✨Danh sách tích phân

Tích phân là một trong hai phép toán cơ bản của toán học vi tích phân, phép toán kia là vi phân.

Bài viết này liệt kê những tích phân bất định (nguyên hàm) thường gặp nhất.

Các bảng nguyên hàm thường hữu ích trong quá trình tính toán tích phân, mặc dù hiện nay vai trò của chúng mất đi phần nào với sự xuất hiện của các công cụ tính toán tích phân bằng máy tính.

Mỗi hàm nếu có nguyên hàm thì có vô số các nguyên hàm, khác nhau bởi hằng số C, gọi là hằng số tích phân. Giá trị của C có thể xác định nếu biết giá trị của tích phân tại một điểm nào đó.

Quy tắc tính tích phân

:$\backslash int\; [f(x)\; +\; g(x)]\backslash ,dx\; =\; \backslash int\; f(x)\backslash ,dx\; +\; \backslash int\; g(x)\backslash ,dx$

Tích phân các hàm cơ bản

Hàm phân thức

: $~\backslash int!0\backslash ,\; dx\; =\; C$ (nguyên hàm của 0 là hằng số; tích phân xác định của 0 lấy trong bất kì khoảng nào thì bằng 0) : $~\backslash int!a\backslash ,dx\; =\; ax\; +C$ : : $\backslash int!\{dx\; \backslash over\; \{a^2+x^2\; =\; \{1\; \backslash over\; a\}\backslash ,\backslash operatorname\{arctg\}\backslash ,\backslash frac\{x\}\{a\}\; +\; C\; =\; -\; \{1\; \backslash over\; a\}\backslash ,\backslash operatorname\{arcctg\}\backslash ,\backslash frac\{x\}\{a\}\; +\; C$ = \frac {1} {a^2+x^2}

: $\backslash int!\{dx\; \backslash over\; \{x^2-a^2\; =\; \{1\; \backslash over\; 2a\}\backslash ln\; \backslash left|\{x-a\; \backslash over\; \{x+a\backslash right|\; +\; C$

Lôgarit

: $\backslash int!\backslash ln\; \{x\}\backslash ,dx\; =\; x\; \backslash ln\; \{x\}\; -\; x\; +\; C$ : $\backslash int\; \backslash frac\{dx\}\{x\backslash ln\; x\}\; =\; \backslash ln|\backslash ln\; x|+\; C$ : $\backslash int!\backslash log\_b\; \{x\}\backslash ,dx\; =\; x\backslash log\_b\; \{x\}\; -\; x\backslash log\_b\; \{e\}\; +\; C\; =\; x\backslash frac\{\backslash ln\; \{x\}\; -\; 1\}\{\backslash ln\; b\}\; +\; C$

Hàm mũ

: $\backslash int!e^x\backslash ,dx\; =\; e^x\; +\; C$ : $\backslash int!a^x\backslash ,dx\; =\; \backslash frac\{a^x\}\{\backslash ln\{a\; +\; C$

Hàm vô tỉ

: $\backslash int!\{dx\; \backslash over\; \backslash sqrt\{a^2-x^2\; =\; \backslash arcsin\; \{x\; \backslash over\; a\}\; +\; C$ : $\backslash int!\{-dx\; \backslash over\; \backslash sqrt\{a^2-x^2\; =\; \backslash arccos\; \{x\; \backslash over\; a\}\; +\; C$ : $\backslash int!\{dx\; \backslash over\; x\backslash sqrt\{x^2-a^2\; =\; \{1\; \backslash over\; a\}\backslash ,\backslash operatorname\{arcsec\}\backslash ,\; +\; C$ : $\backslash int!\backslash operatorname\{ctg\}\backslash ,\; \{x\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash ln\{\backslash left|\; \backslash sin\{x\}\; \backslash right|\}\; +\; C$

: $\backslash int!\backslash sec\{x\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash ln\{\backslash left|\; \backslash sec\{x\}\; +\; \backslash operatorname\{tg\}\backslash ,\{x\}\backslash right|\}\; +\; C$ : $\backslash int!\backslash csc\{x\}\; \backslash ,\; dx\; =\; -\backslash ln\{\backslash left|\; \backslash csc\{x\}\; +\; \backslash operatorname\{ctg\}\backslash ,\{x\}\backslash right|\}\; +\; C$ : $\backslash int!\backslash sec^2\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash int!\{dx\; \backslash over\; \backslash cos^2\; x\}\; =\; \backslash operatorname\{tg\}\backslash ,x\; +\; C$ : $\backslash int!\backslash csc^2\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash int!\{dx\; \backslash over\; \backslash sin^2\; x\}\; =\; -\backslash operatorname\{ctg\}\backslash ,x\; +\; C$ : $\backslash int!\backslash sec\{x\}\; \backslash ,\; \backslash operatorname\{tg\}\backslash ,\{x\}\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash sec\{x\}\; +\; C$ : $\backslash int!\backslash csc\{x\}\; \backslash ,\; \backslash operatorname\{ctg\}\backslash ,\{x\}\; \backslash ,\; dx\; =\; -\; \backslash csc\{x\}\; +\; C$ : $\backslash int!\backslash sin^2\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}(x\; -\; \backslash sin\; x\; \backslash cos\; x)\; +\; C$ : $\backslash int!\backslash cos^2\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}(x\; +\; \backslash sin\; x\; \backslash cos\; x)\; +\; C$ : $\backslash int!\backslash sin^n\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; -\; \backslash frac\{\backslash sin^\{n-1\}\; \{x\}\; \backslash cos\; \{x\{n\}\; +\; \backslash frac\{n-1\}\{n\}\; \backslash int!\backslash sin^\{n-2\}\{x\}\; \backslash ,\; dx,\; n\backslash in\backslash mathbb\{N\},\; n\backslash geqslant\; 2$ : $\backslash int!\backslash cos^n\; x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash frac\{\backslash cos^\{n-1\}\; \{x\}\; \backslash sin\; \{x\{n\}\; +\; \backslash frac\{n-1\}\{n\}\; \backslash int!\backslash cos^\{n-2\}\{x\}\; \backslash ,\; dx,\; n\backslash in\backslash mathbb\{N\},\; n\backslash geqslant\; 2$ : $\backslash int!\backslash operatorname\{arctg\}\backslash ,\{x\}\; \backslash ,\; dx\; =\; x\; \backslash ,\; \backslash operatorname\{arctg\}\backslash ,\{x\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash ln\{\backslash left(1\; +\; x^2\; \backslash right)\}\; +\; C$

Hàm hypebolic

: $\backslash int\; \backslash operatorname\{sh\}\backslash ,x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash operatorname\{ch\}\backslash ,x\; +\; C$ : $\backslash int\; \backslash operatorname\{ch\}\backslash ,x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash operatorname\{sh\}\backslash ,x\; +\; C$ : $\backslash int\; \backslash frac\{dx\}\{\backslash operatorname\{ch\}^2\backslash ,x\}\; =\; \backslash operatorname\{th\}\backslash ,x\; +\; C$ : $\backslash int\; \backslash frac\{dx\}\{\backslash operatorname\{sh\}^2\backslash ,x\}\; =\; -\; \backslash operatorname\{cth\}\backslash ,x\; +\; C$ : $\backslash int\; \backslash operatorname\{th\}\backslash ,x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash ln\; |\backslash operatorname\{ch\}\backslash ,x|\; +\; C$ : $\backslash int\; \backslash operatorname\{csch\}\backslash ,x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash ln\backslash left|\; \backslash operatorname\{th\}\backslash ,\{x\; \backslash over2\}\backslash right|\; +\; C$ : $\backslash int\; \backslash operatorname\{sech\}\backslash ,x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash operatorname\{arctg\}\backslash ,(\backslash operatorname\{sh\}\backslash ,x)\; +\; C$ :: ngoài ra $\backslash int\; \backslash operatorname\{sech\}\backslash ,x\; \backslash ,\; dx\; =\; 2\backslash ,\; \backslash operatorname\{arctg\}\backslash ,\; (e^x)\; +\; C$ :: và $\backslash int\; \backslash operatorname\{sech\}\backslash ,x\; \backslash ,\; dx\; =\; 2\backslash ,\; \backslash operatorname\{arctg\}\; \backslash ,\; \backslash left(\backslash operatorname\{th\}\backslash ,\; \backslash frac\{x\}\{2\}\backslash right)\; +\; C$ : $\backslash int\; \backslash operatorname\{cth\}\backslash ,x\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash ln|\backslash operatorname\{sh\}\backslash ,x|\; +\; C$

= \frac{1}{\operatorname{ch}\,x} = \operatorname{sech}\,x.

Chứng minh công thức $\backslash int\; \backslash operatorname\{sech\}\backslash ,x\; \backslash ,\; dx\; =\; 2\backslash ,\; \backslash operatorname\{arctg\}\backslash ,\backslash left(\backslash operatorname\{th\}\backslash ,\; \backslash frac\{x\}\{2\}\backslash right)\; +\; C$ bằng cách lấy đạo hàm vế phải: : $\backslash left(2\backslash ,\; \backslash operatorname\{arctg\}\backslash ,\backslash left(\backslash operatorname\{th\}\backslash ,\; \backslash frac\{x\}\{2\}\backslash right)\; +\; C\backslash right)\text{'}\; =\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{sech\}^2\backslash frac\{x\}\{2\{\backslash operatorname\{th\}^2\backslash frac\{x\}\{2\}\; +\; 1\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash operatorname\{sh\}^2\backslash frac\{x\}\{2\}+\backslash operatorname\{ch\}^2\backslash frac\{x\}\{2\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash operatorname\{ch\}\backslash ,x\}\; =\; \backslash operatorname\{sech\}\backslash ,x$.