Công thức Euler.
Công thức Euler là một công thức toán học trong ngành giải tích phức, được xây dựng bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler. Công thức chỉ ra mối liên hệ giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ phức.
Cụ thể, với mọi số thực x, ta có:
:
Ở đây e là cơ số logarit tự nhiên, i là đơn vị của số phức, và cos và sin lần lượt là các hàm số lượng giác cosin và sin. Học sinh Anh, Mỹ còn viết là cis x vì các chữ cái c, i, s nhắc nhở đến cos, i, sin.
Khai triển từ công thức trên, các hàm số: và: có thể được viết dưới dạng sau:
:
Trường hợp đặc biệt: khi: , ta có:, từ đó dẫn đến công thức rút gọn nổi tiếng:
:
Chứng minh
Bằng cách sử dụng chuỗi Taylor
Sau đây là một cách chứng minh công thức Euler bằng cách sử dụng khai triển chuỗi Taylor cũng như các tính chất cơ bản về lũy thừa của số i:
:
:
:
:
:
:
::
Các hàm ex, cos(x) và sin(x) (với giả sử x là số thực) có thể được viết như sau:
:
:
:
Do bán kính hội tụ của mỗi chuỗi nêu trên là vô hạn, chúng ta có thể thay thế x bởi iz, với z là số phức. Khi đó:
:
:
:
:
Việc sắp xếp lại các số hạng là thích hợp do mỗi chuỗi đều là chuỗi hội tụ tuyệt đối. Lấy z = x là một số thực sẽ dẫn đến đẳng thức nguyên thủy mà Euler đã khám phá ra.
Bằng cách sử dụng phép tính vi tích phân
Xét hàm số xác định bởi:
Ta sẽ chứng minh rằng khác 0 với mọi x
Thật vậy; giả sử thì ; do đó ; vậy (vô lý)
Do đó mẫu của: khác 0
Bây giờ tính đạo hàm của: theo quy tắc chia; dễ thấy
Vì vậy: phải là hàm hằng; có nghĩa là với mọi: thì
:
Bây giờ cho: ta thấy:; do đó:
vậy
Bằng cách sử dụng phương trình vi phân thường
Xét hàm số xác định bởi
:
Chú ý rằng là hằng số, đạo hàm bậc nhất và bậc hai của sẽ là
:
:
do theo định nghĩa. Từ đó chúng ta xây dựng phương trình vi phân thường tuyến tính có bậc 2 như sau:
:
hay
:
Đây là một phương trình vi phân thường bậc 2, do đó nó sẽ có hai nghiệm độc lập tuyến tính là:
:
:
Cả và đều là các hàm số thực có đạo hàm bậc hai đồng nhất với giá trị âm của chính nó. Ngoài ra, bất kỳ một tổ hợp tuyến tính nào của các nghiệm của một phương trình vi phân thuần nhất cũng sẽ lại là một nghiệm của nó. Do vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã nêu là
:
với mọi hằng số và Tuy nhiên, không phải mọi giá trị của các hằng số này đều thỏa mãn điều kiện ban đầu của hàm :
:
: .
Các điều kiện ban đầu giống nhau này (áp dụng cho nghiệm tổng quát) sẽ dẫn đến kết quả sau
:
:
Từ đó cho
:
:
và sau cùng là
:
👁️
1 | 🔗 | 💖 | ✨ | 🌍 | ⌚
Công thức Euler. **Công thức Euler** là một công thức toán học trong ngành giải tích phức, được xây dựng bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler. Công thức chỉ ra mối liên
Trong toán học, công **thức Euler-Maclaurin** là một công thức cho sự khác biệt giữa một tích phân và tổng có liên quan chặt chẽ. Nó có thể được sử dụng để tính gần đúng
Trong toán học, **Đồng nhất thức Euler** hoặc **đẳng thức Euler** là đẳng thức : trong đó : là số Euler, cơ số của logarit tự nhiên, : là
Trong toán học, **công thức de Moivre** (hay **định thức de Moivre, đẳng thức de Moivre**, tiếng Anh: _de Moivre's formula_) phát biểu rằng với mọi số thực **' và số nguyên **', đẳng thức
Công thức Viète được in trong tác phẩm _Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII_ xuất bản năm 1593 của [[François Viète]] Trong toán học, **công thức Viète** là một công thức tích vô hạn
**Leonhard Euler** ( , ; 15 tháng 4 năm 170718 tháng 9 năm 1783) là một nhà toán học, nhà vật lý học, nhà thiên văn học, nhà lý luận và kỹ sư người Thụy
Trong toán học, và đặc biệt hơn trong tôpô đại số và tổ hợp đa diện, **đặc trưng Euler** (hoặc **đặc trưng Euler-Poincaré**) là một topo bất biến, một số mà nó mô tả hình
thumb|Minh họa phương pháp Euler. Đường cong chưa biết có màu xanh da trời và lời giải gần đúng của nó là đường nhiều cạnh màu đỏ. Trong toán học và khoa học máy tính,
nhỏ|phải|1000 giá trị đầu tiên của Trong lý thuyết số, **hàm số Euler** của một số nguyên dương _n_ được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng _n,_ nguyên
nhỏ|Ví dụ về Định lý Euclid-Euler **Định lý Euclid–Euler** là một định lý trong lý thuyết số liên hệ số hoàn thiện với số nguyên tố Mersenne. Định lý này phát biểu rằng một số
thumb|right|upright=1.25| Trong hình học, **định lý Euler** nói về khoảng cách _d_ giữa tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp của một tam giác thể hiện qua công thức
**Các định luật chuyển động của Euler** gồm: *Định luật 1: Động lượng tuyến tính của 1 cá thể. Đại lượng G có giá trị bằng tích giữa khối lượng cá thể và vận tốc
thumb|right|[[Đường cong Tschirnhausen là một ví dụ về đường cong đại số bậc ba.]] Trong toán học, **đường cong phẳng đại số affin** là tập nghiệm của đa thức hai biến. **đường cong phẳng đại
Trong toán học, các **đẳng thức lượng giác** là các phương trình chứa các hàm lượng giác, đúng với một dải lớn các giá trị của biến số. Các đẳng thức này hữu ích cho
Trong đại số, **định thức Brahmagupta–Fibonacci** biến tích của hai tổng hai số chính phương thành tổng của hai số chính phương dưới hai cách khác nhau. Cụ thể hơn, định lý phát biểu :
right|thumb|Kí hiệu tập hợp **số thực** (ℝ) Trong toán học, một **số thực** là một giá trị của một đại lượng liên tục có thể biểu thị một khoảng cách dọc theo một đường thẳng
nhỏ|254x254px|Đồ thị của hàm số . là số duy nhất lớn hơn 1 sao cho diện tích phần được tô màu bằng 1. Số **** là một hằng số toán học có giá trị gần
[[Hình:Triangle.EulerLine.svg|thumb| ]] Trong hình học, **đường thẳng Euler** (tiếng Anh: _Euler line)_, được đặt tên theo nhà toán học Leonhard Euler là một đường thẳng được xác định từ bất kỳ tam giác nào không
Trong lý thuyết số, **tích Euler** là dạng khai triển chuỗi Dirichlet thành tích vô hạn được đánh chỉ số bởi các số nguyên tố. Tích gốc xuất hiện trong bài chứng minh công thức
khung|phải|Bản đồ Königsberg thời Euler, mô tả vị trí thực của bay cây cầu và sông Pregel. **Bài toán bảy cây cầu Euler**, còn gọi là **Bảy cầu ở Königsberg** là bài toán nảy sinh
nhỏ|Đường tròn chín điểm. Trong hình học, **đường tròn chín điểm** (tiếng Anh: _nine-point circle_) là một đường tròn có thể được dựng với mọi tam giác cho trước. Đường tròn này đi qua chín
thumb|right|Dầm thủy tinh dao động này có thể dùng làm mô hình dầm ngàm một đầu và với các điều kiện khác ở đầu tự do như gia tốc, mật độ biến đổi tuyến tính,
right|thumb|Một số đường cong bậc 3. Nhấn vào ảnh để xem rõ hơn Trong toán học, **đường cong bậc 3** là đường cong đại số định nghĩa bởi hàm số bậc ba : áp dụng
Số **pi** (ký hiệu: ****), còn gọi là **hằng số Archimedes**, là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số giữa chu vi của một đường tròn với đường kính của đường
**Ulf Svante von Euler** (7.2.1905 – 9.3.1983) là một nhà sinh lý học và dược lý học người Thụy Điển, đã đoạt giải Nobel Sinh lý và Y khoa năm 1970 cho công trình nghiên
right|thumb|upright=1.35|alt=Graph showing a logarithmic curve, crossing the _x_-axis at _x_= 1 and approaching minus infinity along the _y_-axis.|[[Đồ thị của hàm số|Đồ thị của hàm logarit cơ số 2 cắt trục hoành tại và đi
Bài này nói về từ điển các chủ đề trong toán học. ## 0-9 * -0 * 0 * 6174 ## A * AES * ARCH * ARMA * Ada Lovelace * Adrien-Marie Legendre *
[[Đồ thị hàm sin]] [[Đồ thị hàm cos]] [[Đồ thị hàm tan]] [[Đồ thị hàm cot]] [[Đồ thị hàm sec]] [[Đồ thị hàm csc]] Trong toán học nói chung và lượng giác học nói riêng,
Trong lý thuyết đồ thị, một **đồ thị phẳng** là một đồ thị có thể được nhúng vào mặt phẳng, tức là có thể được vẽ trên mặt phẳng sao cho các cạnh chỉ gặp
**Hans von Euler-Chelpib** tên đầy đủ là **Hans Karl August Simon von Euler-Chelpin** (15.2.1873 – 6.11.1964) là một nhà hóa sinh Thụy Điển gốc Đức đã đoạt giải Nobel Hóa học năm 1929 chung với
**Số ảo** hay **số thuần ảo** là một số phức mà khi bình phương lên được kết quả là một số nguyên không dương. Số ảo là tích của một số thực với ,
phải|Một tia đi qua gốc của hyperbol cắt hyperbol tại điểm , với là 2 lần diện tích của hình giới hạn bởi tia và trục
Trong toán học, **chuỗi Fourier** (được dặt tên theo nhà toán học Joseph Fourier) của một hàm tuần hoàn là một cách biểu diễn hàm đó dưới dạng tổng của các hàm tuần hoàn có
thumb|[[Miền tô màu của chỉnh hình tetration , với hue đại diện cho đối số hàm và độ sáng đại diện cho độ lớn]] thumb|, với , cho thấy sự hội tụ theo số mũ
nhỏ|240x240px| Hằng số toán học [[Pi| là một số vô tỉ được thể hiện nhiều trong văn hóa đại chúng. ]] phải|nhỏ|240x240px| Số [[Căn bậc hai của 2| là số vô tỉ ]] Trong toán
phải|Hình vẽ miêu tả [[hàm số sin(_x_) và các xấp xỉ Taylor của nó, tức là các đa thức Taylor bậc 1, 3, 5, 7, 9, 11 và
Trong toán học, **lượng giác** (tiếng Anh: _trigonometry_, lấy nguyên gốc từ tiếng Hy Lạp cổ đại của hai từ τρίγωνον nghĩa là "tam giác" và μέτρον nghĩa là "đo lường") là một phân nhánh
**Mikhail Vasilyevich Lomonosov** (Phiên âm tiếng Việt: Mi-kha-in Va-si-ly-ích Lô-mô-nô-xốp, ; sinh ngày – , Sankt-Peterburg) là một nhà bác học người Nga. Ông là nhà khoa học, là nhà văn đã có nhiều đóng
Trong toán học, **hàm mũ** là hàm số có dạng **y = ax**, với cơ số a là số dương khác 1. ## Tính chất nhỏ|Đồ thị của các hàm số: y = 10x, y
phải|Hàm sinc chuẩn (xanh) và hàm sinc không chuẩn (đỏ) trên cùng một hệ trục tọa độ từ _x_ = −6π đến 6π. Trong toán học, **hàm sinc**, ký hiệu là sinc(_x_) hoặc đôi khi
Trong hình học, một **khối đa diện đều** là một khối đa diện có tất cả các mặt là các đa giác đều bằng nhau và các cạnh bằng nhau. Đa diện đều được chia
**Sin** là một hàm số lượng giác. Giá trị của một cung tròn trên vòng tròn đơn vị bằng độ lớn hình chiếu của đầu mút cung đó lên trục tung. Sin của một góc
**Sir Isaac Newton** (25 tháng 12 năm 1642 – 20 tháng 3 năm 1726 (lịch cũ)) là một nhà toán học, nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà thần học, và tác giả (ở thời
**Amalie Emmy Noether** (, ; ; 23 tháng 3 năm 1882 – 14 tháng 4 năm 1935) là một nhà toán học người Đức nổi tiếng vì những đóng góp nền tảng và đột phá
**André-Marie Ampère** (20 tháng 1 năm 1775 – 10 tháng 6 năm 1836) là nhà vật lý người Pháp và là một trong những nhà phát minh ra điện từ trường và phát biểu thành định
nhỏ|Kích cỡ tiêu chuẩn quốc tế của [[giấy là một cấp số nhân với công bội là ]] Trong toán học, một **cấp số nhân** (tiếng Anh: _geometric progression_ hoặc _geometric sequence_) là một dãy
Một tuabin hơi nước với phần vỏ được mở. **Tua bin** (_Tua bin, Tuốc bin hoặc turbine_) là thiết bị cơ khí quay để trích xuất năng lượng từ một dòng chất lỏng (hoặc chất
**Igor Rostislavovich Shafarevich** (; sinh ngày 3 tháng 6 năm 1923 – mất ngày 19 tháng 2 năm 2017) là nhà toán học Liên Xô và Nga có cống hiến cho hai nhánh lý thuyết
phải|nhỏ|Hình tứ diện Trong hình học không gian, **tứ diện** (tiếng Anh: _Tetrahedrol_) hay **hình chóp tam giác** là một khối đa diện gồm có bốn mặt là các hình tam giác, 6 cạnh và
Trong toán học, phép **biến đổi Fourier rời rạc (DFT)**, đôi khi còn được gọi là biến đổi Fourier hữu hạn, là một biến đổi trong giải tích Fourier cho các tín hiệu thời gian