✨Công thức Viète

Công thức Viète

Công thức Viète được in trong tác phẩm Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII xuất bản năm 1593 của [[François Viète]]

Trong toán học, công thức Viète là một công thức tích vô hạn biểu diễn giá trị của hai lần nghịch đảo hằng số toán học :

\frac2\pi = \frac{\sqrt 2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt 22 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt 2}2 \cdots

Ngoài ra, công thức này cũng có thể được biểu diễn bằng kí hiệu tích vô hạn:

\frac2\pi = \prod_{n=1}^{\infty} \cos \frac{\pi}{2^{n+1

Nhà toán học người Pháp François Viète công bố công thức vào năm 1593, và công thức này được đặt theo tên ông. Công thức Viète biểu diễn một hằng số bằng một chuỗi các phép tính dài vô hạn, nó cũng có thể biểu thị ý nghĩa chặt chẽ về mặt giới hạn, và cũng đánh dấu sự khởi đầu của giải tích toán học. Công thức này có một tốc độ hội tụ xác định, để từ đó có thể được sử dụng để tính số , tuy nhiên các phương pháp trước và sau khi công thức này ra đời lại có độ chính xác cao hơn. Công thức này cũng được sử dụng để tính toán sự chuyển động của hệ các lò xo kèm với khối lượng, ngoài ra cũng đóng vai trò như một ví dụ để thúc đẩy sự xuất hiện khái niệm độc lập thống kê.

Công thức Viète có thể được coi như một kết quả của chuỗi lồng nhau của cả chu vi và diện tích của một đa giác đều trong quá trình suy biến trở thành đường tròn. Cũng bằng việc sử dụng liên tục các công thức nhân đôi góc của lượng giác để suy ra các công thức tổng quát, Leonhard Euler đã thu được công thức Viète như một trường hợp đặc biệt của các công thức tổng quát nêu trên.

Dẫn nhập

François Viète (sinh năm 1540, mất năm 1603) là một luật sư người Pháp, làm việc trong viện cơ mật cho hai đời vua Pháp và là một nhà toán học nghiệp dư. Ông lần đầu tiên công bố công thức Viète vào năm 1593 trong công trình nghiên cứu Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (dịch từ tiếng Latinh: Đáp án cho các vấn đề toán học, cuốn VIII). Trong thời gian này, các phương pháp nhằm tính xấp xỉ số với độ chính xác khác nhau đã được biết đến rộng rãi. Phuơng pháp riêng của Viète có thể được coi như một lối tư duy khác cho ý tưởng của Archimedes của việc tính xấp xỉ chu vi một đường tròn bằng việc sử dụng đa giác đều nhiều cạnh.

\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}.

Bằng việc công bố phương pháp tính của mình dưới dạng một công thức toán học, Viète lần đầu tiên đưa ra một ví dụ mà ngày nay được định nghĩa là tích vô hạn trong toán học, và cũng là ví dụ đầu tiên mà một công thức cụ thể có thể tính toán giá trị chính xác của số . Lần đầu tiên nền toán học châu Âu có một công thức mà một số được thể hiện bằng kết quả của một chuỗi các phép tính vô hạn. Eli Maor đã coi công thức Viète như dấu mốc khởi đầu cho giải tích toán học,

Viète sử dụng công thức của chính mình để tính toán số chính xác tới 9 chữ số thập phân sau dấu phẩy.

Sự hội tụ của công thức Viète

Công thức Viète có thể được biểu diễn dưới dạng kết quả của một phép tính giới hạn

Đồ thị so sánh tốc độ hội tụ của công thức Viète (được đánh dấu đỏ) và các chuỗi vô hạn trong lịch sử được sử dụng để tính số , với $S_n$ là xấp xỉ sau khi thực hiện phép tính với $n$ biểu thức. Từ phải qua trái, chiều ngang của mặt phẳng đồ thị được phóng đại lên thêm 10 lần.

Tốc độ hội tụ của một phép tính giới hạn có liên quan mật thiết tới số lượng biểu thức tham gia phép tính để đạt được một độ chính xác nhất định về mặt số chữ số trong một phép tính. Đối với công thức Viète, số lượng nhân tử và số chữ số tỉ lệ thuận với nhau, và kết quả của công thức Viète cho $n$ nhân tử đầu tiên cho ra xấp xỉ số với sự chính xác cho 0,6 $n$ chữ số. Tốc độ hội tụ này khá tương đồng với kết quả Wallis – một công thức cũng sử dụng tích vô hạn để tìm kiếm công thức tính số ra đời vào năm 1656. Mặc dù công thức của bản thân Viète được chính ông sử dụng để tính số với độ chính xác là chín chữ số sau dấu phẩy, một dẫn xuất khác với tốc độ hội tụ nhanh hơn được sử dụng để tính tới khoảng vài nghìn chữ số. công thức này hơn một thế kỷ sau đó:

\frac{2}{\pi} = \cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{16} \cdots

Sau đó, biểu diễn từng nhân tử ở vế phải sử dụng công thức nhân đôi góc:

\cos\frac{x}{2} = \sqrt\frac{1+\cos x}{2}

cho ta công thức Viète.

\pi = \lim_{k\to\infty} 2^{k} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}_{k\text{ dấu căn bậc hai,

Công thức này có thể được thu gọn lại dưới dạng dãy số:

\begin{align} \pi &= \lim_{k\to\infty}2^k\sqrt{2-a_k} \\[5px] a_1&=0 \\ a_k&=\sqrt{2+a_{k-1. \end{align}

Nhiều công thức cho số và các hằng số khác như tỷ lệ vàng cũng có dạng công thức giống với công thức Viète khi sử dụng việc lồng các căn thức bậc hai hoặc các chuỗi vô hạn các công thức lượng giác.

Nguồn gốc

Một chuỗi các [[đa giác đều có số cạnh là lũy thừa của 2 nội tiếp một đường tròn. Tỉ lệ giữa diện tích hoặc chu vi của đa giác khi số cạnh tăng dần cho công thức dưới dạng công thức Viète]] Viète thu được công thức này khi so sánh diện tích của các đa giác đều với số cạnh lần lượt là và cùng nội tiếp một đường tròn.

Một cách khác để thu được công thức Viète được dựa trên các đẳng thức lượng giác và công thức Euler. Bằng việc liên tục sử dụng công thức nhân đôi góc

\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2},

dẫn tới việc đưa ra một chứng minh bằng phép quy nạp rằng với mọi số nguyên ,

\sin x = 2^n \sin\frac{x}{2^n}\left(\prod_{i=1}^n \cos\frac{x}{2^i}\right).

Biểu thức tiến dần tới khi mà trong phép giới hạn tiến dần tới dương vô cùng. Bằng việc thay sẽ cho ra được công thức Viète.

👁️ 1 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚

💫 Công thức Viète

Công thức Viète được in trong tác phẩm _Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII_ xuất bản năm 1593 của [[François Viète]] Trong toán học, **công thức Viète** là một công thức tích vô hạn

💫 Công thức De Moivre

Trong toán học, **công thức de Moivre** (hay **định thức de Moivre, đẳng thức de Moivre**, tiếng Anh: _de Moivre's formula_) phát biểu rằng với mọi số thực **' và số nguyên **', đẳng thức

💫 Phương trình bậc hai

Trong đại số sơ cấp, **phương trình bậc hai** là phương trình có dạng

ax^2 + bx + c = 0\,,

Với là ẩn số chưa biết và , , là các số đã

💫 Tích vô hạn

Trong toán học, với một dãy các số phức _a_₁, _a_₂, _a_₃, ... **tích vô hạn** :

\prod_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 a_2 a_3 \cdots

được định nghĩa là giới hạn của tích phép

💫 Căn bậc hai của 2

thumb|Căn bậc hai của 2 bằng với độ dài của [[cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh đáy bằng 1.]] **Căn bậc hai của 2**, hay lũy thừa 1/2 của 2, được

💫 Lịch sử toán học

_Cuốn [[The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing_]] Từ _toán học_ có nghĩa là "khoa học, tri thức hoặc học tập". Ngày nay, thuật ngữ "toán học" chỉ một bộ phận cụ thể

💫 Pi

Số **pi** (ký hiệu: ****), còn gọi là **hằng số Archimedes**, là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số giữa chu vi của một đường tròn với đường kính của đường

💫 Danh sách chủ đề toán học

Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *

💫 Hàm số bậc ba

phải|nhỏ|210x210px|Đồ thị của một hàm số bậc ba với 3 [[Nghiệm số|nghiệm số thực (tại đó đường đồ thị cắt trục hoành—thỏa mãn ). Hình vẽ cho thấy hai điểm cực trị. Phương trình của

💫 23 Chuyên Đề Giải 1001 Bài Toán Sơ Cấp tập 2

uốn sách gồm các chuyên đề sau Chuyên đề 1. Biền đổi đồng nhất Chuyên đề 2. Biến đổi căn thức Chuyên đề 3. Xác định đa thức Chuyên đề 4. Hệ phương trình bậc

💫 Đại số

**Đại số** là một nhánh của toán học nghiên cứu những hệ thống trừu tượng nhất định gọi là cấu trúc đại số và sự biến đổi biểu thức trong các hệ thống này. Đây

💫 Lý thuyết số

**Lý thuyết số** là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà

💫 Lịch sử đại số học

Là một nhánh của toán học, đại số phát triển vào cuối thế kỷ 16 ở châu Âu với công trình của François Viète. Đại số được xem xét một cách đáng chú ý như

💫 Trường (đại số)

thumb|[[Hình thất giác đều không thể dựng được thước kẻ và compa; Điều này có thể chứng minh sử dụng trường của số dựng được.]] Trong toán học, một **trường** là một tập hợp mà

💫 13 tháng 12

Ngày **13 tháng 12** là ngày thứ 347 (348 trong năm nhuận) trong lịch Gregory. Còn 18 ngày trong năm. ## Sự kiện *552 – Sau khi tiêu diệt cuộc nổi loạn của Hầu Cảnh,

💫 23 tháng 2

Ngày **23 tháng 2** là ngày thứ 54 trong lịch Gregory. Còn 311 ngày trong năm (312 ngày trong năm nhuận). ## Sự kiện * 532 – Hoàng Đế Đông La Mã Justinian I cho

💫 13 tháng 2

Ngày **13 tháng 2** là ngày thứ 44 trong lịch Gregory. Còn 321 ngày trong năm (322 ngày trong năm nhuận). ## Sự kiện trong nước *1885 – Chiến tranh Pháp–Thanh: Quân Pháp chiếm thành

💫 Phương tích của một điểm

nhỏ|Ý nghĩa hình học Trong hình học phẳng sơ cấp, **phương tích của một điểm** là một số thực thể hiện khoảng cách tương đối của điểm đó đối với một đường tròn cho trước.