✨Đa thức Chebyshev

Đa thức Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Nga Pafnuty Chebyshev, [1] là một dãy đa thức trực giao (tiếng Anh: orthogonal polynomials), và có liên quan đến công thức de Moivre (de Moivre's formula). Có thể xác định dãy đa thức này bằng công thức truy hồi, giống như số Fibonacci và số Lucas.

Có hai loại: đa thức Chebyshev loại I (ký hiệu là T_n) và đa thức Chebyshev loại II (ký hiệu là U_n). Chữ T được dùng để ký hiệu vì trong tiếng Pháp tên của Chebyshev viết là Tchebycheff và trong tiếng Đức là Tschebyscheff. Chữ n ký hiệu cho bậc của đa thức.

Đa thức Chebyshev đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết gần đúng. Các nghiệm của đa thức Chebyshev loại I, còn được gọi là các điểm Chebyshev (Chebyshev node), được dùng trong đa thức nội suy. Nhờ có nó, mà sai số do hiệu ứng Runge là nhỏ nhất.

Trong phương trình vi phân, đa thức Chebyshev loại I và loại II lần lượt là nghiệm của 2 phương trình vi phân Chebyshev sau: :$(1-x^2)\backslash ,y\text{'}\text{'}\; -\; x\backslash ,y\text{'}\; +\; n^2\backslash ,y\; =\; 0\; \backslash ,!$ và :$(1-x^2)\backslash ,y\text{'}\text{'}\; -\; 3x\backslash ,y\text{'}\; +\; n(n+2)\backslash ,y\; =\; 0\; \backslash ,!$.

Định nghĩa

Định nghĩa theo công thức truy hồi

Đa thức Chebyshev loại I xác định theo công thức truy hồi:

:1(x) & = x \ T{n+1}(x) & = 2xTn(x) - T{n-1}(x). \end{align}

Công thức tổng quát quy ước của T_n

:$\backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}T\_n(x)\; t^n\; =\; \backslash frac\{1-tx\}\{1-2tx+t^2\}.\; \backslash ,!$

Công thức mũ tổng quát

:$\backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}T\_n(x)\; \backslash frac\{t^n\}\{n!\}\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}\backslash left(e^\{(x-\backslash sqrt\{x^2\; -1\})t\}+e^\{(x+\backslash sqrt\{x^2\; -1\})t\}\backslash right).\; \backslash ,!$

Đa thức Chebyshev loại II xác định theo công thức truy hồi:

:1(x) & = 2x \ U{n+1}(x) & = 2xUn(x) - U{n-1}(x). \end{align}

Một công thức tổng quát của U_n

:$\backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}U\_n(x)\; t^n\; =\; \backslash frac\{1\}\{1-2\; t\; x+t^2\}.\; \backslash ,!$

Định nghĩa theo lượng giác

Đa thức Chebyshev loại I có thể định nghĩa bằng lượng giác:

:$T\_n(x)=\backslash cos(n\; \backslash arccos\; x)=\backslash cosh(n\backslash ,\backslash mathrm\{arccosh\}\backslash ,x)\; \backslash ,!$

hoặc là:

:$T\_n(\backslash cos(\backslash vartheta))=\backslash cos(n\backslash vartheta)\; \backslash ,!$

với n = 0, 1, 2, 3,....

Định nghĩa theo lượng giác của đa thức Chebyshev loại II:

:$U\_n(\backslash cos(\backslash vartheta))\; =\; \backslash frac\{\backslash sin((n+1)\backslash vartheta)\}\{\backslash sin\backslash vartheta\}\; \backslash ,!$

công thức này khá giống với nhân Dirichlet (Dirichlet kernel) $D\_n(x)\; \backslash ,!$:

:$D$n(x) = \frac{\sin((2n+1)(x/2))}{\sin (x/2)} = U{2n}(\cos (x/2))\,!.

Dễ thấy, $\backslash cos(n\backslash vartheta)$ là đa thức bậc n với $\backslash cos(\backslash vartheta)$ là biến. Đồng thời, $\backslash cos(n\backslash vartheta)$ cũng là phần thực trong công thức De Moivre (de Moivre's formula).

Từ công thức tổng quát bằng lượng giác ở trên, có thể dễ dàng chứng minh công thức truy hồi:

Sau đây, ta sẽ kiểm tra tính đúng đắn của định nghĩa đa thức Chebyshev theo lượng giác, với n = 0 và n = 1:

:$T\_0(\backslash cos\backslash vartheta)\; =\; \backslash cos\; 0\; \backslash vartheta\backslash \; =\; 1\; \backslash ,!$

và:

:$T\_1(\backslash cos\backslash vartheta)=\backslash cos\backslash vartheta\; \backslash ,!$

và với đa thức Chebyshev bậc 2 và 3:

:$\backslash cos(2\; \backslash vartheta)=2\backslash cos\backslash vartheta\; \backslash cos\backslash vartheta\; -\; \backslash cos\; 0\; \backslash vartheta\; =\; 2\backslash cos^\{2\}\backslash ,\backslash vartheta\; -\; 1\; \backslash ,!$

:$\backslash cos(3\; \backslash vartheta)=2\backslash cos\backslash vartheta\; \backslash cos(2\; \backslash vartheta)\; -\; \backslash cos\backslash vartheta\; =\; 4\backslash cos^3\backslash ,\backslash vartheta\; -\; 3\backslash cos\backslash vartheta\; \backslash ,!$

tương tự cho các bậc cao hơn.

Một tính chất khá thú vị của đa thức Chebyshev:

:$T\_n(T$m(x)) = T{n\cdot m}(x).\,!

Mối liên hệ giữa đa thức Chebyshev và số phức: cho z = a + bi,

:n\left(\frac a\right) + ib\ |z|^{n - 1}\ U{n-1}\left(\frac a\right). \end{align}

Định nghĩa theo phương trình Pell

Trong vành R[x] (tập hợp các đa thức với hệ số thực), đa thức Chebyshev được định nghĩa như nghiệm của phương trình Pell biến thể:

:$T$i^2 - (x^2-1) U{i-1}^2 = 1 \,!.

Sử dụng kĩ thuật giải phương trình Pell có tên là "nghiệm sinh từ nghiệm nhỏ nhất", suy ra công thức tổng quát sau:

:$T$i + U{i-1} \sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^i. \,!

Tính chất

Công thức liên hệ (Transformation)

Các công thức liên hệ:

:$T$n\left(1-2x^2\right)=(-1)^n T{2n}(x) (trans.1)

và

:$U$n\left(1-2x^2\right) x= (-1)^n U{2n+1}(x). (trans.2)

Chứng minh quy nạp công thức (trans.1):

Với n=0: :$T$0\left(1-2x^2\right)= 1 = (-1)^0 T{2.0}(x) và n = 1: :$T$1\left(1-2x^2\right)= 1-2x^2 = -1. T{2}(x), do đó công thức (trans.1) đúng với n=0 và n=1.

Giả sử (trans.1) đúng với n > 0, ta chứng minh nó đúng với n+1: :$T\_\{n+1\}(1-2x^2)$ :$=\; 2(1-2x^2)T$n(1-2x^2) - T{n-1}(1-2x^2)

(theo giả thiết quy nạp ta thay $T$n(1-2x^2) = (-1)^n T{2n}(x) và $T${n-1}(1-2x^2) = (-1)^{n-1} T{2n-2}(x) ) :$=\; 2(1-2x^2)\; (-1)^n\; T${2n}(x) - (-1)^{n-1} T{2n-2}(x) :$=\; -4x^2\; (-1)^n\; T${2n}(x) + (-1)^n. [T{2n}(x) + T{2n-2}(x)] + (-1)^n. T{2n}(x) :$=\; -4x^2\; (-1)^n\; T${2n}(x) + (-1)^n. 2x.T{2n-1}(x) + (-1)^n. T{2n}(x) :$=\; -2x\; (-1)^n\; [2xT${2n}(x) - T{2n-1}(x)] + (-1)^n. T{2n}(x) :$=\; -2x\; (-1)^n\; T${2n+1} (x) + (-1)^n. T{2n}(x) :$=\; (-1)^\{n+1\}\; [2xT${2n+1} (x) - T{2n}(x)] :$=\; (-1)^\{n+1\}\; T\_\{2n+2\}\; (x)$.

Như vậy (trans.1) đúng với n+1, theo quy tắc quy nạp, nó đúng với mọi n (điều phải chứng minh).

Chứng minh quy nạp tương tự cho (trans.2).

Nghiệm và cực trị

Một đa thức Cheybyshev bậc n (cả hai loại) có n nghiệm thực phân biệt, gọi là nghiệm Chebyshev, các nghiệm này đều nằm trên khoảng [−1,1]. Các nghiệm này đôi khi được gọi là các điểm nút Chebyshev (tiếng Anh: Chebyshev nodes) bởi vì chúng được dùng trong đa thức nội suy. Sử dụng định nghĩa lượng giác của đa thức Chebyshev, với

:$\backslash cos\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash ,(2k+1)\backslash right)=0$

ta có thể chứng minh dễ dàng các nghiệm của T_n là

:$x\_k\; =\; \backslash cos\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash ,\backslash frac\{2k-1\}\{n\}\backslash right),\backslash quad\; k=1,\backslash ldots,n.$

Tương tự, các nghiệm của U_n là

:$x\_k\; =\; \backslash cos\backslash left(\backslash frac\{k\}\{n+1\}\backslash pi\backslash right),\backslash quad\; k=1,\backslash ldots,n.$

Giá trị cực đại của đa thức Chebyshev loại I trên khoảng bằng 1 và giá trị cực tiểu bằng -1. Đa thức Chebyshev chỉ có 2 giá trị tới hạn, giống như đặc tính của đa thức Shabat.

Cả hai loại đa thức Chebyshev đều đạt cực trị tại 2 điểm đầu mút:

:$T\_n(1)\; =\; 1\backslash ,$

:$T\_n(-1)\; =\; (-1)^n\backslash ,$

:$U\_n(1)\; =\; n\; +\; 1\backslash ,$

:$U\_n(-1)\; =\; (n\; +\; 1)(-1)^n.\backslash ,$

Đạo hàm và tích phân

Đạo hàm

Khi đạo hàm các đa thức Chebyshev trong dạng lượng giác, ta suy ra:

:$\backslash frac\{d\; T$n}{d x} = n U{n - 1}\,

:$\backslash frac\{d\; U$n}{d x} = \frac{(n + 1)T{n + 1} - x U_n}{x^2 - 1}\,

:$\backslash frac\{d^2\; T\_n\}\{d\; x^2\}\; =\; n\; \backslash frac\{n\; T$n - x U{n - 1{x^2 - 1} = n \frac{(n + 1)T_n - U_n}{x^2 - 1}.\,

Điểm đặc biệt của $\backslash frac\{d^2\; T\_n\}\{d\; x^2\}$ (là giá trị mà khi thay vào làm cho nó có dạng 0/0 dạng không xác định(indeterminate form)) là x = 1 and x = -1. Tại đó $\backslash frac\{d^2\; T\_n\}\{d\; x^2\}$ bằng:

:$\backslash frac\{d^2\; T$n}{d x^2} \Bigg|{x = 1} !! = \frac{n^4 - n^2}{3},

:$\backslash frac\{d^2\; T$n}{d x^2} \Bigg|{x = -1} !! = (-1)^n \frac{n^4 - n^2}{3}.

Đạo hàm bậc hai của đa thức Chebyshev loại I:

:$T\text{'}\text{'}\_n\; =\; n\; \backslash frac\{n\; T$n - x U{n - 1{x^2 - 1}

nếu thay trực tiếp x = ±1 vào thì nó có dạng không xác định $\backslash frac\; 0\; \{0\}$. Mặt khác, $T\_\_n(x)$ là một đa thức, do đó nó có giá trị thực xác định tại _x'' = ±1. Và ta có thể tính giá trị tại điểm x = 1 bằng giới hạn sau:

:$T\text{'}\text{'}$n(1) = \lim{x \to 1} n \frac{n Tn - x U{n - 1{x^2 - 1}

Phân tích mẫu số:

:$T\text{'}\text{'}$n(1) = \lim{x \to 1} n \frac{n Tn - x U{n - 1{(x + 1)(x - 1)} = \lim_{x \to 1} n \frac{\frac{n Tn - x U{n - 1{x - 1{x + 1}.

:$T\text{'}\text{'}$n(1) = n \frac{\lim{x \to 1} \frac{n Tn - x U{n - 1{x - 1{\lim{x \to 1} (x + 1)} = \frac{n}{2} \lim{x \to 1} \frac{n Tn - x U{n - 1{x - 1} .

Ở đây mẫu số vẫn bằng 0, suy ra tử số nhất định bằng 0 (vì giới hạn tồn tại), cụ thể $U\_\{n\; -\; 1\}(1)\; =\; n\; T\_n(1)\; =\; n$. Đến đây ta áp dụng quy tắc 'Hôpital's:

:$\backslash begin\{align\}\; T\text{'}\text{'}$n(1) & = \frac{n}{2} \lim{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(n Tn - x U{n - 1})}{\frac{d}{dx}(x - 1)} \ & = \frac{n}{2} \lim_{x \to 1} \frac{d}{dx}(n Tn - x U{n - 1}) \ & = \frac{n}{2} \lim{x \to 1} \left(n^2 U{n - 1} - U{n - 1} - x \frac{d}{dx}(U{n - 1})\right) \ & = \frac{n}{2} \left(n^2 U{n - 1}(1) - U{n - 1}(1) - \lim{x \to 1} x \frac{d}{dx}(U{n - 1})\right) \ & = \frac{n^4}{2} - \frac{n^2}{2} - \frac{1}{2} \lim{x \to 1} \frac{d}{dx}(n U{n - 1}) \ & = \frac{n^4}{2} - \frac{n^2}{2} - \frac{T''_n(1)}{2} \ T''_n(1) & = \frac{n^4 - n^2}{3}. \ \end{align}

Chứng minh cho trường hợp $x\; =\; -1$ tương tự bằng cách áp dụng $T\_n(-1)\; =\; (-1)^n$.

Công thức tổng quát:

:$\backslash frac\{d^p\; T$n}{d x^p} \Bigg|{x = \pm 1} !! = (\pm 1)^{n+p}\prod_{k=0}^{p-1}\frac{n^2-k^2}{2k+1}.

Kết quả này có ý nghĩa rất lớn trong tìm đáp số của giá trị đặc trưng.

Tích phân

Tích phân của U_n:

:$\backslash int\; U$n\, dx = \frac{T{n + 1{n + 1}\,

Tích phân của T_n:

:$\backslash int\; T$n\, dx = \frac{1}{2} \left(\frac{T{n + 1{n + 1} - \frac{T{n - 1{n - 1}\right) = \frac{n T{n + 1{n^2 - 1} - \frac{x T_n}{n - 1}.\,

Tính trực giao

Dãy T_n và dãy U_n đều là dãy đa thức trực giao.

Cụ thể hơn, các đa thức loại I, xác định trên khoảng mở (−1,1)với mật độ (Tiếng Anh: The polynomials of the first kind are orthogonal with respect to the weight): $\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-x^2,\; \backslash ,!$ thì:

:

Tính chất trên được chứng minh bằng cách thay $x\; =\; \backslash cos(\backslash vartheta)$ và sử dụng đẳng thức :$T\_n(\backslash cos(\backslash vartheta))\; =\; \backslash cos(n\backslash vartheta)$.

Tương tự các đa thức loại II xác định trên khoảng đóng [−1,1] với mật độ (tiếng Anh: The polynomials of the second kind are orthogonal with respect to the weight):$\backslash sqrt\{1-x^2\}\; \backslash ,!$

thì:

:

(Chú ý giá trị lượng (weight) $\backslash sqrt\{1-x^2\}\; \backslash ,!$ là mật độ của phân bố nửa đường tròn Wigner (tiếng Anh: Wigner semicircle distribution).

Đa thức T_n cũng thỏa mãn tính trực giao rời rạc (iếng Anh: discete orthogonality):

:

với $x\_k$ là không điểm Gauss–Lobatto thứ N của $T\_N(x)$

:$x\_k=\backslash cos\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\backslash left(k+\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\}\{N\}\backslash right).$

Định chuẩn nhỏ nhất

Với số nguyên bất kì n ≥ 1, trong số các đa thức bậc n với hệ số bậc cao nhất bằng 1, đa thức sau:

:$f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2^\{n-1T\_n(x)$

có giá trị tuyệt đối lớn nhất trên đoạn [−1, 1] nhỏ nhất.

Trong công thức trên sở dĩ nhân $\backslash frac\{1\}\{2^\{n-1$ với $T\_n(x)$ là bởi vì hệ số bậc cao nhất của đa thức $T\_n(x)$ luôn bằng $2^\{n-1\}$.

Giá trị lớn nhất đó bằng:

:$\backslash frac1\{2^\{n-1$

và |ƒ(x)| đạt giá trị lớn nhất tại điểm:

: $x\; =\; \backslash cos\; \backslash frac\{k\backslash pi\}\{n\}\backslash text\{\; for\; \}0\; \backslash le\; k\; \backslash le\; n.$

Giả sử tồn tại đa thức $w\_n(x)$ bậc n với hệ số bậc cao nhất bằng 1, và giá trị tuyệt đối lớn nhất trên [−1, 1] nhỏ hơn $\backslash frac1\{2^\{n-1$.

Xét đa thức sau:

:$f\_n(x)\; =\; \backslash frac1\{2^\{n-1T\_n(x)\; -\; w\_n(x)$

đa thức này có bậc nhỏ thua n.

Do giả thiết, tại mỗi điểm $T\_n(x)$ bằng $\backslash pm\; 1$, thì

:$f\_n(x)\; >\; 0\; \backslash text\{\; for\; \}\; x\; =\; \backslash cos\; \backslash frac\{2k\backslash pi\}\{n\}\; \backslash text\{\; với\; \}\; 0\; \backslash le\; 2k\; \backslash le\; n$

:.

Như vậy $f\_n(x)$ có nghiệm trên n khoảng $(0,\; \backslash frac\{Pi\}\{n\}),\; (\backslash frac\{Pi\}\{n\},\backslash frac\{2Pi\}\{n\}),\; \backslash ldots\; (\backslash frac\{(n-1)Pi\}\{n\},\backslash frac\{nPi\}\{n\})$. Nói cách khác, nó có ít nhất n nghiệm, điều này vô lý vì $f\_n(x)$ là đa thức bậc ≤(n-1).

Suy ra điều giả sử là sai. ta có điều phải chứng minh.

Mối liên hệ với các loại đa thức khác

Đa thức Chebyshev là trường hợp đặc biệt của Jacobi và đa thức Gegenbauer,

• $T\_n(x)=\; \backslash frac\; 1\; P\_n^\{-\backslash frac\; 1\; 2,\; -\backslash frac\; 1\; 2\}(x)=\; \backslash frac\; n\; 2\; C\_n^0(x),$
• $U\_n(x)=\; \backslash frac\; 1\{2\{n+\backslash frac\; 1\; 2\; \backslash choose\; n\; P\_n^\{\backslash frac\; 1\; 2,\; \backslash frac\; 1\; 2\}(x)=\; C\_n^1(x).$

Các tính chất khác

Đa thức Chebyshev là trường hợp đặc biệt của đa thức Gegenbauer, đến lượt mình đa thức Gegenbauer lại là trường hợp đặc biệt của Jacobi.

Với số nguyên n bất kì, T_n(x) và U_n(x) đều là đa thức bậc n.

Nếu n chẵn thì T_n(x) và U_n(x) là hàm chẵn, nghĩa là chỉ có các hệ số tương ứng với bậc chẵn là khác 0.

Ví dụ: :$T\_0(x)\; =\; 1\; \backslash ,$ :$T\_2(x)\; =\; 2x^2\; -\; 1\; \backslash ,$ :$T\_4(x)\; =\; 8x^4\; -\; 8x^2\; +\; 1\; \backslash ,$.

:$U\_0(x)\; =\; 1\; \backslash ,$ :$U\_2(x)\; =\; 4x^2\; -\; 1\; \backslash ,$ :$U\_4(x)\; =\; 16x^4\; -\; 12x^2\; +\; 1\; \backslash ,$.

Nếu n lẻ thì T_n(x) và U_n(x) là hàm lẻ, nghĩa là chỉ có các hệ số tương ứng với bậc lẻ là khác 0.

Ví dụ: :$T\_1(x)\; =\; x\; \backslash ,$ :$T\_3(x)\; =\; 4x^3\; -\; 3x\; \backslash ,$

:$U\_1(x)\; =\; 2x\; \backslash ,$ :$U\_3(x)\; =\; 8x^3\; -\; 4x\; \backslash ,$.

Hệ số bậc cao nhất của T_n là if , và 1 tương ứng với bậc bằng 0.

T_n là trường hợp riêng của đường cong Lissajous curve với tần số tỉ lệ (tiếng Anh: frequency ratio) là n.

Một số dãy đa thức khác, ví dụ đa thức Lucas (L_n), đa thức Dickson(D_n), và đa thức Fibonacci(F_n) có liên hệ với đa thức Chebyshev T_n and U_n.

Đa thức Chebyshev loại I thỏa mãn công thức truy hồi sau:

:$T\_j(x)\; T$k(x) = \frac{1}{2}\left(T{j+k}(x) + T_(x)\right),\quad\forall j,k\ge 0,\,

với mọi j và k.

Đối với đa thức Chebyshev loại II là: :$U\_j(x)\; U$k(x) = \left(U{j+k}(x) + U_(x)\right), \quad\forall j\ne 0, k\ne 0 .

Từ công thức:

:$T\_n(\backslash cos\backslash theta)\; =\; \backslash cos(n\; \backslash theta)$

suy ra công thức sau:

:$T\_\{2n+1\}(\backslash sin\backslash theta)\; =\; (-1)^n\; \backslash sin((2n+1)\backslash theta)$.

Ví dụ

Các đa thức Chebyshev loại I đầu tiên trong khoảng : Đồ thị của T₀, T₁, T₂, T₃, T₄ và T₅.

Các đa thức Chebyshev loại I đầu tiên:

:$T\_0(x)\; =\; 1\; \backslash ,$

:$T\_1(x)\; =\; x\; \backslash ,$

:$T\_2(x)\; =\; 2x^2\; -\; 1\; \backslash ,$

:$T\_3(x)\; =\; 4x^3\; -\; 3x\; \backslash ,$

:$T\_4(x)\; =\; 8x^4\; -\; 8x^2\; +\; 1\; \backslash ,$

:$T\_5(x)\; =\; 16x^5\; -\; 20x^3\; +\; 5x\; \backslash ,$

:$T\_6(x)\; =\; 32x^6\; -\; 48x^4\; +\; 18x^2\; -\; 1\; \backslash ,$

:$T\_7(x)\; =\; 64x^7\; -\; 112x^5\; +\; 56x^3\; -\; 7x\; \backslash ,$

:$T\_8(x)\; =\; 128x^8\; -\; 256x^6\; +\; 160x^4\; -\; 32x^2\; +\; 1\; \backslash ,$

:$T\_9(x)\; =\; 256x^9\; -\; 576x^7\; +\; 432x^5\; -\; 120x^3\; +\; 9x.\; \backslash ,$

[[Tập tin:Chebyshev Polynomials of the 2nd Kind (n=0-5, x=(-1,1)).svg|Các đa thức Chebyshev loại II đầu tiên trong khoảng −1 < x < 1: Đồ thị của U₀, U₁, U₂, U₃, U₄ và U₅. Không thể hiện trong ảnh, and .]]

Các đa thức Chebyshev loại II đầu tiên:

:$U\_0(x)\; =\; 1\; \backslash ,$

:$U\_1(x)\; =\; 2x\; \backslash ,$

:$U\_2(x)\; =\; 4x^2\; -\; 1\; \backslash ,$

:$U\_3(x)\; =\; 8x^3\; -\; 4x\; \backslash ,$

:$U\_4(x)\; =\; 16x^4\; -\; 12x^2\; +\; 1\; \backslash ,$

:$U\_5(x)\; =\; 32x^5\; -\; 32x^3\; +\; 6x\; \backslash ,$

:$U\_6(x)\; =\; 64x^6\; -\; 80x^4\; +\; 24x^2\; -\; 1\; \backslash ,$

:$U\_7(x)\; =\; 128x^7\; -\; 192x^5\; +\; 80x^3\; -\; 8x\; \backslash ,$

:$U\_8(x)\; =\; 256x^8\; -\; 448\; x^6\; +\; 240\; x^4\; -\; 40\; x^2\; +\; 1\; \backslash ,$

:$U\_9(x)\; =\; 512x^9\; -\; 1024\; x^7\; +\; 672\; x^5\; -\; 160\; x^3\; +\; 10\; x.\; \backslash ,$