chương trình lớp 12 rất nặng và việc chuẩn bị cho các kỳ thi sắp

💫 Kính hiển vi điện tử quét có phân tích phân cực

Sơ đồ nguyên lý của SEMPA **_SEMPA_**, là tên viết tắt của **_Scanning electron microscope with polarisation analysis_** (_Kính hiển vi điện tử quét có phân tích phân cực_) là kỹ thuật chụp ảnh cấu

💫 Phản bội (phim)

**_Phản bội_** là một bộ phim tài liệu Việt Nam sản xuất bởi Xí nghiệp Tài liệu và Khoa học Trung ương, do Trần Văn Thủy làm biên kịch và đạo diễn. Phim công chiếu

💫 Trường Trung học phổ thông chuyên Phan Bội Châu

**Trường Trung học phổ thông chuyên Phan Bội Châu** (hay còn được gọi là **Trường Phan**) là một trường trung học phổ thông chuyên, có trụ sở tại thành phố Vinh, là trường chuyên duy

💫 Bồi tích

thumb|Bồi tích phù sa ở châu thổ Mekong, Việt Nam nhỏ|[[Thung lũng|Thung lũng triền sông, do phù sa bồi tụ]] thumb|Alluvi ở sông Sabigawa tại Nasunogahara, Tochigi, Nhật Bản **Bồi tích**, **trầm tích phù sa**,

💫 Diện tích

right|thumb|alt=Three shapes on a square grid|Tổng diện tích của 3 hình xấp xỉ 15.57 hình vuông đơn vị **Diện tích** là đại lượng biểu thị phạm vi của hình hoặc hình hai chiều hoặc lamina

💫 Cậu bé mất tích

**_Cậu bé mất tích_** (tựa gốc tiếng Anh: **_Stranger Things_**) là một loạt phim truyền hình chiếu mạng thể loại khoa học viễn tưởng – kinh dị Mỹ do Anh em nhà Duffer sáng tạo

💫 Indiana Jones và chiếc rương thánh tích

**_Indiana Jones và chiếc rương thánh tích_**, rút gọn thành **_Chiếc rương thánh tích_** (tiếng Anh: **_Raiders of the Lost Ark_** hoặc **_Indiana Jones and the Raiders of the Lost Ark_**) là một bộ phim

💫 Phấn hoa học

nhỏ|[[Phấn hoa cây thông dưới kính hiển vi.]] nhỏ|1 [[nang bào tử Silurian muộn mang các bào tử ba. Các bào tử như vậy cung cấp bằng chứng sớm nhất về sự sống trên đất

💫 Phân người

**Phân người, human feces **(hoặc **phân, ** **faeces **trong tiếng Anh; , cách gọi thô tục: **cứt**) là phần đặc hoặc nửa đặc còn lại của thức ăn không được tiêu hóa hay hấp thụ

💫 Harry Potter và Bảo bối Tử thần – Phần 1

**_Harry Potter và Bảo bối Tử thần – Phần 1_** (tựa gốc tiếng Anh: **_Harry Potter and the Deathly Hallows – Part 1_**) là một phim điện ảnh kỳ ảo năm 2010 do David Yates

💫 Tổng Riemann

right|thumb|Bốn phương pháp của tổng Riemann cho diện tích được ước tính dưới đường cong. Phương pháp **phải** và **trái** ước tính điểm cuối phải và trái của mỗi khoảng con, lần

💫 Lịch sử phần cứng máy tính

[[Phần cứng|Phần cứng máy tính là nền tảng cho xử lý thông tin (sơ đồ khối). ]] **Lịch sử phần cứng máy tính** bao quát lịch sử của phần cứng máy tính, kiến trúc của

💫 Phan Thiết (thành phố)

**Phan Thiết** là một thành phố ven biển cũ và là tỉnh lỵ, khu chính trị, kinh tế, văn hóa và khoa học kỹ thuật của tỉnh Bình Thuận, Việt Nam. ## Địa lý ###

💫 Phan Châu Trinh

**Phan Châu Trinh** hay **Phan Chu Trinh** (chữ Hán: 潘周楨; 1872 – 1926), hiệu là **Tây Hồ** (西湖), biệt hiệu **Hy Mã** (希瑪), tự là **Tử Cán** (子幹). Ông là nhà thơ, nhà văn, và

💫 Động cơ phản lực không khí

thumb|right|Máy bay tiêm kích [[F-15E Strike Eagles của Không quân Mỹ]] thumb|Động cơ phản lực không khí của một chiếc máy bay chở khách đang cất cánh, có thể thấy rõ luồng khí phụt phía

💫 Phân tích thuật toán

nhỏ| Để tìm kiếm một mục đã cho trong một danh sách theo thứ tự nhất định, có thể sử dụng cả thuật toán [[Tìm kiếm tuần tự|tìm kiếm nhị phân và tuyến tính (bỏ

💫 Chế định Chủ tịch nước Việt Nam

**Chế định Chủ tịch nước Việt Nam** qua các bản Hiến pháp là tổng thể các quy định trong các bản Hiến pháp Việt Nam về vị trí, vai trò, nhiệm vụ và quyền hạn

💫 Kem bôi hỗ trợ da mặt mụn Pair Acne W Cream Nhật bản 24g

Gel mụn Pair Acne W Cream là sản phẩm chuyên trijj cho mọi làn da bị mụn, như mụn bọc, mụn viêm… và đặc biệt điều trijj cả những mụn trứng cá trưởng thành.Kem mụn

💫 Phân tâm học

**Phân tâm học** không phải một chuyên ngành chính thống của tâm lý học, là một tập hợp các lý thuyết và kỹ thuật trị liệu liên quan đến việc nghiên cứu tâm trí vô

💫 Phan Đình Phùng

**Phan Đình Phùng** (chữ Hán: 潘廷逢; 18471896), hiệu **Châu Phong** (珠峰), tự **Tôn Cát**, là một nhà cách mạng Việt Nam, lãnh đạo của cuộc khởi nghĩa Hương Khê chống lại thực dân Pháp trong

💫 Phân phối chuẩn

\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!| cdf =

\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!

| mean =

\mu

| median =

\mu

| mode =

\mu

| variance =

\sigma^2

| skewness = 0| kurtosis =

0

| entropy =

\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!

| mgf =

M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)

| char =

\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)

| **Phân phối

💫 Phần mềm tự do nguồn mở

**Phần mềm tự do nguồn mở** (Tiếng Anh: _Free and open-source software_ (Viết tắt là F/OSS, FOSS) hoặc _Free/Libre/open-source software_ (Viết tắt là FLOSS)) là loại phần mềm được bao gồm Phần mềm tự do

💫 (Ảnh Thật Chính Hãng) Kem Bôi Mụn Pair 24g Nội Địa Nhật Bản

Kem Hỗ Trợ Cải Thiện Mụn Pair Nhật Bản giúp hỗ trợ tốt với các loại mụn cứng đầu như mụn bọc, mụn viêm hiệu quả mà không gây kích ứng da, phù hợp với

💫 PHẤN NƯỚC SUNISA - PHẤN NƯỚC SUNISA - PHẤN NƯỚC SUNISA - PNSUNISA 110.000đ

Phấn nước thần thánh Sunisa Water Beauty siêu đẹpXuất xứ:Thương hiệu:Dung tích:– Sản phẩm phấn nước thần thánh Sunisa có khả năng che phủ hoàn hảo, giúp che phủ cực tốt các khuyết điểm trên

💫 Phương pháp phần tử hữu hạn

**Phương pháp phần tử hữu hạn** là phương pháp số gần đúng để giải các bài toán được mô tả bởi các phương trình vi phân đạo hàm riêng trên miền xác định có hình

💫 Khu di tích Đỗ Động Giang

**Khu di tích Đỗ Động Giang** là một căn cứ quân sự từ thời 12 sứ quân giữa thế kỷ X trong lịch sử Việt Nam, do vị thủ lĩnh chiếm đóng tại đây là

💫 Kem bôi giúp sạch mụn trứng cá Pair - Nhật Bản

Giá: Sale 280k -->> 210k/tuyp 24g ☎ Liên hệ: 0904.614.928 (SMS Facebook/Zalo/Viber) - Fb: Hàng Nhật Đồ Da ✈ Ship hàng toàn quốc. Nếu làn da nhiễm mụn khiến bạn băn khoăn, lo lắng, mất

💫 Đá trầm tích

phải|Đá trầm tích Antelope Canyon **Đá trầm tích** là một trong ba nhóm đá chính (cùng với đá mácma và đá biến chất) cấu tạo nên vỏ Trái Đất và chiếm 75% bề mặt Trái

✨Tích phân bội

Giới thiệu

Định nghĩa

Tính chất

Các trường hợp đặc biệt

Các phương pháp lấy tích phân

Lấy tích phân các hàm liên tục

Sử dụng tính đối xứng

Các miền thông thường trên R2

Trục x

Trục y

Ví dụ

Các miền chuẩn tắc trên R3

Đổi biến

Toạ độ cực

Tọa độ hình trụ

Tọa độ cầu

Ví dụ

Tích phân kép

Tính thể tích

Tích phân bội suy rộng

Tích phân bội và tích phân lặp

Một số ứng dụng thực tế

Các miền thông thường trên R²

Các miền chuẩn tắc trên R³