✨Trật tự của phép lấy tích phân

Trong vi tích phân, hoán vị trật tự của phép lấy tích phân là một phương pháp luận biến đổi tích phân lặp (hoặc tích phân bội bằng việc sử dụng định lý Fubini) của các hàm thành tích phân khác bằng cách thay đổi trật tự các tích phân được thực hiện. Trong một số trường hợp, trật tự tích phân có thể được hoán đổi với nhau một cách hợp lệ; một số trường hợp khác thì không.

Phát biểu bài toán

Bài toán để khảo sát là đánh giá tích phân dạng : $\backslash iint\_D\; \backslash \; f(x,y)\; \backslash \; dx\; \backslash ,dy,$ trong đó D là một miền hai chiều nào đó trong mặt phẳng xy. Với các hàm f có tích phân đơn giản thì khả thi, nhưng khi hàm lấy tích phân phức tạp, tích phân đôi khi có thể được giảm đến dạng đơn giản hơn bằng cách thay đổi trật tự của phép lấy tích phân. Khó khăn trong hoán đổi này là xác định sự thay đổi trong mô tả của miền D.

Phương pháp này cũng được áp dụng cho các tích phân bội khác.

Đôi khi, mặc dù một đánh giá toàn thể là khó khăn, hoặc có lẽ yêu cầu phải có tích phân số, một tích phân kép có thể được giảm xuống một tích phân đơn như minh họa sau. Việc giảm thành tích phân đơn giúp việc đánh giá số dễ dàng và hiệu quả hơn.

Mối liên hệ với phép lấy tích phân từng phần

left|thumb|300x300px|Hình 1: Tích phân trên vùng có hình tam giác có thể được thực hiện bằng các dải dọc hoặc ngang như bước đầu tiên. Đây là một phép chiếu thẳng đứng, nhìn xuống trục z trên mặt phẳng x-y. Đường xiên là đường cong y = x. Xét tích phân lặp : $\backslash int\_a^z\; \backslash ,\; \backslash int\_a^x\; \backslash ,\; h(y)\; \backslash ,\; dy\; \backslash ,\; dx\; \backslash$, mà chúng ta sẽ viết bằng cách sử dụng ký hiệu tiền tố thường gặp trong vật lý: : $\backslash int\_a^z\; dx\; \backslash ,\; \backslash int\_a^x\; \backslash ,\; h(y)\; \backslash ,\; dy$. Trong biểu thức này, tích phân thứ hai được tính trước trên y và x được coi là hằng số không đổi - một dải có chiều rộng dx được tích phân đầu tiên theo hướng y (một dải có chiều rộng dx theo hướng x được tích phân theo biến y trên phương y), thêm tổng vô hạn các hình chữ nhật có chiều rộng dy dọc theo trục y. Điều này tạo nên một lát cắt dx rộng 3 chiều dọc theo trục x, từ y=a đến y=x dọc theo trục y, và theo hướng  z với z=f(x,y). Chú ý rằng nếu dx có độ dày là vô cùng nhỏ thì x chỉ thay đổi vô cùng nhỏ trên lát cắt. Tích phân này giống như hình hiển thị tại khung trái của hình 1, nhưng là đặc biệt bất tiện là khi hàm h (y) không dễ dàng lấy tích phân. Tích phân có thể được quy về một tích phân đơn bằng cách đảo ngược trật tự của phép lấy tích phân như trong bảng bên phải của hình. Để thực hiện việc hoán đổi các biến này, các dải rộng dy được tích phân trước từ đường thẳng x = y đến giới hạn x = z, rồi sau đó kết quả sẽ được lấy tích phân từ y = a đến y = z, kết quả là: :$\backslash int\_a^z\; \backslash \; dx\backslash \; \backslash int\_a^x\; \backslash \; h(y)\; \backslash \; dy\; \backslash \; =\; \backslash int\_a^z\; \backslash \; h(y)\backslash \; dy\; \backslash \; \backslash \; \backslash int\_y^z\; \backslash \; dx\; =\; \backslash int\_a^z\; \backslash \; \backslash left(z-y\backslash right)\; h(y)\backslash ,\; dy\; \backslash \; .$ Kết quả này có thể được coi là một ví dụ về công thức tích phân từng phần, như đã phát biểu dưới đây: : $\backslash int\_a^z\; f(x)\; g\text{'}(x)\backslash ,\; dx\; =\; \backslash left[\; f(x)\; g(x)\; \backslash right]\_a^z\; -\; \backslash int\_a^z\; f\text{'}(x)\; g(x)\backslash ,\; dx!$ Thế: :$f\; (x)\; =\; \backslash int\_a^x\; \backslash \; h(y)\backslash ,\; dy\; \backslash text\{\; and\; \}g\text{'}(x)\; =\; 1\; \backslash \; .$ Từ đó ta có kết quả.

Tích phân giá trị chủ yếu

Với các ứng dụng của tích phân giá trị chủ yếu, hãy xem Whittaker and Watson, Gakhov, Lu, hay Zwillinger. Xem thêm thảo luận về phép biến đổi Poincaré-Bertrand trong Obolashvili. Một ví dụ về việc trật tự của phép lấy tích phân không thể biến đổi được cho bởi Kanwal: : $\backslash frac\; \{1\}\{(2\backslash pi\; i)^2\}\; \backslash int\_L^*\; \backslash frac\{d\{\backslash tau\}\_1\}$