Trong vi tích phân, quy tắc Leibniz cho đạo hàm dưới dấu tích phân, đặt tên theo nhà toán học Gottfried Leibniz, phát biểu rằng với một tích phân với dạng

:$\backslash \; \backslash int\backslash limits\_\{a(x)\}^\{b(x)\}\; f(x,t)\backslash ,dt$

với $a(x),b(x)\backslash in(-\backslash infty,+\backslash infty)$, đạo hàm của tích phân này có thể được viết là:

:$\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash left\; (\backslash \; \backslash int\backslash limits${a(x)}^{b(x)} f(x,t)\,dt \right)=f\bigl(x,b(x)\bigl)\cdot \frac{d}{dx} b(x) - f\big(x,a(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} a(x) + \int\limits{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial f}{\partial x} (x,t) \,dt

Chú ý rằng nếu $a(x)$ và $b(x)$ đều là hằng số thay vì là hàm số theo $x$, ta có dạng đặc biệt của quy tắc Leibniz:

:$\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash left(\backslash int\backslash limits${a}^{b} f(x,t)\,dt \right)= \int\limits{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial x} (x,t) \,dt

Ngoài ra, nếu $a(x)=a$ và $b(x)=x$, một trường hợp thường gặp (như trong chứng minh của công thức tích phân lặp của Cauchy), ta có:

:$\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash left\; (\backslash int\backslash limits${a}^{x} f(x,t)\,dt \right)= f\big(x,x\big) + \int\limits{a}^{x}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt

Do đó, trong một số trường hợp, ta có thể hoán đổi dấu tích phân và đạo hàm riêng. Kết quả quan trọng này đặc biệt hữu ích trong việc lấy đạo hàm của phép biến đổi tích phân. Một ví dụ là hàm sinh mô men trong lý thuyết xác suất, một dạng của biến đổi Laplace, có thể được lấy đạo hàm để thu được mô men của một biến ngẫu nhiên.

Dạng tổng quát

:Định lý. Cho là một hàm số sao cho cả và đạo hàm riêng của nó đều liên tục đối với và trong một vùng của mặt phẳng , bao gồm , . Đồng thời giả sử các hàm số và đều liên tục và có đạo hàm liên tục với trong khoảng . Khi ấy, với , ta có ::$\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash left\; (\backslash int${a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt \right) = f\big(x,b(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} b(x) - f\big(x,a(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} a(x) + \int{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \,dt.

Đẳng thức trên là dạng tổng quát của công thức tích phân Leibniz và có thể được chứng minh bằng định lý cơ bản của giải tích. Thực chất, định lý cơ bản của giải tích (thứ nhất) là trường hợp đặc biệt của định lý trên khi là một hằng số, , và

Nếu cả chặn trên và dưới đều là hằng số, thì đẳng thức trên trông giống như phương trình của một toán tử:

::$\backslash mathcal\{I\}\_t\; \backslash partial\_x\; =\; \backslash partial\_x\; \backslash mathcal\{I\}\_t$

trong đó $\backslash partial\_x$ là đạo hàm riêng của và $\backslash mathcal\{I\}\_t$ là toán tử tích phân của trên một khoảng cố định. Nó liên quan đến tính đối xứng của đạo hàm cấp hai, nhưng có cả tích phân lẫn đạo hàm. Trường hợp này cũng được gọi là quy tắc tích phân Leibniz.

Ba định lý dưới đây về việc đổi chỗ các phép toán giới hạn về cơ bản là tương đương với nhau:

• đổi chỗ đạo hàm và tích phân (đạo hàm dưới dấu tích phân; tức quy tắc tích phân Leibniz);
• đổi chỗ thứ tự của đạo hàm riêng;
• đổi chỗ thứ tự tích phân (tích phân dưới dấu tích phân; tức định lý Fubini).

Trường hợp ba chiều, phụ thuộc thời gian

right|thumb|Hình 1: Một trường vectơ định nghĩa trong không gian ba chiều, và một mặt giới hạn bởi đường cong di chuyển với vận tốc được lấy tích phân trong trường đó.

Quy tắc Leibniz cho một mặt hai chiều di chuyển trong không gian ba chiều là:

:$\backslash frac\; \{d\}\{dt\}\; \backslash iint${\Sigma (t)} \mathbf{F} (\mathbf{r}, t) \cdot d \mathbf{A} = \iint{\Sigma (t)}\left(\mathbf{F}t (\mathbf{r}, t) + \left[\nabla \cdot \mathbf{F} (\mathbf{r}, t) \right] \mathbf{v} \right) \cdot d \mathbf{A} - \oint{\partial \Sigma (t)} \left[ \mathbf{v} \times \mathbf{F} (\mathbf{r}, t) \right] \cdot d \mathbf{s},

trong đó: : là trường vectơ tại vị trí tại thời gian : là mặt giới hạn bởi đường cong kín : là thành phần vectơ của mặt : là thành phần vectơ của đường cong : là vận tốc di chuyển của vùng : là div vectơ, : là tích có hướng của vectơ.

Tích phân hai lớp là tích phân mặt trên mặt , và tích phân đường là trên đường cong giới hạn

Nhiều chiều

Quy tắc tích phân Leibniz có thể được mở rộng cho trường hợp nhiều chiều. Trong trường hợp hai và ba chiều, công thức này được dùng trong động lực học chất lưu, còn được biết là định lý vận chuyển Reynolds:

:$\backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash int${D(t)} F(\vec{\textbf x}, t) \,dV = \int{D(t)} \frac{\partial}{\partial t} F(\vec{\textbf x}, t)\,dV + \int_{\partial D(t)} F(\vec{\textbf x}, t) \vec{\textbf v}_b \cdot d\mathbf{\Sigma},

trong đó $F(\backslash vec\{\backslash textbf\; x\},\; t)$ là một hàm scalar, và lần lượt là một vùng của và giới hạn của nó thay đổi theo thời gian, còn $\backslash vec\{\backslash textbf\; v\}\_b$ là vận tốc Euler của đường bao quanh và là thành phần đơn vị của thành phần mặt.

Phát biểu tổng quát cho công thức tích phân Leibniz cần những khái niệm từ hình học vi phân, cụ thể là dạng vi phân, tích phân ngoài, tích chêm và tích trong. Quy tắc tích phân Leibniz trong chiều là

:$\backslash frac\{d\}\{dt\}\backslash int${\Omega(t)}\omega=\int{\Omega(t)} i_{\vec{\textbf v(dx\omega)+\int{\partial \Omega(t)} i{\vec{\textbf v \omega+\int{\Omega(t)}\dot{\omega},

trong đó là miền lấy tích phân thay đổi theo thời gian, là một dạng , $\backslash vec\{\backslash textbf\; v\}=\backslash frac\{\backslash partial\backslash vec\{\backslash textbf\; x\{\backslash partial\; t\}$ là trường vectơ của vận tốc, $i\_\{\backslash vec\{\backslash textbf\; v$ chỉ tích trong với $\backslash vec\{\backslash textbf\; v\}$, là đạo hàm ngoài của đối với biến vị trí và $\backslash dot\{\backslash omega\}$ là đạo hàm của đối với thời gian.

Tuy nhiên, tất cả các đẳng thức trên đều có thể được suy ra từ phảt biểu tổng quát sau về đạo hàm Lie:

:$\backslash left.\backslash frac\{d\}\{dt\}\backslash right|${t=0}\int{\text{im}_{\psit}(\Omega)} \omega = \int{\Omega} \mathcal{L}_{\Psi} \omega,

Ở đây, đa tạp mà dạng vi phân $\backslash omega$ nằm trong bao gồm cả không gian và thời gian. : là vùng lấy tích phân (đạ tạp con) ở một thời điểm xác định (nó không phụ thuộc vào , vì tham số hóa nó thành một đa tạp con định nghĩa vị trí của nó theo thời gian), : $\backslash mathcal\{L\}$ là đạo hàm Lie, : là trường vectơ không thời gian nhận được bằng cách cộng trường vectơ đơn vị theo hướng của thời gian với trường vectơ không gian $\backslash vec\{\backslash textbf\; v\}$ từ công thức trước (nói cách khác, là vận tốc không thời gian của ), : $\backslash psi$t là một vi phôi từ nhóm một tham số sinh bởi dòng chảy của $\backslash Psi$, : $\backslash text\{im\}${\psi_t}(\Omega) là ảnh của dưới phép vi phôi đó.

Phát biểu lý thuyết độ đo

Gọi là một tập con mở của , và là một không gian độ đo. Giả sử thỏa mãn các điều kiện sau:

là một hàm khả tích Lebesgue của với mỗi

Với hầu hết , đạo hàm tồn tại với mỗi

Tồn tại một hàm khả tích sao cho với mọi và với hầu hết

Khi ấy theo định lý hội tụ trội, với mọi

:$\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash int$\Omega f(x, \omega) \, d\omega = \int{\Omega} f_x (x, \omega) \, d\omega.