✨Đẳng thức lượng giác

Trong toán học, các đẳng thức lượng giác là các phương trình chứa các hàm lượng giác, đúng với một dải lớn các giá trị của biến số.

Các đẳng thức này hữu ích cho việc rút gọn các biểu thức chứa hàm lượng giác. Ví dụ trong việc tính tích phân với các hàm không phải là lượng giác: có thể thay chúng bằng các hàm lượng giác và dùng các đẳng thức lượng giác để đơn giản hóa phép tính.

Định nghĩa

: $\backslash tan\; (x)\; =\; \backslash frac\; \{\backslash sin\; (x)\}\; \{\backslash cos(x)\}\; \backslash qquad\; \backslash operatorname\{cot\}(x)\; =\; \backslash frac\; \{\backslash cos\; (x)\}\; \{\backslash sin(x)\}\; =\; \backslash frac\{1\}\; \{\backslash tan(x)\}$

Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích: $a\backslash sin\; x+b\backslash cos\; x=\backslash sqrt\{a^2+b^2\}\backslash cdot\backslash sin(x+\backslash varphi)$

với

Đẳng thức Pytago

Các đẳng thức sau dựa vào định lý Pytago.

: $\backslash sin^2(x)\; +\; \backslash cos^2(x)\; =\; 1\; \backslash ;$

: $\backslash tan^2(x)\; +\; 1\; =\; \backslash sec^2(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\; \{\backslash cos^2(x)\}$ : $\backslash cot^2(x)\; +\; 1\; =\; \backslash csc^2(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\; \{\backslash sin^2(x)\}$

Đẳng thức thứ 2 và 3 có thể suy ra từ đẳng thức đầu bởi chia nó cho cos²(x) và sin²(x).

Công thức cộng trừ lượng giác

:Xem thêm Định lý Ptolemy Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng công thức Euler.

:$\backslash sin(x\; \backslash pm\; y)\; =\; \backslash sin(x)\; \backslash cos(y)\; \backslash pm\; \backslash cos(x)\; \backslash sin(y)\backslash ,$

:$\backslash cos(x\; \backslash pm\; y)\; =\; \backslash cos(x)\; \backslash cos(y)\; \backslash mp\; \backslash sin(x)\; \backslash sin(y)\backslash ,$

:$\backslash tan(x\; \backslash pm\; y)\; =\; \backslash frac\{\backslash tan(x)\; \backslash pm\; \backslash tan(y)\}\{1\; \backslash mp\; \backslash tan(x)\backslash tan(y)\}$

:$\backslash \; cot(x\; \backslash pm\; y)\; =\; \backslash frac\; \{1\; \backslash mp\; \backslash tan(x)\backslash tan(y)\}\{\backslash tan(x)\; \backslash pm\; \backslash tan(y)\}$

:$\{\backslash rm\; c\backslash imath\; s\}(x+y)=\{\backslash rm\; c\backslash imath\; s\}(x)\backslash ,\{\backslash rm\; c\backslash imath\; s\}(y)$

:$\{\backslash rm\; c\backslash imath\; s\}(x-y)=$

:$\backslash cos\backslash left(\backslash frac\{x\}\{2\}\backslash right)\; =\; \backslash pm\backslash ,\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{1\; +\; \backslash cos(x)\}\{2$

Dẫn đến:

:$\backslash tan\backslash left(\backslash frac\{x\}\{2\}\backslash right)\; =\; \{\backslash sin\; (x/2)\; \backslash over\; \backslash cos\; (x/2)\}\; =\; \backslash pm\backslash ,\; \backslash sqrt\{1\; -\; \backslash cos\; x\; \backslash over\; 1\; +\; \backslash cos\; x\}.\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; (1)$

Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa: :$\backslash tan\backslash left(\backslash frac\{x\}\{2\}\backslash right)\; =\; \backslash pm\backslash ,\; \backslash sqrt\{(1\; -\; \backslash cos\; x)\; (1\; +\; \backslash cos\; x)\; \backslash over\; (1\; +\; \backslash cos\; x)\; (1\; +\; \backslash cos\; x)\}\; =\; \backslash pm\backslash ,\; \backslash sqrt\{1\; -\; \backslash cos^2\; x\; \backslash over\; (1\; +\; \backslash cos\; x)^2\}$ ::::$=\; \{\backslash sin\; x\; \backslash over\; 1\; +\; \backslash cos\; x\}.$

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa: :$\backslash tan\backslash left(\backslash frac\{x\}\{2\}\backslash right)\; =\; \backslash pm\backslash ,\; \backslash sqrt\{(1\; -\; \backslash cos\; x)\; (1\; -\; \backslash cos\; x)\; \backslash over\; (1\; +\; \backslash cos\; x)\; (1\; -\; \backslash cos\; x)\}\; =\; \backslash pm\backslash ,\; \backslash sqrt\{(1\; -\; \backslash cos\; x)^2\; \backslash over\; (1\; -\; \backslash cos^2\; x)\}$ ::::$=\; \{1\; -\; \backslash cos\; x\; \backslash over\; \backslash sin\; x\}.$

Suy ra:

:$\backslash tan\backslash left(\backslash frac\{x\}\{2\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{\backslash sin(x)\}\{1\; +\; \backslash cos(x)\}\; =\; \backslash frac\{1-\backslash cos(x)\}\{\backslash sin(x)\}.$

Nếu

:$t\; =\; \backslash tan\backslash left(\backslash frac\{x\}\{2\}\backslash right),$

thì:

Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong giải tích để chuyển các tỷ lệ thức chứa sin(x) và cos(x) thành hàm của t. Cách này giúp tính đạo hàm của biểu thức dễ dàng.

Biến tích thành tổng

Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy ra.

:$\backslash sin\backslash left\; (x\backslash right)\; \backslash sin\backslash left\; (y\backslash right)\; =\; \{\backslash cos\backslash left\; (x\; -\; y\backslash right)\; -\; \backslash cos\backslash left\; (x\; +\; y\backslash right)\; \backslash over\; 2\}\; \backslash ;$

:$\backslash cos\backslash left\; (x\backslash right)\; \backslash cos\backslash left\; (y\backslash right)\; =\; \{\backslash cos\backslash left\; (x\; +\; y\backslash right)\; +\; \backslash cos\backslash left\; (x\; -\; y\backslash right)\backslash over\; 2\}\; \backslash ;$

:$\backslash sin\backslash left\; (x\backslash right)\; \backslash cos\backslash left\; (y\backslash right)\; =\; \{\backslash sin\backslash left\; (x\; +\; y\backslash right)\; +\; \backslash sin\backslash left\; (x\; -\; y\backslash right)\; \backslash over\; 2\}\; \backslash ;$

Biến tổng thành tích

Thay x bằng (x + y) / 2 và y bằng (x – y) / 2, suy ra:

: $\backslash sin(x)\; +\; \backslash sin(y)\; =\; 2\; \backslash sin\backslash left(\backslash frac\{x\; +\; y\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash cos\backslash left(\backslash frac\{x\; -\; y\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash ;$

: $\backslash sin(x)\; -\; \backslash sin(y)\; =\; 2\; \backslash cos\backslash left(\backslash frac\{x\; +\; y\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash sin\backslash left(\{x\; -\; y\backslash over\; 2\}\backslash right)\; \backslash ;$

: $\backslash cos(x)\; +\; \backslash cos(y)\; =\; 2\; \backslash cos\backslash left(\backslash frac\{x\; +\; y\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash cos\backslash left(\backslash frac\{x\; -\; y\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash ;$

: $\backslash cos(x)\; -\; \backslash cos(y)\; =\; -\; 2\; \backslash sin\backslash left(\{x\; +\; y\; \backslash over\; 2\}\backslash right)\; \backslash sin\backslash left(\{x\; -\; y\; \backslash over\; 2\}\backslash right)\; \backslash ;$

Hàm lượng giác ngược

:$\backslash arcsin(x)+\backslash arccos(x)=\backslash pi/2\backslash ;$

:$\backslash arctan(x)+\backslash arccot(x)=\backslash pi/2.\backslash ;$

: :$\backslash arctan(x)+\backslash arctan(y)=\backslash arctan\backslash left(\backslash frac\{x+y\}\{1-xy\}\backslash right)\; \backslash ;$

:$\backslash arctan(x)-\backslash arctan(y)=\backslash arctan\backslash left(\backslash frac\{x-y\}\{1+xy\}\backslash right)\; \backslash ;$

:$\backslash sin(\backslash arccos(x))=\backslash sqrt\{1-x^2\}\; \backslash ,$

:$\backslash cos(\backslash arcsin(x))=\backslash sqrt\{1-x^2\}\; \backslash ,$

:$\backslash sin(\backslash arctan(x))=\backslash frac\{x\}\{\backslash sqrt\{1+x^2$

:$\backslash cos(\backslash arctan(x))=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1+x^2$

:$\backslash tan(\backslash arcsin\; (x))=\backslash frac\{x\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; x^2$

:$\backslash tan(\backslash arccos\; (x))=\backslash frac\{\backslash sqrt\{1\; -\; x^2\{x\}$

Dạng số phức

: $\backslash cos(x)\; =\; \backslash frac\{e^\{ix\}\; +\; e^\{-ix\{2\}\; \backslash ;$ : $\backslash sin(x)\; =\; \backslash frac\{e^\{ix\}\; -\; e^\{-ix\{2i\}\; \backslash ;$

với $i^\{2\}=-1.\backslash ,$

Tích vô hạn

Trong các ứng dụng với hàm đặc biệt, các tích vô hạn sau có ích:

: $\backslash sin\; x\; =\; x\; \backslash prod\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infty\backslash left(1\; -\; \backslash frac\{x^2\}\{\backslash pi^2\; n^2\}\backslash right)$

: $\backslash sinh\; x\; =\; x\; \backslash prod\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infty\backslash left(1\; +\; \backslash frac\{x^2\}\{\backslash pi^2\; n^2\}\backslash right)$

: $\backslash cos\; x\; =\; \backslash prod\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infty\backslash left(1\; -\; \backslash frac\{x^2\}\{\backslash pi^2(n\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\})^2\}\backslash right)$

: $\backslash cosh\; x\; =\; \backslash prod\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infty\backslash left(1\; +\; \backslash frac\{x^2\}\{\backslash pi^2(n\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\})^2\}\backslash right)$

: $\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\; \backslash prod\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infty\backslash cos\backslash left(\backslash frac\{x\}\{2^n\}\backslash right)$

Đẳng thức số

Cơ bản

Richard Feynman từ nhỏ đã nhớ đẳng thức sau:

:$\backslash cos\; 20^\backslash circ\backslash cdot\backslash cos\; 40^\backslash circ\backslash cdot\backslash cos\; 80^\backslash circ=\backslash frac\{1\}\{8\}.$

Tuy nhiên nó là trường hợp riêng của:

:$\backslash prod\_\{j=0\}^\{k-1\}\backslash cos(2^j\; x)=\backslash frac\{\backslash sin(2^k\; x)\}\{2^k\backslash sin(x)\}.$

Đẳng thức số sau chưa được tổng quát hóa với biến số:

:$\backslash cos\; 24^\backslash circ+\backslash cos\; 48^\backslash circ+\backslash cos\; 96^\backslash circ+\backslash cos\; 168^\backslash circ=\backslash frac\{1\}\{2\}$.

Đẳng thức sau cho thấy đặc điểm của số 21: :$\backslash cos\backslash left(\backslash frac\{2\backslash pi\}\{21\}\backslash right)\; \backslash ,+\backslash ,\; \backslash cos\backslash left(2\backslash cdot\backslash frac\{2\backslash pi\}\{21\}\backslash right)\; \backslash ,+\backslash ,\; \backslash cos\backslash left(4\backslash cdot\backslash frac\{2\backslash pi\}\{21\}\backslash right)$ ::$\backslash ,+\backslash ,\; \backslash cos\backslash left(5\backslash cdot\backslash frac\{2\backslash pi\}\{21\}\backslash right)\; \backslash ,+\backslash ,\; \backslash cos\backslash left(8\backslash cdot\backslash frac\{2\backslash pi\}\{21\}\backslash right)\; \backslash ,+\backslash ,\; \backslash cos\backslash left(10\backslash cdot\backslash frac\{2\backslash pi\}\{21\}\backslash right)=\backslash frac\{1\}\{2\}.$

Một cách tính pi có thể dựa vào đẳng thức số sau, do John Machin tìm thấy:

:$\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\; =\; 4\; \backslash arctan\backslash frac\{1\}\{5\}\; -\; \backslash arctan\backslash frac\{1\}\{239\}$

hay dùng công thức Euler:

:$\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}\; =\; 5\; \backslash arctan\backslash frac\{1\}\{7\}\; +\; 2\; \backslash arctan\backslash frac\{3\}\{79\}.$

Một số giá trị lượng giác thông dụng: :

:$\backslash sin\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{7=\backslash frac\{\backslash sqrt\{7\{6\}-\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{7\{189\}\; \backslash sum\_\{j=0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{(3j+1)!\}\{189^j\; j!\backslash ,(2j+2)!\}\; !$

:$\backslash sin\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{18=\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; \backslash sum\_\{j=0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{(3j)!\}\{27^j\; j!\backslash ,(2j+1)!\}\; !$

Dùng tỷ lệ vàng φ:

:$\backslash cos\; \backslash left(\backslash frac\; \{\backslash pi\}\; \{5\}\; \backslash right)\; =\; \backslash cos\; 36^\backslash circ=\{\backslash sqrt\{5\}+1\; \backslash over\; 4\}\; =\; \backslash phi\; /2$

:$\backslash sin\; \backslash left(\backslash frac\; \{\backslash pi\}\; \{10\}\; \backslash right)\; =\; \backslash sin\; 18^\backslash circ\; =\; \{\backslash sqrt\{5\}-1\; \backslash over\; 4\}\; =\; \{\backslash varphi\; -\; 1\; \backslash over\; 2\}\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\backslash varphi\}$

• Nâng cao

• $-\backslash frac\{\backslash sin\; (\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{7\})\}\{\backslash sin\; ^2(\backslash frac\{2\; \backslash pi\; \}\{7\})\}+\backslash frac\{\backslash sin\; (\backslash frac\{3\; \backslash pi\; \}\{7\})\}\{\backslash sin\; ^2(\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{7\})\}+\backslash frac\{\backslash sin\; (\backslash frac\{2\; \backslash pi\; \}\{7\})\}\{\backslash sin^2(\backslash frac\{3\; \backslash pi\; \}\{7\})\}=2\; \backslash sqrt\{7\}$
• $\backslash frac\{\backslash sin\; ^2(\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{7\})\}\{\backslash sin\; ^4(\backslash frac\{2\; \backslash pi\; \}\{7\})\}+\backslash frac\{\backslash sin\; ^2(\backslash frac\{3\; \backslash pi\; \}\{7\})\}\{\backslash sin\; ^4(\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{7\})\}+\backslash frac\{\backslash sin\; ^2(\backslash frac\{2\; \backslash pi\; \}\{7\})\}\{\backslash sin^4(\backslash frac\{3\; \backslash pi\; \}\{7\})\}=28$
• $\backslash frac\{\backslash sin\; ^2(\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{7\})\}\{\backslash sin\; ^4(\backslash frac\{2\; \backslash pi\; \}\{7\})\}(\backslash frac\{4\; \backslash sin\; (\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{7\})\}\{\backslash sin\; (\backslash frac\{2\; \backslash pi\; \}\{7\})\}-\backslash frac\{2\; \backslash sin\; (\backslash frac\{3\; \backslash pi\; \}\{7\})\}\{\backslash sin\; (\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{7\})\})\; +\; \backslash frac\{\backslash sin\; ^2(\backslash frac\{3\; \backslash pi\; \}\{7\})\}\{\backslash sin\; ^4(\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{7\})\}(\backslash frac\{2\; \backslash sin\; (\backslash frac\{2\; \backslash pi\; \}\{7\})\}\{\backslash sin\; (\backslash frac\{3\; \backslash pi\; \}\{7\})\}+\backslash frac\{4\; \backslash sin\; (\backslash frac\{3\; \backslash pi\; \}\{7\})\}\{\backslash sin\; (\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{7\})\})\; -\backslash frac\{\backslash sin\; ^2(\backslash frac\{2\; \backslash pi\; \}\{7\})\; \}\{\backslash sin\; ^4(\backslash frac\{3\; \backslash pi\; \}\{7\})\}(\backslash frac\{2\; \backslash sin\; (\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{7\})\}\{\backslash sin\; (\backslash frac\{2\; \backslash pi\; \}\{7\})\}+\backslash frac\{4\; \backslash sin\; (\backslash frac\{2\; \backslash pi\; \}\{7\})\}\{\backslash sin\; (\backslash frac\{3\; \backslash pi\; \}\{7\})\})=280$
• $\backslash cos\; (\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{17\})=\backslash frac\{1\}\{8\}\backslash sqrt\; (2\; (2\; \backslash sqrt\{\backslash sqrt\{\; \backslash frac\{17(17-\backslash sqrt\{17\})\}\{2-\backslash sqrt\{\backslash frac\{17-\backslash sqrt\{17\{2-4\; \backslash sqrt\{34+2\; \backslash sqrt\{17+3\; \backslash sqrt\{17\}+17\}+\backslash sqrt\{34-2\; \backslash sqrt\{17+\backslash sqrt\{17\}+15))$
• $\backslash tan\; (\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{120\})=\backslash sqrt\{\backslash frac\{8-\backslash sqrt\{2\; (2-\backslash sqrt\{3\})\; (3-\backslash sqrt\{5\})\}-\backslash sqrt\{2\; (2+\backslash sqrt\{3\})\; (5+\backslash sqrt\{5\})\{8+\backslash sqrt\{2\; (2-\backslash sqrt\{3\})\; (3-\backslash sqrt\{5\})\}+\backslash sqrt\{2(2+\backslash sqrt\{3\})\; (5+\backslash sqrt\{5\})\}$
• $\backslash cos\; (\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{240\})=\backslash frac\{1\}\{16\}\; (\backslash sqrt\{2-\backslash sqrt\{2+\backslash sqrt\{2\}\; (\backslash sqrt\{2\; (5+\backslash sqrt\{5\})\}+\backslash sqrt\{3\}-\backslash sqrt\{15\})+\backslash sqrt\{\backslash sqrt\{2+\backslash sqrt\{2+2\}\; (\backslash sqrt\{6\; (5+\backslash sqrt\{5\})\}+\backslash sqrt\{5\}-1))$
• $\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{4\}=\backslash cot\; ^\{-1\}(2)+\backslash cot\; ^\{-1\}(3)$
• $\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{4\}=\backslash cot\; ^\{-1\}(2)+\backslash cot\; ^\{-1\}(5)+\backslash cot^\{-1\}(8)$
• $\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{4\}=2\backslash cot\; ^\{-1\}(3)+\backslash cot\; ^\{-1\}(7)$
• $\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{4\}=3\backslash cot\; ^\{-1\}(4)+\backslash cot\; ^\{-1\}(\backslash frac\{99\}\{5\})$
• $\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{4\}=4\backslash cot\; ^\{-1\}(5)-\backslash cot\; ^\{-1\}(239)$
• $\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{4\}=4\backslash cot\; ^\{-1\}(5)-\backslash cot\; ^\{-1\}(70)+\backslash cot^\{-1\}(99)\; \backslash frac\{\backslash pi\; \}\{4\}=5\backslash cot\; ^\{-1\}(6)-\backslash cot^\{-1\}(\backslash frac\{503\}\{16\})-\backslash cot\; ^\{-1\}(117)$
• $\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{4\}=5\backslash cot\; ^\{-1\}(7)+2\backslash cot\; ^\{-1\}(\backslash frac\{79\}\{3\})\; \backslash frac\{\backslash pi\; \}\{4\}=6\backslash cot\; ^\{-1\}(8)+\backslash cot\; ^\{-1\}(\backslash frac\{99\}\{5\})-3\backslash cot\; ^\{-1\}(268)$
• $\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{4\}=8\; \backslash cot\; ^\{-1\}(10)-\backslash cot\; ^\{-1\}(239)-4\; \backslash cot\; ^\{-1\}(515)\; \backslash frac\{\backslash pi\; \}\{4\}=8\backslash cot\; ^\{-1\}(10)-2\backslash cot\; ^\{-1\}(\backslash frac\{452761\}\{2543\})-\backslash cot\; ^\{-1\}(1393)$
• $\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{4\}=8\backslash cot\; ^\{-1\}(10)-\backslash cot\; ^\{-1\}(100)-\backslash cot^\{-1\}(515)-\backslash cot^\{-1\}(\backslash frac\{371498882\}\{3583\})\; \backslash frac\{\backslash pi\; \}\{4\}=12\backslash cot^\{-1\}(18)+3\backslash cot\; ^\{-1\}(70)+5\backslash cot\; ^\{-1\}(99)+8\backslash cot\; ^\{-1\}(307)$
• $\backslash frac\{\backslash pi\; \}\{4\}=12\backslash cot\; ^\{-1\}(18)+8\backslash cot\; ^\{-1\}(99)+3\backslash cot^\{-1\}(239)+8\backslash cot^\{-1\}(307)$

Giải tích

Các công thức trong giải tích sau dùng góc đo bằng radian

:$\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; 0\}\backslash frac\{\backslash sin(x)\}\{x\}=1,$

:$\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; 0\}\backslash frac\{1-\backslash cos(x)\}\{x\}=0,$

:$\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash sin(x)\; =\; \backslash cos(x)$

Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc của đạo hàm:

:$\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash cos(x)\; =\; -\backslash sin(x)$

:$\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash tan(x)\; =\; \backslash sec^2(x)$

:$\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash cot(x)\; =\; -\backslash csc^2(x)$

:$\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash sec(x)\; =\; \backslash sec(x)\; \backslash tan(x)$

:$\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash csc(x)\; =\; -\; \backslash csc(x)\backslash cot(x)$

:$\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash arcsin(x)=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-x^2$

:$\{d\; \backslash over\; dx\}\backslash arctan(x)=\backslash frac\{1\}\{1+x^2\}$

Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tại danh sách tích phân với hàm lượng giác và danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược.

Hàm lượng giác nghịch đảo

Các hàm lượng giác tuần hoàn, do vậy để tìm hàm nghịch đảo, cần giới hạn miền của hàm. Dươi đây là định nghĩa các hàm lượng giác nghịch đảo:

Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là sin⁻¹ hay cos⁻¹ thay cho arcsin và arccos. Việc dùng ký hiệu mũ có thể gây nhầm lẫn với hàm mũ của hàm lượng giác.

Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:

:

:

:

:

:

:

Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.

:

Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác nghịch đảo ra cho các biến phức:

:$\backslash arcsin\; (z)\; =\; -i\; \backslash log\; \backslash left(i\; \backslash left(z\; +\; \backslash sqrt\{1\; -\; z^2\}\backslash right)\; \backslash right)$

Một số đẳng thức

:Xem thêm Danh sách tích phân với hàm lượng giác, Danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược

:$\backslash sin\; \backslash left(x+y\backslash right)=\backslash sin\; x\; \backslash cos\; y\; +\; \backslash cos\; x\; \backslash sin\; y$

:$\backslash sin\; \backslash left(x-y\backslash right)=\backslash sin\; x\; \backslash cos\; y\; -\; \backslash cos\; x\; \backslash sin\; y$

:$\backslash cos\; \backslash left(x+y\backslash right)=\backslash cos\; x\; \backslash cos\; y\; -\; \backslash sin\; x\; \backslash sin\; y$

:$\backslash cos\; \backslash left(x-y\backslash right)=\backslash cos\; x\; \backslash cos\; y\; +\; \backslash sin\; x\; \backslash sin\; y$

:$\backslash sin\; x+\backslash sin\; y=2\backslash sin\; \backslash left(\backslash frac\{x+y\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash cos\; \backslash left(\backslash frac\{x-y\}\{2\}\; \backslash right)$

:$\backslash sin\; x-\backslash sin\; y=2\backslash cos\; \backslash left(\backslash frac\{x+y\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash sin\; \backslash left(\backslash frac\{x-y\}\{2\}\; \backslash right)$

:$\backslash cos\; x+\backslash cos\; y=2\backslash cos\; \backslash left(\backslash frac\{x+y\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash cos\; \backslash left(\backslash frac\{x-y\}\{2\}\; \backslash right)$

:$\backslash cos\; x-\backslash cos\; y=-2\backslash sin\; \backslash left(\backslash frac\{x+y\}\{2\}\; \backslash right)\backslash sin\; \backslash left(\backslash frac\{x-y\}\{2\}\; \backslash right)$

:$\backslash tan\; x+\backslash tan\; y=\backslash frac\{\backslash sin\; \backslash left(x+y\backslash right)\; \}\{\backslash cos\; x\backslash cos\; y\}$

:$\backslash tan\; x-\backslash tan\; y=\backslash frac\{\backslash sin\; \backslash left(x-y\backslash right)\; \}\{\backslash cos\; x\backslash cos\; y\}$ :$\backslash cot\; x+\backslash cot\; y=\backslash frac\{\backslash sin\; \backslash left(x+y\backslash right)\; \}\{\backslash sin\; x\backslash sin\; y\}$

:$\backslash cot\; x-\backslash cot\; y=\backslash frac\{-\backslash sin\; \backslash left(x-y\backslash right)\; \}\{\backslash sin\; x\backslash sin\; y\}$