Trong toán học, và chính xác hơn là trong giải tích, tích phân Wallis là một tích phân liên quan đến một lũy thừa nguyên của hàm sin. Các tích phân Wallis được John Wallis giới thiệu, nhằm mục đích khai triển số thành một tích vô hạn các số hữu tỉ: tích Wallis.

Định nghĩa

Các tích phân Wallis là các phần tử của một dãy số thực $(W$n){n\in\N} xác định bởi:

$W\_n\; =\; \backslash int\_0^\{\backslash frac\{\backslash pi\}2\}\; \backslash sin^nx\backslash ,\backslash mathrm\; dx$ hoặc tương đương (bằng cách đổi biến $x=\backslash frac\backslash pi2-t$): $W\_n\; =\; \backslash int\_0^\{\backslash frac\{\backslash pi\}2\}\; \backslash cos^nx\backslash ,\backslash mathrm\; dx$. Các giá trị đầu tiên:

Dãy $(W\_n)$ là dương ngặt và giảm ngặt. Giới hạn của dãy bằng không.

Quan hệ với các tích phân khác

Tích phân từng phần cho phép thiết lập mối quan hệ lặp lại:

$W\_\{n+2\}=\backslash frac\{n+1\}\{n+2\}\backslash ,W$n. Từ đây ta thu được các công thức tổng quát: $W${2p}=\frac\pi2\prod{k=1}^p\frac{2k-1}{2k}=\frac\pi2\frac{(2p)!}{\left(2^pp!\right)^2}\quad\text{và}\quad W{2p+1}=\prod_{k=1}^p\frac{2k}{2k+1}=\frac{\left(2^pp!\right)^2}{(2p+1)!}.

Tiệm cận dãy các tích phân Wallis

Các tích phân Wallis có thể được thể hiện qua các tích phân Euler:

Tích phân Euler loại thứ nhất cũng được gọi là hàm beta:

: $\backslash Beta(x,y)=2\backslash int\_0^\{\backslash frac\{\backslash pi\}2\}\backslash sin(u)^\{2x-1\}\backslash cos(u)^\{2y-1\}\backslash ,\backslash mathrm\; du$

Tích phân Euler loại thứ hai cũng được gọi là hàm gamma:

: $\backslash Gamma(z)\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; t^\{z-1\}\backslash ,e^\{-t\}\backslash ,\backslash mathrm\; dt$.

Biết rằng $\backslash Beta(x,y)=\backslash frac\{\backslash Gamma(x)\backslash Gamma(y)\}\{\backslash Gamma(x+y)\}$ và $\backslash Gamma\backslash left(\backslash tfrac12\backslash right)=\backslash sqrt\backslash pi$, ta có thể viết các tích phân Wallis dưới dạng:

$W$n ={\frac12}\Beta\left(\frac{n+1}2,\frac12\right)=\frac{\Gamma\left(\tfrac{n+1}2\right)\sqrt\pi}{2\,\Gamma\left(\tfrac n2+1\right)}. Từ công thức lặp lại, ta có mối quan hệ tiệm cận: $W${n+1}\sim W_n. Hệ quả: $W\_n\backslash sim\backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{2n$.

Ứng dụng

Thiết lập công thức Stirling

Giả sử sự tồn tại một hằng số $C$ sao cho:

$n!\backslash sim\; C\backslash sqrt\; n\backslash ,\backslash left(\backslash frac\; n\{\backslash mathrm\; e\}\backslash right)^n$. Bằng cách thay thế các giai thừa trong biểu thức trên bằng các tích phân Wallis, ta có:

: $W\_\{2p\}=\backslash frac\backslash pi2\backslash frac\{(2p)!\}\{\backslash left(2^pp!\backslash right)^2\}\backslash sim\backslash frac\backslash pi2\backslash frac\{C\backslash sqrt\{2p\}\backslash ,\backslash left(\backslash frac\{2p\}\{\backslash mathrm\; e\}\backslash right)^\{2p\{\backslash left(2^pC\backslash sqrt\; p\backslash ,\backslash left(\backslash frac\; p\{\backslash mathrm\; e\}\backslash right)^p\backslash right)^2\}=\backslash frac\backslash pi\{C\backslash sqrt\{2p$.

So sánh với tiệm cận của tích phân Wallis thu được trước đó, ta có

$C=\backslash lim${p\to\infty}\frac\pi{W{2p}\sqrt{2p=\sqrt{2\pi}. Do đó, ta suy ra công thức Stirling:

: $n!\backslash sim\backslash sqrt\{2\backslash pi\; n\}\backslash ,\backslash left(\backslash frac\; n\{\backslash mathrm\; e\}\backslash right)^n$.

Tính

Từ $W${2p}\sim W{2p+1}, ta có

$\backslash lim${p\to\infty}\frac{W{2p+1{W_{2p}/\frac\pi2}=\frac\pi2. Mặt khác:

: $\backslash frac\{W${2p+1{W{2p}/\frac\pi2}=\frac{\prod{k=1}^p\frac{2k}{2k+1{\prod{k=1}^p\frac{2k-1}{2k=\prod_{k=1}^p\frac{4k^2}{4k^2-1}.

Ta suy ra công thức tích Wallis:

: $\backslash prod\_\{k=1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{4k^2\}\{4k^2-1\}=\backslash frac\backslash pi2$.